2.2.2 反证法优质课一等奖教案

[教学设计•高中数学]

《反证法》教学设计

姓

名： 赵钊

学

校： 西安市铁一中学

区

县： 碑林区

联系方式： 18991108796

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址： 友谊东路120号

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编： 710054

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《反证法》教学设计

陕西省西安市铁一中学 赵钊

第一部分：教学内容解析

本节课是《普通高中课程标准实验教科书选修2-2》（人教A版）第一章《推理与证明》的第3节《反证法》. “逻辑推理能力”是高中数学核心素养中非常重要的一个环节，也是人们学习和生活中，经常使用的思维方式。推理与证明贯穿于高中数学的整个体系，也是学数学、做数学的基本功。这一部分的学习是新课标教材的一个亮点，是对以前所学知识与方法的总结、归纳，并对后继学习起到引领的作用

第二部分：学生学情诊断

学生在初中已经接触过反证法，但是不够系统和详细。也已经在选修2-1《逻辑与推理》环节接触过命题的真假、逆否命题。但用反证法证明数学问题却是学生学习的一个难点。究其原因，主要是反证法的应用需要逆向思维，但在中小学阶段，逆向思维的训练和发展都是不充分的，所以本节课要引导学生联系已学过的教学实例学习新内容进行教学。

由于所教学生基础较好，但是数学思维相对欠缺，对于反证法证明简单命题问题不大，但由于对数论基础知识不是特别专长、对生活中的逻辑学生对数的了解不多，研究不够，所以例1能顺利解决，但是例2例3，解决起来还是会出现一定困难。

第三部分：教学目标设置

(1)知识与能力：了解反证法证题的基本步骤，会用反证法证明简单的命题。通过实例，培养学生用反证法证明简单问题的推理技能，进一步培养观察能力、分析能力、逻辑思维能力及解决问题的能力。

(2)过程与方法：通过直观感知—观察—操作确认的认识方法培养学生观察、探究、发现的能力和逻辑思维能力。让学生在观察、探究、发现中学习，在自主合作、交流中学习，体验学习的乐趣，增强自信心，树立积极的学习态度，提高学习的自我效能感。

(3)情感、态度、价值观：通过体验数学活动，渗透事物之间都是相互对立、相互矛盾、相互转化的辩证唯物主义思想。在学习和生活中遇到困难的时候，要学会换个角度思考问题，也许会使问题出现转机。

核心素养：逻辑推理能力

第四部分：重点难点分析

重点：

1、理解反证法的概念。

2、体会反证法证明命题的思路方法及反证法证题的步骤。

3、用反证法证明简单的命题。

难点：1、理解反设、归谬、结论过程中，哪些条件是假设，那些条件是结论。

2、运用反证法解决实际问题过程中的思维延伸。

第五部分：教学策略分析

通过自学和老师的范例讲解，体会反证法的含义及反证法证明命题的思路方法，自己总结反证法证题的基本步骤。法国数学家阿达玛曾说过：“反证法的证法在于表明，若肯定定理的假设而否定其结论，就会导致矛盾.”这是对反证法精辟的概括. 反证法所依据的是逻辑思维规律中的“矛盾律”和“排中律”.在同一思维过程中，两个互相矛盾的判断不能同时都为真，至少有一个是假的，这就是逻辑思维中的“矛盾律”；两个互相矛盾的判断不能同时都假，简单地说“A或者非A”，这就是逻辑思维中的“排中律”.2 / 6

反证法在其证明过程中，得到矛盾的判断，根据“矛盾律”，这些矛盾的判断不能同时为真，必有一假，而已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题都是真的，所以“否定的结论”必为假.再根据“排中律”，结论与“否定的结论”这一对立的互相否定的判断不能同时为假，必有一真，于是我们得到原结论必为真，所以反证法是以逻辑思维的基本规律和理论为依据的.反证过程中的批判思想更有助于学生正确的认识客观世界. 在教学过程中，我们要重视培养学生利用反证法对客观世界的认识提出自己的问题，这正是反证法教学所要教给学生的，应该具有的数学能力，也是培养学生数学素质与数学素养的很好教学机会.

第六部分：教学过程

情景引入

→

新知建构

→

典例分析

→

数学应用

→

1.情景引入

（PPT播放）

问题：

警察局有５名嫌疑犯，他们分别做了如下口供：

Ａ说：这里只有１个人说谎．

Ｂ说：这里有２个人说谎．

Ｃ说：这里有３个人说谎．

Ｄ说：这里有４个人说谎．

Ｅ说：这里有５个人说谎．

若你是警察，你觉得谁说了真话？该释放谁？

课堂小结

→

提升练习

（设计意图：由问题情景导入，激发学生的兴趣，给学生充分酝酿感受思考的时间. 通过对这个问题的解答，使学生自主探究反证法的概念及反证法证明的步骤.导入新课。此环节旨在提升学生的求知欲、探索欲，使学生保持良好、积极的情感体验。）

学生活动：小组讨论，首先确定方案的小组，选取代表发言。

老师活动：点评学生回答，提出直接判断的困难所在，引出间接判断的思想方法。

2.新知建构

上节课我们学习了用综合法、分析法等直接证明问题的方法。但是有的问题要么显然成立、要么分成多种情况解决、要么正面解决时，没有合理的操作方案，总之要解决这类问题正面解决起来，会遇到比较大的困难的问题，我们常用间接的方法证明一个问题是成立的——反证法。

（1）反证法的定义：

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反证法：一般地，假设原命题不成立，（即在原命题的条件下，结论不成立），经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法。

（2）反证法的解题步骤：

①．假设原命题的结论不成立；（反设）

②．从这个假设出发，经过正确的推理，推出矛盾；（归缪）

③．因此说明假设错误，从而证明了原命题成立.（结论）

（3）反证法的理论依据：

反证法所依据的是逻辑思维规律中的“矛盾律”和“排中律”。

“矛盾律”：在同一思维过程中，两个互相矛盾的判断不能同时都为真，至少有一个是假的。

“排中律”：两个互相矛盾的判断不能同时都假，简单地说“A或者非A”一个为真，一个为假。

反证法在其证明过程中，得到矛盾的判断，根据“矛盾律”，这些矛盾的判断不能同为真，必有一假，而已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题都是真的，所以“否定的结论”必为假。再根据“排中律”，结论与“否定的结论”这一对立的互相否定的判断不能同时为假，必有一真，于是我们得到原结论必为真。

3.典例分析：

例1、已知：a1a2a3a4100,求证：a1,a2,a3,a4中，至少有一个数大于25.

【设计意图】本例是一个规范的例题，不仅条件和问题简单，而且在锻炼学生解题格式方面，有非常好的导向作用，也能够印证出反证法重点解决的是正难则反的问题，这一基本原则。

【题目分析】由于条件中只有a1,a2,a3,a4的一个不等关系，要证明某一个数字的属性，正面分析太过困难，所以选取间接证明的方法。找到“a1,a2,a3,a4至少有一个数大于25”的反面，推理得到a1a2a3a4与100的大小关系即可

【题目解析】证明：假设a125,a225,a325,a425，即a1a2a3a4100，这与题中a1a2a3a4100矛盾，故原假设a125,a225,不成立，即a325,a425a1,a2,a3,a至少有一个数大于25. 4【练习】已知a=x22y,by22z,cz22x，求证：a,b,c中至少有一个大于0.

236例2、求证：2是无理数.

【设计意图】本例是一个典型的使用反证法证明的问题，本例的难点是学生对无理数的了解很少，有理数的性质也接触得很少，许多学生对有理数的表示也不太熟悉，因此用反证法得出矛盾的方向也很不明确，教学中要逐步引导到位

【题目分析】由于无理数是个生成性概念，它是实数范畴内有理数的对立面。如果正面去验证2是无理数难以操作，但如果证明出2不是有理数，就可以说明它是无理数。而根据4 / 6

初中知识，有理数分为整数和分数，我们只需要假设是整数，推得矛盾，假设是分数，推得矛盾。问题就迎刃而解了。

【题目解析】证明：假设2是有理数，考虑到1不妨设222，故其不是整数，只能是分数. p,(p,q均为整数且互质)，两边平方得：p22q2，则p必为偶数，

q22设p2n，代入上式得：q2n，∴q必为偶数，这与p,q互质矛盾. 故原假设不成立，即2是无理数.

例3、求证：质数的个数是无穷个.

【设计意图】由于数学中有限与无限是互相辩证的的两个概念。要证明无限，只需证明有限不成立，即可说明无限成立。

【题目分析】质数个数若有有限个，那么多少个呢？我们可以把这些质数列举出来，然后用这些质数去构造出新的质数即可证明目标结论。

【题目解析】证明：假设质数个数有限，设它们为a1,a2,a3,...an，则a1,a2,a3,...an两两互Na1a2a3an1，质，考虑到a1a2a3an是生成的一个较大的合数，而给这个数字加1，此时N除任意一个给定质数都余1，所以N也是质数，这与假设矛盾。故质数个数是无穷. 4.数学应用：

在公元前300多年，人们认知世界还很浅的时候，亚里士多德根据经验认为：物体越重，下降速度越快。而随着社会的发展，人类文明进程快速变迁，在16到17世纪时，伽利略实验验证了亚里士多德的猜想是错误的。现在到了21世纪，人类的智慧已经再度发展，我们只需要用逻辑推理的方式就可以说明亚里士多德的猜想是错误的。请各位同学，用今天所学知识，尝试一下。

求证：“物体越重，下落越快”是假命题.

证明（实验法）

证明2：（反证法）

1：地点：意大利比萨

地点：中国西安铁一中

时间：1589年

时间：2017年12月

实验者：伽利略

实验者：在座同学

注意：在学生作答出现障碍时，可以给予一定的提示.“选取两重量不等的球”

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5.课堂小结

1、反证法证明命题的步骤：

第一步，反设：作出与求证结论相反的假设；

第二步，归谬：将反设作为条件，并由此通过

一系列的正确推理导出矛盾；

第三步，结论：说明反设不成立，从而肯定

原命成立。

2、反证法解决的问题类型：（正难则反问题） ①否定性命题；

②至多，至少，唯一，无穷，有限问题. ③…

6.提升作业

已知：abbcca1,求证：abc3

（课后学生完成）

第七部分：板书设计

见右图.

第八部分：教学反思

1、本课就新课程理念下定理教学课的课堂模式，做了一些探索。以问题解决为中心，通过提出问题，完善问题，解决问题，拓展问题，采用小组探究、自主学习的研究性学习方式，重点放在反证法的思想上，努力挖掘教学中蕴涵的思维价值，培养学生的逆向思维能力。改变了传统的解决问题模式

2、“用教材教，而不是教教材”，针对学生特点，将教材的例题和习题重组，尽量满足不同思维层次学生的需求。

3、例题来源于生活实际，又回到生活中，强调了数学应用意识。

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