1.1 回归分析的基本思想及其初步应用设计意图

§1.1 回归分析的基本思想及其初步

（第一课时）

教学目标

1、让学生明确用统计方法解决实际应用问题的思路；

2、

了解线性回归模型与函数模型的差异，理解用最小二乘法求回归模型的步骤；

3、了解判断两变量间的线性相关关系的强度——相关系数。理解只有两个变量相关性显著时，回归方程才具有实际意义；

4、了解随机误差e的认识

5、通过典型案例的探究，了解回归分析的基本思想，会对两个变量进行回归分析，明确解决回归模型的基本步骤，体会回归分析在生产实际和日常生活中的广泛应用． 教学重点

1、了解线性回归模型与函数模型的差异； 2、了解任何模型只能近似描述实际问题；

3、通过典型案例的探究，了解回归分析的基本思想，会对两个变量进行回归分析。

教学难点

1、了解线性回归模型与一次函数模型的差异；

2、了解随机误差e的认识

教学准备

课件

教学过程

1、问题一：一般情况下，体重与身高有一定的关系，个子较高的人体重比较大，你认为这种说法一定正确吗？

学生思考、讨论，教师引导学生判断体重与身高之间的关系（函数关系、相关关系）

问题二：什么是回归分析？用回归分析的方法对两个具有线性相关关系的变量进行研究的基本步骤是怎样的？

（学生回忆、交流，教师点评）

回归分析的基本过程：⑴画出两个变量的散点图；

⑵判断是否线性相关

⑶求回归直线方程（利用最小二乘法）

⑷并用回归直线方程进行预报

2、例题讲解：

例1：从某大学中随机选取8名女大学生，其身高和体重数据如表所示。求根据一名女大学

生的身高预报她的体重的回归方程，并预报一名身高为172cm的女大学生的体重。

编号

身高/cm

体重/kg

1

165

48

2

165

57

3

157

50

4

170

54

5

175

64

6

165

61

7

155

43

8

170

59

审题：提问引导学生理解题意

①数据体重与身高之间是一种不确定性的关系，它们是否具有线性相关关系？如何判断？

②数据体重与身高谁是自变量，谁是因变量？你能求出求出用身高预报体重的回归方程吗？

学生根据以前所学的知识，自主解答后，讨论、交流展示。

解：①画出散点图，以身高为自变量x，体重为因变量y画出散点图。

70

65

60

55

50

45

40155160165170175180

150

从散点图中可以看出样本点呈条状分布，身高与体重之间具有较好的线性相关关系，可以用回归直线来近似刻画它们之间的关系。 ②列表求出相关的量，并求出线性回归方程

i 1 2 3 4 5 6 7 8 合计

xi 165

165

157

170

175

165

155

170

1322

yi 48

57

9405

50

7850

54

9180

64

11200

61

10065

43

6665

59

10030

436

72315

xiyi 7920

xi

227225

27225

24649

28900

30625

27225

24025

28900

218774

ˆ代入公式有bxyii1nninxynx2xi12i723158165.2554.50.848

22187748165.25ˆybx54.50.849165.2585.712

aˆx0.849x85.712

ˆaˆb所以回归方程为y③利用回归方程预报身高172cm的女大学生的体重约为多少？

ˆ0.84917285.71260.316kg

当x172时，y

3、探究新知：身高为172cm的女大学生的体重一定是60.316kg吗？

（不一定，但一般可以认为她的体重在60.316kg左右.）

思考、讨论、解释，引导学生比较函数模型与线性回归模型的不同。

解释线性回归模型与一次函数的不同：

从散点图可观察出，女大学生的体重y和身高x之间的关系并不能用一次函数ybxa来严格刻画（因为所有的样本点不共线，所以线性模型只能近似地刻画身高和体重的关系）。在数据表中身高为165cm的3名女大学生的体重分别为48kg、57kg和61kg，如果能用一次函数来描述体重与身高的关系，那么身高为165cm的3名女在学生的体重应相同。

这就说明体重不仅受身高的影响还受其他因素的影响，把这种影响的结果e称为随机误差。引入到线性函数模型中，得到线性回归的完整模型ybxae，其中随机误差e中包含体重不能由身高的线性函数解释的所有部分，

当e恒等于0时，线性回归模型就变成一次函数模型。

4、如何衡量两个变量之间线性相关关系的强弱呢？

相关系数

rxi1ni1nixyiynxiyi－nx

yi＝1n=

22xxyyiii1x2i－ni＝1n2xy2－nyii＝12n相关系数的绝对值越接近于1，两个变量的线性相关关系越强，它们的散点图越接近一条直线，这时用线性回归模型拟合这组数据就越好，此时建立的线性回归模型是有意义；相关系数的绝对值越接近于0，两个变量的线性相关关系几乎不存在，它们的散点图越离散，

通常当r大于0.75时，认为两个变量有很强的线性相关关系。

5、根据上述公式计算本例中两个变量之间的相关系数，说明在此例中由体重与身高建立的线性相关关系有无意义？

（r0.798，表明体重与身高有很强的线性相关关系，从而表明我们建立的回归模型是有意义的。）

6、课堂小结：

（1）熟练掌握求线性回归方程的步骤；（2）理解线性回归模型与一次函数的不同；

一次函数模型是线性回归模型的特殊形式，线性回归模型是一次函数模型的一般形式；

（3）了解相关系数的计算与解释。

7、当堂训练：

下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生

产能耗y(吨标准煤)的几组对照数据：

x y 3

2.5

4

3

5

4

6 4.5

(1)请画出上表数据的散点图；

(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程；

(3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据(2)求出的线性回归方程，预测技改后生产100吨甲产品比技改前少消耗多少吨标准煤．

(参考数值：3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5) 8、预习思考：怎样判断我们建立的线性回归模型是否理？前 面我们用相关系数对一组数据之间的线性相关

程度作出了定量分析，还有其他方法吗？