11、商不变的规律教学设计案例

《商不变的规律》

无锡市前洲中心小学

朱绮琳

【教学目标】

1.学生经历感悟、体验、猜想、观察、验证、应用等学习过程，发现和掌握商不变的规律，初步学会应用商不变的规律进行一些简便计算。

2.学生联系学习材料、经历学习活动，培养观察、比较、和抽象、概括的能力，积累基本的数学活动经验，初步体会简单的函数思想。

3.学生具有提出问题，探究问题、合作交流和善于发现的学习能力，受到事物“变与不变”等辩证唯物主义观点的熏陶。

【教学重点】

发现、认识商不变规律

【教学过程】

一、引发矛盾，探索规律

1.口算

师：同学们，我们前面我们一直在学习了两、三位数除以两位数。下面的这些口算你会算吗？

出示口算：

400÷80= 200÷40= 100÷20= 50÷10= 25÷5= 师：开火车说结果。并选择两题说说你是怎样算的。

——只要想被除数里面有几个除数或者背乘法口诀。

2.观察算式，提出质疑，引发矛盾

师，请同学们观察这些算式，想一想，这些算式的商有什么特点？

——结果都是5。

师：对呀，商都是5，商不变（板书：商不变）可是什么在变呢？

——被除数和除数（板书：被除数和除数）

师：被除数和除数究竟有怎样的变化，商却不变呢？今天这节课我们一起来研究这个问题。

3.交流猜测

师：看看这些算式的被除数和除数它们是怎么变化的，你有什么发现，同桌两人讨论下你们的想法？

学生的发现会有以下这些预设：

1、——我发现了被除数和除数每次都在变小

师：是怎样变小呢？

——都除以2 师：哪一个在除以2？被除数吗？还是除数？

——是被除数和除数同时除以2 师：你们同意他的说法吗？（在刚才黑板上“被除数和除数”的后面继续板书：

“同时

÷2”）

师：是啊，我们从上往下比较出每组的被除数和除数同时除以2，商不变都是5.你们还有其他发现吗？

2、——我发现了还可以从下往上看，每组的被除数和除数同时在乘2，商也不变

师：你们看出来了吗？说的真不错，从下往上看每组都是乘2了，商也不变（在刚才的“同时”和“÷2”中间补充板书“×2”和“或”）

3、还有谁有其他发现？

（如果没有学生提出来，你就自己出示两个间隔的PPT页面400÷80和100÷20）

师：你们看看这两组，它们的被除数和除数之间有什么变化呢？

——被除数和除数同时除以4，还有乘4（你在刚才黑板上×2的下面写上×4，÷2的下面写上÷4）

4、师：除了可以看这两组之外，你还能看哪两组算式？

（学生依次说，你就顺着学生说的板书相对应的乘几和除以几。）

此时的板书应该是这样的：

被除数和除数同时×2

或

÷2

商不变

×4

÷4

×8

÷8

×16

÷16 5、师：哇，你们真了不起，大家你一言我一语说了这么多，好像发现了一个什么规律？谁想来替大家总结下吗？

——被除数和除数同时乘一个数或除以一个数，商不变（学生说到这个的时候，你就把黑板上乘几那一竖列擦掉，换成“乘一个数”。后面也是一样，擦掉，换成“除以一个数”）

6、师：说的真不错，可按着这个说法，老师还有个疑问。要是被除数乘2，除数乘4呢？商还会不变吗？那这个话怎么修改才合适？

——乘的和除以的必须是同一个数

师：那这句话调整一下说法：被除数和除数同时乘或除以同一个数，商不变（把刚才写的再擦掉，板书：乘或除以同一个数）

7、师：别忘了，我们这些都是在什么运算中？

——除法运算

师：对啊，所以前面得加上一个前提（板书：在除法中，）

8、师：现在这句话把刚才我们发现的规律说清楚了吗？我们一起把发现的这个规律读一读。

师：可是老师又有一个疑问，这个规律仅仅是通过这5个除法算式得到的。会不会在别的除法算式里就不适用了呢？你们能自己再举些除法算式的例子，来验证下是不是被除数和除数同时乘或除以同一个数，商就会不变呢？（在这个规律的后面打个问号）

——学生举例，教师巡视

师：谁来说一说，你举了哪些例子？

（多请几个学生说说，并板书学生的例子）

师：同学们，刚才这些同学找的这些例子，都符合刚才的这条规律吗？（指一指ppt ）你们自己找到的例子也都符合吗？有没有不符合这条规律的情况？（没有）

师：你们没有，朱老师有。出示：任意一组算式，板书演示同时乘0，展现“0

÷0=0”，你们看，结果不就和原来这道算式不同了吗？

——不同意

师：为什么不同意？能说说你的理由吗？

——在二年级学除法的时候，我们就知道，除数是不能为0的，而“0÷0=0”这道算式中，除数为0了，是不可以的，这道算式是没有意义的。

师：那同时除以0可以吗？

——不可以，除数不能为0，怎么能除以0呢？因此同时除以0也没有意义。

师：那咋办？难道一个0的问题就让我们辛辛苦苦找的规律全废了吗？除了0之外，其他的数都成立吗？那就把0排除掉可以吗？所以我们再调整下这条规律（板书：0除外）

5.归纳发现结论

师：经过了大家那么多验证，又解决了这个0的问题，现在这条规律能完整了吗？我们一起来读一下这条规律。这就是我们今天要来研究的新规律（板书课题：商不变规律）

二、巩固练习，运用规律

接下来我们一起来看一看，运用这条规律能解决那些问题。

出示练习：

1.完成“练一练

提问：同学们，看了这张表格，你知道原来的算式是怎样的吗？（30÷6=5）

提问：那表中的这些算式，商都是几呢？（5）

追问：为什么商都是5？

小结：是啊，当被除数和除数同时乘或除以一个相同的数，虽然除法算式会改变，但商却没有变。正因为这样，运用这个规律，可以使一些除数是两位数的口算变得更加的简便。

2.出示练习五第2题

师：学生开火车口算得数，第一个算式指名说说怎么想的？

——只要想被除数里面有几个除数。

师：很好，我们以前就是这样来解决的。

追问：有没有谁有其他的方法？

预设：

——同时除以一个其他的数：例如学生说到同时÷20 师：可以。那你知道他这样算是什么道理呢？（商不变规律）

那既然可以使用商不变的规律来口算，那老师觉得是否可以把被除数和除数同时除以10更加简单明了呢？（显示8÷2）

你看，运用这样的规律，后面的5个是不是也可以这样来算呢？（说到最后一个是：追问：这里为什么不是4÷5，而是40÷5？）

小结：是啊，因为学习了商不变的规律，我们可以把这些被除数和除数末尾都有0的算式转化为像这样的一些算式（指红色算式）来进行口算，这样按照乘法口诀，就能又快又准的算出得数，以后同学们也可以运用这个方法来做口算。

4. 出示练习五第3题

教师出示题卡: 指名让学生口算得数，并说说是怎样算的。

然后全班一起说: 960÷30可以把被除数和除数同时除以10，转化为96÷3来计算，结果就是32。（其他几题同样的说法）

5. 出示练习五第4题

提问：你能看懂题目的意思吗？

如果学生看不懂，则进一步启发：

1.

这里有哪几道除法算式？（引导学生一起观察4组算式，配合演示）

2.

这些算式都有什么相同点？（商都是4）

3.

你能利用今天学习的规律填出下面三题的除数吗？（学生练习）

4.

交流：谁来说说你的结果？为什么？

5.

现在我们再来看第二组算式，你会填了吗？（学生填写）

6.

交流：谁来说说你的结果？为什么？

7.提问：为什么这两组算式中填的除数和被除数会有变化？

小结：商不变的时候，被除数变化，除数也要有同样的变化；或者除数变化，被除数也要跟着有同样的变化。

7.

出示练习五第5题（机动）

1.读题，观察表格，你能说说题目中的条件吗？

2.数量关系：要求计算器的价格，该怎么算？（学生表述）

提问：他们购买的计算器价格相同吗？说说理由。

学生可以根据计算，来得到单价相同。则追问：有没有更好的办法？

指出：是啊，在除法中，被除数和除数同时乘或除以一个相同的数（0除外）商不变。这条规律同样可以用来解决我们生活中的一些问题，并且有着广泛的运用，以后我们会进一步的来学习和感悟。

三、回顾全课，总结提升

师：同学们，我们一起来回顾下这节课，从开始的5个口算开始，我们提出了一个问题，被除数和除数怎么变化，商就会不变呢？（贴上“提出问题”）于是大家通过不断观察和调整得到了一个规律（手比划一下黑板上的规律），而这个仅仅是通过这5个算式得到的一种猜测（贴上“进行猜想”）；为了验证这个猜想的正确性，大家进行了举例验证（贴上“举例验证”）；最后我们因为一个0的问题，再次调整规律，得到最终的结论（贴上“得到结论”）。

同学们，你们知道吗，刚才我们经历了“提出问题”、“进行猜想”、“举例验证”、“得出结论”这一过程。这种科学严谨的研究方法最早是由十七世纪一位伟大的科学家、数学家同时也是天文学家，发明望远镜的伽利略提出的。于是大胆猜想，小心求证便成了研究数学问题的一般方法。刚才我们为了验证这个猜想，全班举了这么多例子，其实从科学地来讲还不远远不够。很多数学家为了一个猜想，穷其一生甚至后人几代人都在验证。最著名的要数

“费马猜想”（屏幕出示费马猜想的介绍）

同学们，费马猜想历经300多年才被验证，这就是实事求是的科学精神。在科学面前容不得半点虚假。当今历史上还有一个悬而未决的著名数学猜想，叫哥德巴赫猜想，由哥德巴赫在1742年提出，三百多年来对它的验证从没中断过，可至

今仍没有人能合理解释这个猜想。老师希望在座的同学们能努力学习，说不定今后就能出现个小小数学家，来完成哥德巴赫猜想呢！

四、板书设计

商不变的规律

在除法中，被除数和除数同时乘或除以同一个数（0除外），商不变

提出问题

→

进行猜想

→

举例验证

→

得到结论