2.2.1 综合法和分析法优质课教学设计

2．2.1

综合法和分析法

学习目标

1.理解综合法、分析法的意义，掌握综合法、分析法的思维特点.2.会用综合法、分析法解决问题．

知识点一

综合法

思考

阅读下列证明过程，总结此证明方法有何特点？

已知a，b>0，求证：a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)≥4abc. 证明：因为b2＋c2≥2bc，a>0，所以a(b2＋c2)≥2abc. 又因为c2＋a2≥2ac，b>0，所以b(c2＋a2)≥2abc. 因此a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)≥4abc.

梳理

(1)定义：一般地，利用已知条件和某些数学________、________、________等，经过一系列的____________，最后推导出所要证明的________成立，这种证明方法叫做综合法．

(2)综合法的框图表示

P⇒Q1―→Q1⇒Q2―→Q2⇒Q3―→…―→Qn⇒Q

(P表示______________、已有的________、________、________等，Q表示____________________) 知识点二

分析法

思考

阅读证明基本不等式的过程，试分析证明过程有何特点？

a＋b已知a，b>0，求证：≥ab. 2a＋b证明：要证≥ab，

2

只需证a＋b≥2ab，

只需证a＋b－2ab≥0，

只需证(a－b)2≥0，

因为(a－b)2≥0显然成立，所以原不等式成立．

梳理

(1)定义：从要证明的________出发，逐步寻求使它成立的____________，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(____________、________、________、________等)，这种证明方法叫做分析法．

(2)分析法的框图表示

Q⇐P1―→P1⇐P2―→P2⇐P3―→…―→得到一个明显成立的条件

类型一

综合法

命题角度1

用综合法证明不等式

例1

已知a，b，c∈R，且它们互不相等，求证a4＋b4＋c4＞a2b2＋b2c2＋c2a2.

反思与感悟

(1)用综合法证明有关角、边的不等式时，要分析不等式的结构，利用正弦定理、余弦定理将角化为边或边化为角．通过恒等变形、基本不等式等手段，可以从左证到右，也可以从右证到左，还可两边同时证到一个中间量，一般遵循“化繁为简”的原则．

(2)用综合法证明不等式时常用的结论：

a＋b2a2＋b2①ab≤()≤(a，b∈R)；

22②a＋b≥2ab(a≥0，b≥0)．

b＋c－ac＋a－ba＋b－c跟踪训练1

已知a，b，c为不全相等的正实数．求证：＋＋>3. abc

命题角度2

用综合法证明等式

例2

求证：sin(2α＋β)＝sin β＋2sin αcos(α＋β)．

反思与感悟

证明三角恒等式的主要依据

(1)三角函数的定义、诱导公式及同角基本关系式．

(2)和、差、倍角的三角函数公式．

(3)三角形中的三角函数及三角形内角和定理．

(4)正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式．

跟踪训练2

在△ABC中，ACcos B＝，证明：B＝C.

类型二

分析法

例3

已知a>0，求证：

ABcos Ca2＋1a2－2≥a＋1a－2.

反思与感悟

分析法的应用范围及方法

跟踪训练3

(1)求证：a－a－1

(2)在锐角△ABC中，求证：tan Atan B>1.

1．设a＝lg 2＋lg 5，b＝ex (x<0)，则a与b的大小关系为(

) A．a>b

C．a

B．a＝b

D．无法确定

12．设0

) 1－xA．c

C．a

B．b

D．随x取值不同而不同

3．欲证2－3<6－7成立，只需证(

) A．(2－3)2<(6－7)2

B．(2－6)2<(3－7)2

C．(2＋7)2<(3＋6)2

D．(2－3－6)2<(－7)2

4.3－2________2－1.(填“>”或“<”) 115．设x，y是正实数，且x＋y＝1，求证：(1＋)(1＋)≥9. xy

1．综合法证题是从条件出发，由因导果；分析法是从结论出发，执果索因．

2．分析法证题时，一定要恰当地运用“要证”、“只需证”、“即证”等词语．

3．在解题时，往往把综合法和分析法结合起来使用．

答案精析

问题导学

知识点一

思考

利用已知条件a>0，b>0和重要不等式，最后推导出所要证明的结论．

梳理

(1)定义

公理

定理

推理论证

结论

(2)已知条件

定义

公理

定理

所要证明的结论

知识点二

思考

从结论出发开始证明，寻找使证明结论成立的充分条件，最终把要证明的结论变成一个明显成立的条件．

梳理

(1)结论

充分条件

已知条件

定理

定义

公理

题型探究

例1

证明

∵a4＋b4≥2a2b2，b4＋c4≥2b2c2，a4＋c4≥2a2c2，

∴2(a4＋b4＋c4)≥2(a2b2＋b2c2＋c2a2)，

即a4＋b4＋c4≥a2b2＋b2c2＋c2a2. 又∵a，b，c互不相等，

∴a4＋b4＋c4＞a2b2＋b2c2＋c2a2. b＋c－ac＋a－ba＋b－c跟踪训练1

证明

因为＋＋

abcbacbac＝＋＋＋＋＋－3. abbcca又a，b，c为不全相等的正实数，

bacbac而＋≥2，＋≥2，＋≥2，

abbcca且上述三式等号不能同时成立，

bacbac所以＋＋＋＋＋－3>6－3＝3，

abbccab＋c－ac＋a－ba＋b－c即＋＋>3. abc例2

证明

因为sin(2α＋β)－2sin αcos(α＋β) ＝sin[(α＋β)＋α]－2sin αcos(α＋β) ＝sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α－2sin αcos(α＋β) ＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α

＝sin[(α＋β)－α]＝sin β. 所以原等式成立．

跟踪训练2

证明

在△ABC中，由正弦定理及已知，得

sin Bcos B＝. sin Ccos C于是sin Bcos C－cos Bsin C＝0，

即sin(B－C)＝0.因为－π

从而B－C＝0，所以B＝C. 例3

证明

要证

只需要证

11a2＋2－2≥a＋－2，

aa11a2＋2＋2≥a＋＋2. aa11a2＋2＋2)2≥(a＋＋2)2，

aa因为a>0，故只需要证( 1即a2＋2＋4 a从而只需要证2 111a2＋2＋4≥a2＋2＋2＋22(a＋)＋2，

aaa11a2＋2≥2(a＋)，

aa11只需要证4(a2＋2)≥2(a2＋2＋2)，

aa1即a2＋2≥2，而上述不等式显然成立，故原不等式成立．

a跟踪训练3

证明

(1)方法一

要证a－a－1

只需证a＋a－3

只需证(a＋a－3)2<(a－2＋a－1)2，

只需证2a－3＋2a2－3a<2a－3＋2a2－3a＋2，

只需证a2－3a

只需证0<2，而0<2显然成立，

∴a－a－1

方法二

∵a＋a－1>a－2＋a－3，

∴1<，

a＋a－1a－2＋a－31∴a－a－11，

sin Asin B只需证>1，

cos Acos B∵A、B均为锐角，∴cos A>0，cos B>0. 即证sin Asin B>cos Acos B，

即cos Acos B－sin Asin B<0，

只需证cos(A＋B)<0.

∵△ABC为锐角三角形，∴90°

∴cos(A＋B)<0，因此tan Atan B>1. 当堂训练

1．A

[∵a＝lg 2＋lg 5＝lg 10＝1，

b＝exb.] 2．A

[∵02x>2x＝a，

1－1－x21x2∵－(x＋1)＝＝>0，∴c>b>a.] 1－x1－x1－x3．C

[根据不等式性质，当a>b>0时，才有a2>b2，

∴只需证2＋7<6＋3，即证(2＋7)2<(3＋6)2.] 4．< 5．证明

方法一

(综合法) x＋yx＋yyx左边＝(1＋)(1＋)＝(2＋)(2＋) xyxyyx＝4＋2(＋)＋1≥5＋4＝9＝右边，

xy原不等式得证．

方法二

(分析法) 11要证(1＋)(1＋)≥9成立，

xy∵x，y是正实数，且x＋y＝1，∴y＝1－x，

11只需证明(1＋)(1＋)≥9，

x1－x即证(1＋x)(1－x＋1)≥9x(1－x)，

即证2＋x－x2≥9x－9x2，

即证4x2－4x＋1≥0，

即证(2x－1)2≥0，此式显然成立．

∴原不等式成立．