阅读与思考 海伦和秦九韶教案及板书设计

《秦九韶算法》教学设计

一、教学目标

（一）知识与技能

1、理解秦九韶算法的计算过程及其程序；

2、会用秦九韶算法计算高次多项式的值．

（二）过程与方法

1、体验用秦九韶算法计算高次多项式的值的过程；

2、体验写秦九韶算法的程序的过程．

（三）情感态度与价值观

1、通过对秦九韶算法的理解和运用，体会我国古代数学家对数学的贡献，激发学生的民族自豪感和爱国热情,增强他们学习数学的积极性；

2、培养学生理解、运用知识的能力．

二、教学重、难点

重点：用秦九韶算法计算高次多项式的值．

难点：用循环结构表示“秦九韶算法”的算法步骤．

三、教学方法：情景教学法、启发式教学法、练习法和讲授法．

四、教学用具：电脑、投影仪、计算器．

五、教学设计

（一）提出问题，引出新课

当x=5时，求多项式f(x)=x5+x4+x3+x2+x+1的值？

让学生填空: 一个自然的做法：把5代入多项式f(x)，计算各项的值，然后把它们加起来，这时你一共做了 10 次乘法运算， 5次加法运算. 另一种做法：先计算x2的值，然后一次计算x2﹒x,( x2﹒x)﹒x,( (x2﹒x)﹒x)﹒x的值，这样每次都可以用上一次的结果，这时你用了 4 次乘法运算， 5 次加法运算. 显然，第二种做法少了6次乘法运算。这第二种算法就叫秦九韶算法(秦九韶，我国南宋时期的数学家，其著作有《数书九章》). 秦九韶算法就来自于秦九韶的《数书九章》. （二）探究新知

1、秦九韶算法

把一个n次多项式fxanxnan1xn1a1xa0改写成如下形式: f(x)anxnan1xn1an2xn2a1xa0(anxn1an1xn2an2xn3a1)xa0((anxn2an1xn3a2)xa1)xa0(((anxan1)xan2)xa1)a0求多项式的值时,首先计算最内层括号内一次多项式的值,即

v1anxan1,

1

然后由内向外逐层计算一次多项式的值,即

v2v1xan2, v3v2xan3,vnvn1xa0,

这样，求n次多项式fx的值就转化为求n个一次多项式的值．

上述方法称为秦九韶算法. 直到今天,这种算法仍是多项式求值比较先进的算法. 2、用秦九韶算法计算高次多项式的值

例1 已知一个5次多项式为fx4x52x43.5x32.6x21.7x0.8,用秦九韶算法求这个多项式当x5时的值. 解：将多项式变形为：

f(x)((((4x2)x3.5)x2.6)x1.7)x0.8.按照从内到外的顺序，依次计算一次多项式当x = 5时的值：

v04;v145222; v22253.5113.5;v

3113.552.6564.9;v4564.951.72826.2;v52826.250.814130.2.所以，当x = 5时，多项式的值等于14130.2

另解：（秦九韶算法的另一种直观算法）

4 2 3.5 -2.6 1.7 -0.8 + 0 20 110 567.5 2824.5 14131 ×5 4 22 113.5 564.9 2826.2 14130.2

所以，当x = 5时，多项式的值等于14130.2．

(在教师的启发下,让学生在课堂上写出例1的程序框图) 程序框图:

2

开始

输入f(x)的系数：

a0,a1,a2,a3,a4,a5

输入x0

n=1 v=a5

n=n+1 v=vx0+a5-n

n≤5? Y N

输出v

结束

在教师进一步的启发下,让学生在课堂上写出秦九韶算法的程序) (1)算法步骤：

第一步：输入多项式次数n、最高次项的系数an和x的值. 第二步：将v的值初始化为an，将i的值初始化为n-1. 3

(

第三步：输入i次项的系数an. 第四步：v=vx+ai, i=i-1. 第五步：判断i是否大于或等于0，若是，则返回第三步；否则，输出多项式的值v．

（2）程序框图：

开始

输入n,an,x v=an i=n-1 i=i-1 v=vx+ai

（3）程序：

INPUT “n=”；n INPUT “an=“;a INPUT “x=“;x v=a i=n-1 WHILE i>=0

i>=0? N 输出v 结束

Y 输入ai

4

PRINT “i=“;i INPUT “ai=“;a v=v*x+a i=i-1 WEND PRINT v END

3、课堂练习：

已知多项式f(x)=x5+5x4+10x3+10x2+5x+1,用秦九韶算法求这个多项式当x=-2时的值．

４、课堂小结：

(１)本节课学习了秦九韶算法，课堂上理解、运用了秦九韶算法计算高次多项式的值；

(２)本节课还写了秦九韶算法的算法步骤、程序框图和程序．

５、课外作业：P４8 A组第２题．

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