小结教案2

基本不等式

一、基本概念

a＋b1．基本不等式ab≤

2(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0. (2)等号成立的条件：当且仅当a＝b. 2．几个重要的不等式

(1)a2＋b2≥ 2ab(a，b∈R)；

ba(2)＋≥2(a，b同号)；

aba＋b2(3)ab≤2(a，b∈R)；

a＋b2a＋b(4)2≤2(a，b∈R)．

3．算术平均数与几何平均数

a＋b设a＞0，b>0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为ab，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均2数不小于它们的几何平均数．

4．利用基本不等式求最值问题

已知x>0，y>0，则

(1)如果xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2p(简记：积定和最小)．

q2(2)如果x＋y是定值q，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是(简记：和定积最大)．

4

1．使用基本不等式求最值，“一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可．

2．“当且仅当a＝b时等号成立”的含义是“a＝b”是等号成立的充要条件，这一点至关重要，忽略它往往会导致解题错误．

3．连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件一致．

22考向一

利用基本不等式证明不等式重点保分型考点——师生共研

111例题：已知x，y，z是互不相等的正数，且x＋y＋z＝1，求证：x－1y－1z－1>8. 证明：因为x，y，z是互不相等的正数，且x＋y＋z＝1，

1－xy＋z2yz1所以x－1＝x＝x>x，①

1－yx＋z2xz1－1＝yy＝y>y，②

1－zx＋y2xy1－1＝＝>，③

zzzz

又x，y，z为正数，由①×②×③，

111得x－1y－1z－1>8.

利用基本不等式证明不等式的方法技巧：利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，要从整体上把握运用基本不等式，对不满足使用基本不等式条件的可通过“变形”来转换，常见的变形技巧有：拆项，并项，也可乘上一个数或加上一个数，“1”的代换法等．

即时应用：设a，b均为正实数，求证：a2＋b2＋ab≥22. 证明：由于a，b均为正实数，

11所以2＋2≥2 ab112·＝，

a2b2ab1111当且仅当2＝2，即a＝b时等号成立，

ab2又因为ab＋ab≥2 2ab＝22，

ab·2当且仅当ab＝ab时等号成立，

112所以2＋2＋ab≥ab＋ab≥22，

aba＝b，当且仅当2ab＝ab，2211

4即a＝b＝2时取等号．

考向二 利用基本不等式求最值题点多变型考点——纵引横联

11典型例题：已知a>0，b>0，a＋b＝1，则＋的最小值为________．

ab[解析]

∵a>0，b>0，a＋b＝1，

ba11a＋ba＋b∴＋＝＋＝2＋＋≥2＋2 abababba111·＝4，即＋的最小值为4，当且仅当a＝b＝时等号成立. abab2利用基本不等式解决条件最值的关键是构造和为定值或积为定值，主要有两种思路：

(1)对条件使用基本不等式，建立所求目标函数的不等式求解．

(2)条件变形，进行“1”的代换求目标函数最值．

111＋a1＋b的最小值为________．

变式应用：[变式1]

条件不变，则1＋11＋1＝1＋a＋b1＋a＋b＝2＋b·2＋a＝5＋2b＋a≥5＋4＝9.当且仅当a＝b＝1时取等号．解析：

abab2abab答案：9

11[变式2]

条件和结论互换即：已知a＞0，b＞0，a＋b＝4，则a＋b的最小值为________．

1111解析：由＋＝4，得＋＝1. ab4a4b111ba1＋(a＋b)＝＋＋≥＋2 ∴a＋b＝4a4b24a4b21当且仅当a＝b＝时取等号．

2答案：1 21[变式3]

条件变为“已知a>0，b>0，a＋2b＝3”，则＋的最小值为________．

ab12解析：由a＋2b＝3得a＋b＝1，

33211221∴a＋b＝3a＋3ba＋b

4a4b＝＋＋

33b3a4≥＋2 3a4b8·＝. 3b3a3ba·＝1. 4a4b3当且仅当a＝2b＝时取等号．

28答案：

3本题求最值利用了拼凑法，拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面的问题：(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形；(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标；(3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提．

考向三 基本不等式的实际应用重点保分型考点——师生共研

典型例题：首届世界低碳经济大会在南昌召开，本届大会以“节能减排，绿色生态”为主题．某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处1理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为y＝x2－200x2＋80 000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元．

(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？

(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家至少补贴多少元才能使该单位不亏损？

y180 000解：(1)由题意可知，二氧化碳每吨的平均处理成本为x＝x＋x－200≥2 2180 000当且仅当x＝x，即x＝400时等号成立，

2故该单位月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为200元．

180 000x·x－200＝200，

2

121x－200x＋80 000＝－x2＋300x－80 000＝(2)不获利．设该单位每月获利为S元，则S＝100x－y＝100x－221－(x－300)2－35 000，因为x∈[400,600]，

2所以S∈[－80 000，－40 000]．

故该单位每月不获利，需要国家每月至少补贴40 000元才能不亏损．

解实际应用题的3个注意点

(1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数．

(2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值．

(3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解．

即时应用：某化工企业2015年年底投入100万元，购入一套污水处理设备．该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元．设该企业使用该设备x年的年平均污水处理费用为y(单位：万元)．

(1)用x表示y；

(2)当该企业的年平均污水处理费用最低时，企业需重新更换新的污水处理设备．则该企业几年后需要重新更换新的污水处理设备．

解：(1)由题意得，y＝100＋0.5x＋2＋4＋6＋…＋2x，

x100即y＝x＋＋1.5(x∈N*)．

x(2)由基本不等式得：

100y＝x＋x＋1.5≥2 100x·x＋1.5＝21.5，

100当且仅当x＝x，即x＝10时取等号．

故该企业10年后需要重新更换新的污水处理设备．

课后练习：

1．已知a，b∈R＋，且a＋b＝1，则ab的最大值为(

) A．1

1C．

21B．

4D．2

211解析：选B

∵a，b∈R＋，∴1＝a＋b≥2ab，∴ab≤，当且仅当a＝b＝时等号成立．

42ab2．设非零实数a，b，则“a2＋b2≥2ab”是“b＋a≥2”成立的(

) A．充分不必要条件

C．充要条件

B．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件

ab解析：选B

因为a，b∈R时，都有a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，即a2＋b2≥2ab，而b＋a≥2⇔ab>0，所以“a2ab＋b2≥2ab”是“＋≥2”的必要不充分条件．

ba3．已知a＋b＝t(a＞0，b＞0)，t为常数，且ab的最大值为2，则t＝(

) A．2

C．22

B．4

D．25 a＋b2t2t解析：选C

因为a>0，b>0时，有ab≤＝，当且仅当a＝b＝时取等号．因为ab的最大值为2，所442t2以＝2，t2＝8，所以t＝8＝22. 4x4．已知x>0，则2的最大值为________．

x＋4x14解析：因为2＝，又x＞0时，x＋x≥24x＋4x＋x即x1的最大值为. 4x＋424411x×x＝4，当且仅当x＝x，即x＝2时取等号，所以0<≤，44x＋x1答案：

45．已知a，b∈R，且ab＝50，则|a＋2b|的最小值是________．

解析：依题意得a，b同号，于是有|a＋2b|＝|a|＋|2b|≥2|a|·|2b|＝22|ab|＝2100＝20，当且仅当|a|＝|2b|＝10时取等号，因此|a＋2b|的最小值是20. 答案：20 6．下列函数中，最小值为4的是(

) 4A．y＝x＋

x4B．y＝sin x＋(0

sin xC．y＝ex＋4ex

－D．y＝x2＋1＋2

x＋1244解析：选C

∵y＝x＋x中x可取负值，∴其最小值不可能为4；由于02 sin x4－－sin x·＝4，其最小值大于4；由于ex>0，∴y＝ex＋4ex≥2ex·4ex＝4，当且仅当ex＝2时取等号，∴其最sin x小值为4；∵x2＋1≥1，∴y＝x2＋1＋2≥22，当且仅当x＝±1时取等号，∴其最小值为22. x2＋1117．已知a>0，b>0，a，b的等比中项是1，且m＝b＋a，n＝a＋b，则m＋n的最小值是(

) A．3

C．5

B．4

D．6 11解析：选B

由题意知：ab＝1，∴m＝b＋a＝2b，n＝a＋b＝2a，∴m＋n＝2(a＋b)≥4ab＝4.当且仅当a＝b

＝1时取等号．

128．若实数a，b满足a＋b＝ab，则ab的最小值为(

) A．2

C．22

B．2

D．4 12解析：选C

由＋＝ab，知a＞0，b＞0，

ab12所以ab＝＋≥2 ab2，即ab≥22，

ab当且仅当12a＋b＝12a＝b，ab，

44即a＝2，b＝22时取“＝”，

所以ab的最小值为22. x9．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x件，则平均仓储时间为天，且每8件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品(

) A．60件

C．100件

B．80件

D．120件

x800800x解析：选B

每批生产x件，则平均每件产品的生产准备费用是元，每件产品的仓储费用是元，则＋xx88≥2 800x800x·＝20，当且仅当x8x＝8，即x＝80时“＝”成立，∴每批生产产品80件．

10．若正数a，b满足a＋b＝2，则A．1

C．9

解析：选B

14＋的最小值是(

) a＋1b＋19B．

4

D．16 14a＋1＋b＋114＋＝a＋1＋b＋1

4a＋1b＋1b＋14a＋1119＋＝1＋4＋≥(5＋24)＝，

44a＋1b＋14b＋14a＋115当且仅当＝，即a＝，b＝时取等号，故选B. 33a＋1b＋111．已知实数x，y满足x2＋y2－xy＝1，则x＋y的最大值为________．

解析：因为x2＋y2－xy＝1，所以x2＋y2＝1＋xy. x＋y2所以(x＋y)2＝1＋3xy≤1＋3×2，

即(x＋y)2≤4，解得－2≤x＋y≤2. 当且仅当x＝y＝1时等号成立．

所以x＋y的最大值为2. 答案：2 12．已知实数x，y均大于零，且x＋2y＝4，则log2x＋log2y的最大值为________．

x＋2y2解析：因为log2x＋log2y＝log22xy－1≤log22－1＝2－1＝1，

当且仅当x＝2y＝2，即x＝2，y＝1时等号成立，

所以log2x＋log2y的最大值为1. 答案：1 3813．(1)当x<时，求函数y＝x＋的最大值；

22x－3(2)设0

183解：(1)y＝(2x－3)＋＋

22x－32833－2x＝－2＋＋. 3－2x23当x<时，有3－2x>0，

2∴3－2x8＋≥2 23－2x3－2x8·＝4，

23－2x3－2x81当且仅当＝，即x＝－时取等号．

223－2x355于是y≤－4＋＝－，故函数的最大值为－. 222(2)∵00，

x＋2－x∴y＝x4－2x＝2·x2－x≤

2·＝2，

2当且仅当x＝2－x，即x＝1时取等号，

∴当x＝1时，函数y＝x4－2x的最大值为2. 14．已知x＞0，y＞0，且2x＋8y－xy＝0，求：

(1)xy的最小值；

(2)x＋y的最小值．

82解：(1)由2x＋8y－xy＝0，得x＋y＝1，

又x＞0，y＞0，

82则1＝x＋y≥2 828·＝，得xy≥64，

xyxy当且仅当x＝16，y＝4时，等号成立．

所以xy的最小值为64. 82(2)由2x＋8y－xy＝0，得x＋y＝1，

822x8y＋则x＋y＝·(x＋y)＝10＋xyy＋x

≥10＋2 2x8yy·x＝18. 当且仅当x＝12且y＝6时等号成立，

∴x＋y的最小值为18. 15．某学校为了支持生物课程基地研究植物生长，计划利用学校空地建造一间室内面积为900 m2的矩形温室，在温室内划出三块全等的矩形区域，分别种植三种植物，相邻矩形区域之间间隔1 m，三块矩形区域的前、后与内墙各保留1 m宽的通道，左、右两块矩形区域分别与相邻的左右内墙保留3 m宽的通道，如图．设矩形温室的室内长为x(单位：m)，三块种植植物的矩形区域的总面积为S(单位：m2)．

．．．

(1)求S关于x的函数关系式；

(2)求S的最大值．

9007 200－2＝－2x－解：(1)由题设，得S＝(x－8)＋916，x∈(8,450)．

xx(2)因为8

7 200所以2x＋≥2 x2x×7 200＝240，

x当且仅当x＝60时等号成立，从而S≤676. 故当矩形温室的室内长为60 m时，三块种植植物的矩形为区域的总面积最大，最大为676 m2.