一 比较法教案3

一比_较_法

1．作差比较法

(1)作差比较法的理论依据a－b>0⇔a>b，a－b<0⇔a

(2)作差比较法解题的一般步骤：

①作差；②变形整理；③判定符号；④得出结论．

其中变形整理是解题的关键，变形整理的目的是为了能够直接判定差的符号，常用的手段有：因式分解、配方、通分、分子或分母有理化等．

2．作商比较法

(1)作商比较法的理论依据是不等式的基本性质：

aa①b>0，若b>1，则a>b；若b<1，则a

aa②b<0，若b>1，则ab. (2)作商比较法解题的一般步骤：

①判定a，b的符号；②作商；③变形整理；④判定与1大小关系；⑤得出结论．

作差比较法证明不等式

[例1]

已知x>y，求证：x3－x2y＋xy2>x2y－xy2＋y3. [思路点拨]

因为不等式两边是同一种性质的整式，所以可以直接通过作差比较大小．

[证明]

x3－x2y＋xy2－(x2y－xy2＋y3) ＝x(x2－xy＋y2)－y(x2－xy＋y2) ＝(x－y)(x2－xy＋y2) x－y2＋3y. ＝(x－y)42因为x>y，所以x－y>0，

2x－y2＋3y>0，

于是(x－y)422

所以x3－x2y＋xy2>x2y－xy2＋y3.

(1)作差比较法中，变形具有承上启下的作用，变形的目的在于判断差的符号，而不用考虑差能否化简或值是多少．

(2)变形所用的方法要具体情况具体分析，可以配方，可以因式分解，可以运用一切有效的恒等变形的方法．

(3)因式分解是常用的变形手段，为了便于判断“差式”的符号，常将“差式”变形为一个常数，或几个因式积的形式，当所得的“差式”是某字母的二次三项式时，常用配方法判断符号．有时会遇到结果符号不能确定，这时候要对差式进行分类讨论．

1．求证：a2＋b2≥2(a－b－1)．

证明：a2＋b2－2(a－b－1) ＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0，

∴a2＋b2≥2(a－b－1)．

2．已知a，b∈R＋，n∈N＋，

求证：(a＋b)(an＋bn)≤2(an1＋bn1)．

＋＋证明：∵(a＋b)(an＋bn)－2(an1＋bn1) ＋＋＝an1＋abn＋ban＋bn1－2an1－2bn1

＋＋＋＋＝a(bn－an)＋b(an－bn) ＝(a－b)(bn－an)．

①当a>b>0时，bn－an<0，a－b＞0，

∴(a－b)(bn－an)<0. ②当b>a>0时，bn－an>0，a－b<0. ∴(a－b)(bn－an)<0. ③当a＝b>0时，(bn－an)(a－b)＝0. 综合①②③可知，对于a，b∈R＋，n∈N＋，都有(a＋b)(an＋bn)≤2(an1＋bn1). ＋＋

作商比较法证明不等式

a＋b[例2]

设a>0，b>0，求证：aabb≥(ab). 2[思路点拨]

不等式两端都是指数式，它们的值均为正数，可考虑用作商比较法．

a＋b[证明]

∵aabb>0，(ab)>0，

2

a－bb－aaa－baabb∴＝a·b＝b. 222a＋bab2aa－b当a＝b时，显然有b2＝1；

a－ba当a>b>0时，>1，>0，

b2aa－b∴由指数函数单调性，有b2>1；

a－ba当b>a>0时，0<<1，<0，

b2aa－b∴由指数函数的单调性，有b2>1. a＋b综上可知，对任意实数a，b，都有aabb≥(ab). 2

当欲证的不等式两端是乘积形式或幂指数形式时，常采用作商比较法，用作商比较法时，如果需要在不等式两边同乘某个数，要注意该数的正负，且最后结果与1比较．

3．已知a>b>c>0.求证：a2ab2bc2c>abcbcacab. ＋＋＋证明：由a>b>c>0，得abcbcacab>0. ＋＋＋a2ab2bc2caaaabbbbcccc作商b＋cc＋aa＋b＝bccaab

aabbccabc＝aabaacbbcbbaccaccb

－－－－－－aa－baa－cbb－c＝bcc. 由a>b>c>0，得a－b>0，a－c>0，b－c>0，

aab且b>1，c>1，c>1. aa－baa－cbb－c∴bcc>1. ∴a2ab2bc2c>abcbcacab. ＋＋＋4．设n∈N，n>1，求证logn(n＋1)>log(n＋1)(n＋2)．

证明：因为n>1，

所以logn(n＋1)>0，log(n＋1)(n＋2)>0，

logn＋1n＋2所以＝log(n＋1)(n＋2)·log(n＋1)n

lognn＋1

logn＋1n＋2＋logn＋1n2≤2

logn＋1n＋2n2＝2

logn＋1n＋12<2＝1. 故log(n＋1)(n＋2)

即原不等式得证.

比较法的实际应用

22[例3]

甲、乙二人同时同地沿同一路线走到同一地点，甲有一半时间以速度m行走，另一半以速度n行走；乙有一半路程以速度m行走，另一半路程以速度n行走．如果m≠n，问甲、乙二人谁先到达指定地点？

[思路点拨]

先用m，n表示甲、乙两人走完全程所用时间，再进行比较．

[解]

设从出发地点至指定地点的路程为s，甲、乙二人走完这段路程所用的时间分别为t1，t2

，

t1t1ss依题意有m＋n＝s，＋＝t2. 222m2n∴t1＝sm＋n2s，t2＝. 2mnm＋nsm＋n2s－

2mnm＋n∴t1－t2＝s[4mn－m＋n2]sm－n2＝＝－. 2mnm＋n2mnm＋n其中s，m，n都是正数，且m≠n，

∴t1－t2<0.即t1

应用不等式解决实际问题时，

关键是如何把等量关系、不等量关系转化为不等式的问题来解决，也即建立数学模型是解应用题的关键，最后利用不等式的知识来解．在实际应用不等关系问题时，常用比较法来判断数的大小关系，若是选择题或填空题则可用特殊值加以判断．

5．某人乘出租车从A地到B地，有两种方案；第一种方案：乘起步价为10元．每千米1.2元的出租车，第二种方案：乘起步价为8元，每千米1.4元的出租车．按出租车管理条例，在起步价内，不同型号的出租车行驶的路程是相等的，则此人从A地到B地选择哪

一种方案比较合适？

解：设A地到B地距离为m千米．起步价内行驶的路程为a千米．

显然当m≤a时，选起步价为8元的出租车比较便宜．

当m>a时，设m＝a＋x(x>0)，乘坐起步价为10元的出租车费用为P(x)元．乘坐起步价为8元的出租车费用为Q(x)元，则P(x)＝10＋1.2 x，

Q(x)＝8＋1.4x. ∵P(x)－Q(x)＝2－0.2x＝0.2(10－x)，

∴当x>10时，P(x)

当x<10时，P(x)>Q(x)，此时选起步价为8元的出租车较为合适．

当x＝10时，P(x)＝Q(x)，两种出租车任选，费用相同．

1．下列关系中对任意a

) A．a2

bC.>1

a解析：选B

∵a－b>0. (－a)2>(－b)2>0. b2即a>b>0.∴2<1. a22B．lg b2

1212D.2a>2b

b2又lg b－lg a＝lg2

a22∴lg b2Q

C．P≥Q

1，Q＝a2－a＋1，那么P，Q的大小关系是(

) a＋a＋12B．P

D．P≤Q

Q解析：选D

法一：＝(a2－a＋1)(a2＋a＋1) P＝(a2＋1)2－a2＝a4＋a2＋1≥1，

又∵a2＋a＋1>0恒成立，

∴Q≥P. 1－a2－a＋1a2＋a＋1法二：P－Q＝

a2＋a＋1－a4＋a2＝2，

a＋a＋1∵a2＋a＋1>0恒成立且a4＋a2≥0，

∴P－Q≤0，即Q≥P. 3．已知a>0，b>0，m＝(

) A．m≥n>p

C．n>m>p

解析：选A

由m＝B．m>n≥p

D．n≥m>p

ab＋，n＝a＋b，得a＝b>0时，m＝n, 可排除B、C项．比baab＋，n＝a＋b，p＝a＋b，则m，n，p的大小关系是ba19较A、D项，不必论证与p的关系．取特殊值a＝4，b＝1，则m＝4＋＝，n＝2＋1＝3，22∴m>n，可排除D，故选A. 4．设m>n，n∈N＋，a＝(lg x)m＋(lg x)关系为(

) A．a≥b

B．a≤b

C．与x值有关，大小不定

D．以上都不正确

解析：选A

a－b＝lgmx＋lg－m－m，b＝(lg x)n＋(lg x)n，x>1，则a与b的大小－x－lgnx－lgnx

－11n－m

＝(lgmx－lgnx)－lgxlgxlgmx－lgnx＝(lgx－lgx)－mn

lgxlgxmn11－mn

＝(lgmx－lgnx)lgxlgx1＝(lgmx－lgnx)1－lgm＋nx. ∵x>1，∴lg x>0. 当0b；

当lg x＝1时，a＝b；

当lg x>1时，a>b. ∴应选A. 115．若0

x11x－1解析：x－2＝2. xx11因为0

11所以<2. xx11答案：<2

xx6．设P＝a2b2＋5，Q＝2ab－a2－4a，若P>Q，则实数a，b满足的条件为________．

解析：P－Q＝a2b2＋5－(2ab－a2－4a) ＝a2b2＋5－2ab＋a2＋4a

＝a2b2－2ab＋1＋4＋a2＋4a

＝(ab－1)2＋(a＋2)2，

∵P>Q，∴P－Q>0，

即(ab－1)2＋(a＋2)2>0，

∴ab≠1或a≠－2. 答案：

ab≠1或a≠－2 3 5007．一个个体户有一种商品，其成本低于元．如果月初售出可获利100元，再将本9利存入银行，已知银行月息为2.5%，如果月末售出可获利120元，但要付成本的2%的保管费，这种商品应________出售(填“月初”或“月末”)．

解析：设这种商品的成本费为a元．

月初售出的利润为L1＝100＋(a＋100)×2.5%，

月末售出的利润为L2＝120－2%a，

则L1－L2＝100＋0.025a＋2.5－120＋0.02a

3 500a－＝0.0459，

3 500∵a<，

9∴L1

答案：月末

8．已知x，y∈R, 求证：sin x＋sin y≤1＋sin xsin y. 证明：∵sin x＋sin y－1－sin xsin y

＝sin x(1－sin y)－(1－sin y) ＝(1－sin y)(sin x－1)．

∵－1≤sin x≤1，－1≤sin y≤1. ∴1－sin y≥0，sin x－1≤0. ∴(1－sin y)(sin x－1)≤0. 即sin x＋sin y≤1＋sin xsin y. a＋b＋c9．若a＞0，b＞0，c＞0，求证：aabbcc≥(abc). 3

证明：不妨设a≥b≥c≥0，那么由指数函数的性质，有

aa－b≥1，bb－c≥1，cc－a≥1. b3c3a3a－ba－cb－cb－ac－ac－baabbcc所以＝a＋b＋c＋

333333a＋b＋cabc3aa－bbb－ccc－a＝b3·c3·a3≥1. ∴原不等式成立．

10．已知a

，则ax＋by＋cz，ax＋cy＋bz，bx＋ay＋cz，bx＋cy＋az中最大的是哪一个？证明你的结论．

解：ax＋by＋cz最大．理由如下：

ax＋by＋cz－(ax＋cy＋bz)＝(b－c)y＋(c－b)z＝(b－c)(y－z)，

∵a

∴ax＋by＋cz－(ax＋cy＋bz)>0，

即ax＋by＋cz>ax＋cy＋bz. ax＋by＋cz－(bx＋ay＋cz)＝(a－b)x＋(b－a)y＝(a－b)(x－y)>0，

∴ax＋by＋cz>bx＋ay＋cz. ax＋by＋cz－(bx＋cy＋az)＝(a－b)x＋(b－c)y＋(c－a)z＝(a－b)x＋(b－c)y＋[(c－b)＋(b－a)]z＝(a－b)(x－z)＋(b－c)(y－z)>0，

∴ax＋by＋cz>bx＋cy＋az. 故ax＋by＋cz最大．