1.3 实习作业优质课教案

5.10 解斜三角形应用举例

教学目的：

1会在各种应用问题中，抽象或构造出三角形，标出已知量、未知量，确定解三角形的方法；

2搞清利用解斜三角形可解决的各类应用问题的基本图形和基本等量关系；

3理解各种应用问题中的有关名词、术语，如：坡度、俯角、仰角、方向角、方位角等；

4通过解三角形的应用的学习，提高解决实际问题的能力

教学过程：

一、复习引入：

1．正弦定理：abc2R; sinAsinBsinC2．余弦定理：

3.坡角、俯角、仰角、方位角、方向角的概念各是什么？

（1）坡角：坡面与水平面的夹角；

（2）坡比：坡面的铅直高度与水平宽度之比：常用i表示，ih；

l（3）俯角、仰角：视线与水平线所成角中，视线在水平线上的称为仰角，在水平线下的称为俯角；

（4）方位角：指由正北方向顺时针旋转到目标方向线的水平角，其范围是（0°，360°）

（5）方向角：指北或指南的方向线与目标线所成的小于900的水平角，叫做方向角，它是方位角的另一种表示形式。

4．解三角形的知识在测量、航海、几何、物理学等方面都有非常广泛的应用，如果我们抽去每个应用题中与生产生活实际所联系的外壳，就暴露出解三角形问题的本质，这就要提高分析问题和解决问题的能力及化实际问题为抽象的数学问题的能力.下面，我们将举例来说明解斜三角形在实际中的一些应用

一．基础训练

1．在200米高的山上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为300、600，则塔高为（

）

A．400米

3

B．40033米

C．2003米

D．200米

2．海上有A、B两个小岛相距10km，从A岛望B岛和C岛成600

的视角，从B岛望A岛和C岛成750的视角，则B、C间的距离是

（

）

A．103

km

B．106

km

3

C．52

km.

D．56

km. 3．一船向正北航行，看见正西方向相距10km的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航

行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西600，另一灯塔在船的南偏西750，则这只船的速度是每小时（）

A．5 km

B．53

km

C．10 km

D．103

km

04．货轮在海上以40km/h的速度由B向C航行，航行的方位角是140，A处有一灯塔，在B处观察其方位角是1100，在C处观察灯塔A的方位角是650，由B到C需航行

30分钟，则C到灯塔A的距离是

（

）

A．10km

B．103km

C．102km

D．12km

5．有一长为100m的斜坡，它的倾斜角为450，现在要把倾斜角改为300，且斜坡长不变，

则坡底要伸长

m．

二、讲解范例：

例1 某渔船在航行中不幸遇险，发出求救信号，我海军舰艇在A处获悉后，立即测出该渔船在方位角为45°、距离A为10海里的C处，并测得渔船正沿方位角为105°的方向，以9海里／ｈ的速度向某小岛B靠拢，我海军舰艇立即以21海里／ｈ的速度前去营救，试问舰艇应按照怎样的航向前进?并求出靠近渔船所用的时间

第

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分析：设舰艇从A处靠近渔船所用的时间为ｘｈ，则利用余弦定理建立方程来解决较好，因为如图中的∠1，∠2可以求出，而AC已知，BC、AB均可用ｘ表示，故可看成是一个已知两边夹角求第三边问题

答：舰艇应以66°47′的方位角方向航行，靠近渔船则需要40分钟

评述：解好本题需明确“方位角”这一概念，在利用余弦定理建立方程求出ｘ后，所求舰艇方位角就转化为一个已知三边求角的问题，故仍然利余弦定理

例2

用同样高度的两个测角仪AB和CD同时望见气球E在它们的正西方向的上空，分别测得气球的仰角是α和β，已知B、D间的距离为a，测角仪的高度是b，求气球的高度

分析：在Rt△EGA中求解EG，只有角α一个条件，需要再有一边长被确定，而△EAC中有较多已知条件，故可在△EAC中考虑EA边长的求解，而在△EAC中有角β，∠EAC＝180°－α两角与BD＝a一边，故可以利用正弦定理求解EA

答：气球的高度是asinsin＋b

sin()评述：此题也可以通过解两个直角三角形来解决，思路如下：设EG＝ｘ，在Rt△EGA中，利用cotα表示AG；在Rt△EGC中，利用cotβ表示CG，而CG－AG＝CA＝BD＝a，故可以求出EG，又GF＝CD＝b，故EF高度可求

例3

如图，在海岸A处发现北偏东45°方向，距A处(3－1)海里的B处有一艘走私船在A处北偏西75°方向，距A处2海里的C处的我方缉私船，奉命以103海里／时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里／时的速度，从B处向北偏东30°方向逃窜．问：辑私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船?并求出所需时间．ｔ＝6

10(小时)≈15(分钟)．

答：辑私船沿北偏东60°的方向行驶，才能最快截获走私船，需时约15分钟

例4

据气象台预报，距Ｓ岛300 ｋｍ的A处有一台风中心形成，并以每小时30ｋｍ的速度向北偏西30°的方向移动，在距台风中心270 ｋｍ以内的地区将受到台风的影响问：S岛是否受其影响?若受到影响，从现在起经过多少小时S岛开始受到台风的影响?持续时间多久?说明理由

分析：设B为台风中心，则B为AB边上动点，SB也随之变化S岛是否受台风影响可转化为SB≤27O这一不等式是否有解的判断，则需表示SB，可设台风中心经过ｔ小时到达B点，则在△ABS中，由余弦定理可求SB

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答：S岛受到台风影响，从现在起，经过（5－6）小时，台风开始影响S岛，且持续时间为26小时

三、小结

1.解三角形应用题的步骤：

（1）根据题意作出示意图；

（2）确定实际问题所涉及的三角形，分清已知元素与未知元素；

（3）分析问题中的已知与未知，选用正弦或余弦定理列出算式，进行计算求解；

（4）根据问题对结果的要求及所求问题的实际意义，作出符合实际要求的答案。

2. 通过本节学习，要求大家进一步掌握利用正、余弦定理解斜三角形的方法，明确解斜三角形知识在实际中的广泛应用，熟练掌握由实际问题向解斜三角形类型问题的转化，逐步提高数学知识的应用能力

四、课后作业：

1．已知在△ABC中，sinA∶sinB∶sinC=3∶2∶4，那么cosC的值为（

）

1122

B．

C．－

D．

44332．已知△ABC中，a＝4，b＝43，∠A＝30°，则∠B等于(

)

A．－

A．30°

B．30°或150°

C．60°

D．60°或120°

3．在△ABC中，若sinAsinB，则A与B的大小关系为（

）

A. AB

B. AB

C. A≥B

D. A、B的大小关系不能确定

4．已知△ABC中，AB＝6，∠A＝30°，∠B＝120°，则△ABC的面积为(

)

A．9

B．18 C．93

D．183

5．在△ABC

中，sinA:sinB:sinC=3:2:4，则cosC的值为（

）

A．2211

B．－

C．

D．－

33446．△ABC

中，1cosAa，则△ABC一定是（ ）

1cosBb

A. 等腰三角形

B. 直角三角形

C. 锐角三角形

D. 钝角三角形

7．一船以每小时15km的速度向东航行,船在A处看到一个灯塔B在北偏东60，行驶４h后，船到达C处，看到这个灯塔在北偏东15，这时船与灯塔的距离为

km．

8．一货轮航行到M处，测得灯塔S在货轮的北偏东15°相距20里处，随后货轮按北偏西30°的方向航行，半小时后，又测得灯塔在货轮的北偏东45°，求货轮的速度

9．△ABC中，a+b=10，而cosC是方程2x2－3x－2=0的一个根，求△ABC周长的最小值

10．在湖面上高h米处，测得云的仰角为α,而湖中云之影（即云在湖中的像）的俯角为β，试证：云高为hsin()米

sin()11.直线AB外有一点C，∠ABC＝6O°，AB＝2OOｋｍ，汽车以8O ｋｍ／ｈ速度由A向B行驶，同时摩托车以5O公里的时速由B向C行驶，问运动开始几小时后，两车的距离最小

12. 如图，海中有一小岛，周围3.8海里内有暗礁。一军舰从A地出发由西向东航行，望见小岛B

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在北偏东75°，航行8海里到达C处，望见小岛B在北端东60°。若此舰不改变舰行的方向继续前进，问此舰有没有角礁的危险？

13．如图，货轮在海上以35n

mile/h的速度沿方位角(从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角)为152o的方向航行．为了确定船位，在B点处观测到灯塔A的方位角为122o．半小时后，货轮到达C点处，观测到灯塔A的方位角为32o．求此时货轮与灯塔之间的距离．

北

122o o

152

B

北

A

32 o

C

14. 航空测量组的飞机航线和山顶在同一铅直平面内，已知飞机的高度为海拔10000m,速度为180km0（千米）/h（小时）飞机先看到山顶的俯角为15，经过420s（秒）后又看到山顶的俯角为450，求山顶的海拔高度（取2＝1.4,3＝1.7）．

1545

AB

图1

图2

DC

第

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