2.2.2 直线方程的几种形式优秀教学设计

《2.2.2

直线方程的几种形式》教学设计

庄河二高中

张文苑

一

教学目标

：

1、知识与技能：探索并掌握直线方程的几种形式（点斜式、斜截式、两点式及一般式）。

能根据确定直线位置的几何要素来选择恰当的式子求出直线方程。理解直线与二元一次方程的对应关系。

2、过程与方法：引导学生求解出直线方程的点斜式方程，学生之间交流合作，利用已学的点斜式方程求解其他形式的方程。提高自身动手能力、合作学习能力和运用知识解决问题的能力。

3、情感态度与价值观：通过对直线方程几种形式的探究，培养了学生观察思考、知识迁移的能力，增强了学生间的交流合作。

二

重点：点斜式方程的推导，根据确定直线位置的几何要素来选择恰当的式子求直线方程

难点：直线与二元一次方程的对应关系，直线方程的几种形式的各自适用范围。

三

教学方法：

学生在初中阶段学过一次函数，对于定义域为实数集的一次函数的图像是直线这件事不陌生。教育心理学认为成功的概念教学应该建立在学生已有知识结构基础上，经过自身探究得出新知识。于是本节课我采用的是“问题探究式”和“任务驱动式”教学方法，由斜率公式入手，逐步设问，按照点斜式斜截式两点式截距式一般式的顺序层层引导。教学过程中穿插了“活动”和“思考与讨论”模块，是为了说明这几种形式的各自适用范围和局限性，用小组活动的形式引导学生主动思考。

四

教学环节：

（一）、复习引入：1、确定一条直线的条件是什么？

/*两个点能确定一条直线。*/

2、在平面直角坐标系中，除了两点可确定一条直线之外，由直线的斜率不能确定其位置，再附加一个什么条件，直线的位置就确定了？

/*已知直线斜率，再加一个点即可确定直线的位置。意在引出点斜式方程。*/

3、已知直线上的两点坐标，如何求斜率？

/*在本章已经学过斜率公式，学生不陌生。*/

4、已知直线l经过点P0(x0，y0)，且斜率为k，设点P(x，y)是直线l上不同于点P0的任意一点，那么x，y应满足什么关系？

/*设计意图：由于学生刚接触解析几何，对于用代数方法解决几何问题不是很熟练。这时需要教师引导：两点已有，找出关于x,y的等量关系，即斜率公式。向学生渗透解析几何中求点

的轨迹方程的一般步骤，也为以后学习求动点轨迹方程埋下伏笔。*/

/*设计意图：根据学生的认知结构和心理，从易到难的学习过程是他们所熟悉和容易接受的。看似简单的前两个问题是为了增强学生的学习自信心和激发学习的主动性。在深刻理解斜率公式的基础上，可以运用它求出问题四的关系式，掌握点斜式的推导过程，为以后求动点的轨迹方程做好铺垫。

在问题四的结尾处教师会有意识地把得到的分式写成整式，这样便于总结出直线方程的第一个形式——点斜式。*/ （二）新课讲授：

1．直线的点斜式方程：

方程 y－y0＝k(x－x0) 由直线上一定点(x0，y0)及其斜率k确定，故把该方程叫做直线的点斜式方程，简称点斜式．

/*此处板书，给出直线的点斜式方程。*/

#活动一：直线的点斜式方程为 y－y0＝k(x－x0) ，经过点P0(x0，y0)的任意一条直线的方程都能写成点斜式吗？

/*极少数学生能够意识到直线斜率不存在的情况，这时教师在黑板上建立平面直角坐标系，确定点P0，画出四种不同形式的直线，运用数形结合思想，学生能够很形象地理解k>0,k<0,k=0和k不存在时，是否都能对应写出点斜式方程。体现数形结合思想在分析解析几何知识时的重要性。*/

(1)当直线l与x轴垂直时，斜率不存在，其方程不能用点斜式表示，但因为l上每一点的横坐标都等于x0，所以它的方程是_____x=x0___. (2)当k＝0时，直线l与y轴垂直，这时的方程可写为_y=y0________.

/*给学生留出小组研究的时间，引导学生体会此时数形结合思想的重要性，根据题意画图后直线方程会更容易直接得出*/

#活动二：若直线l的斜率为k，且与y轴的交点为P(0，b)，则直线l的方程是什么？

/*运用点斜式写出直线方程后，移项，即出现y=kx+b式子，学生也能够体会出斜截式方程是点斜式方程当已知点特殊在y轴上时得出的式子，理解知识之间的关联*/ 2．直线的斜截式方程

如果一条直线通过点(0，b)，且斜率为k(如图)，则直线的点斜式方程为

y-b=k(x-0)．整理，得y＝kx＋b.

此式中b 叫做直线在y轴上的截距。

/*此处板书，指着图像问学生“直线y=kx+b”与“一次函数y=kx+b”一样吗？有什么区别？这也复习了函数概念。*/ 例1：求下列直线的方程

(1)过点（2,1），

k＝－1；

(2)过点（－2，1）和点（3，－3）

(3)过点(3，－4)，且与y轴垂直；

(4)过点P(5，－2)，且与x轴垂直；

例2：求过点（0,1），斜率为

1的直线方程。

2/*把学生视为学习的主体，教师示范例题，板书出规范解题步骤。*/ #方法总结：求直线方程时先判断斜率是否存在，若存在，代入点斜式方程，求其斜率．若不存在，通过数形结合直线方程可用x＝x0表示

/*总结应用的一般规律，是为了给学生提供解决此类问题的一般算法。寻找算法是数

学研究的核心理念。*/

强化小题：1.求满足下列条件的直线方程．

(1)过点P(－4,3)，斜率k＝－3；

(2)过点P(3，－4)，且与x轴平行；

(3)过点P(5，－2)，且与y轴平行；

(4) 过点P(0,3)，斜率k＝－3；

/*给学生恰当的时间做题，从已经分好的学习小组中抽出4人上黑板做题，待多数同学做完之后，小组间交叉检查黑板上的答案的解题思路，书写的规范性，提出改进方案，

此时直线方程的一般式还没讲，所以教师不必强调结论写法。主要目的是强化两种方程的熟练应用

。小组间的互动会激发出学生的学习兴趣，也会在别人身上找到自己在解题时遇到的困惑。*/

2.在直线方程y-1=k(x+1)中,k取遍所有实数，可得无数条直线，这无数条直线都过哪一点？其中k取什么范围值时直线经过第一象限？k取什么范围值时直线不经过第一象限？

/*设计意图：（1）直线恒过点问题，法一：令k取两个特殊值，两条直线交点即是。法二：

待定系数法。（2）多数同学在第二问的解答中出现不完整的思路，这时可引导学生先回答第三问，因为二者的答案互为补集。（3）第一问求出了恒过的定点，数形结合在平直系中点出此点，直线绕此点转动，能够得出符合第三问的几种直线。再把给定方程化为斜截式，研究满足要求的直线的斜率和截距各自的取值范围，此题得解。综上，此题较难，但是能够锻炼学生的思辨能力和严谨的学风，“正难则反”是解题的常用技巧。*/

*思考与讨论一：1、直线的斜截式方程在结构形式上有哪些特点？如何理解它与一次函数的联系和区别？能否用斜截式方程表示直角坐标平面内的所有直线? /*再次强调“函数方程”与“曲线方程”是不同的*/

2、若直线l的斜率为k，且与x轴的交点为P(a，0)，则直线l的方程是什么？

/*这个问题很自然，斜截式y=kx+b中的b意味着直线在y轴上的截距，那么x轴呢？*/

Ex：直线斜率为-3，在x轴上的截距为5，试写出直线方程。

/*应用刚推导出的公式解决此题，以后学到选修教材的圆锥曲线与直线一节时，学习成绩优秀的学生会意识到曾学过x=my+a这一直线方程*/

/*设计意图：分别用两个小组活动，培养学生自主推导能力，得出点斜式和斜截式方程。选择恰当的例题来深化公式的理解，并在题后总结应用的一般规律，以便于学生总结出解决此类问题的一般算法。自然过渡到思考讨论环节，丰富学生的知识体系。*/

#活动三：设直线l经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，其中x1≠x2，y1≠y2，则直线l斜率是什么？结合点斜式，直线l的方程如何？

/*导出两点式方程，格式上不作统一，在推导时注意两个不等条件*/

3、直线的两点式方程为yy1xx1(x1x2,y1y2)

y2y1x2x1 /*板书的同时强调式子的规律性，及不等条件在式子中的意义。*/

*思考与讨论二：若两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)中有x1=x2或y1=y2，则直线P1P2的方程如何？

/*得出两点式后，学生会自然想到，如果那两个不等条件改变后，两点式失效。那么如何求直线方程呢？在此设问，深化数形结合思想。*/

#活动四：若直线l经过点A(a，0)，B(0，b)，其中a≠0，b≠0，则直线l的方程如何？

求证出教材79页课后习题B组第4题的结论形式

/*当已知直线上的两点特殊为坐标轴上的两点（非原点）时，两点式就会演化为截距式。

学生上黑板示范活动成果。*/

4、直线的截距式方程为xy1(a0,b0)。其中a叫做

直线在x轴上的截距

，b ab

叫做

直线在y轴上的截距

。 /*强调格式*/

*思考与讨论三：直线的截距式方程中a，b的几何意义如何？过原点的直线方程能用截距式表示吗？若直线l在两坐标轴上的截距相等，且都等于m，则直线l的方程如何？

/*多数学生会忽略m=0的情况，此时教师不用强调，在即将安排的试题（3）中让学生亲自试验，那时纠错印象深刻。*/ 例3：（1）用两点式写出例1（2）的直线方程。

（2）直线在x轴、y轴上的截距分别为3，－5，写出其方程。。

（3）求过点A(4,1)且在两坐标轴上截距相等的直线l的方程

/*不是所有学生都能采用分类讨论思想完整解答这一题。在刚才的思考讨论环节，忽略截距为零的情况的同学，就需要教师在此时给予帮助纠错，这样印象更深刻。在以后的学习中对于数学学科的严谨逻辑性方面学生也会进步。为了强化这类题型，可放手给学生，自编一题自作答。*/

（4）已知三角形的三个顶点A（-5，0），B（3，-3），C（0，2），求各边所在的直线方程，以及BC边上中线所在直线的方程. /*综合应用题型*/

*活动五：以上各题所求出的直线方程都是几元几次方程？这些直线方程都可以用统一的格式表达吗？

/*设疑引出一般式*/

5、直线方程的一般式：直线的方程都是关于x，y的二元一次方程；同时，关于x，y的二元一次方程都表示一条直线。此式记作Ax＋By＋C＝0 ， 22 其中（A+B≠0）

例4：（1）已知直线经过点（－2,5），且斜率为 3，求此直线的一般式方程。

4（2）求直线2x-3y+6=0的斜率及在y轴上的截距。

强化小题：求下列直线的斜率，在坐标轴上的截距以及与坐标轴围成的三角形的面积

（1）3x - y+1=0

(2)x+3y-6=0

/*通过两道例题理解一般式是对其他各式的总结，也是对曲线方程概念的深化。*/

*说明：无论使用哪一种直线方程形式，最后没有特殊说明，应将直线方程化为Ax＋By＋C＝0的形式．

五、课堂知识小结：

1．直线方程几种形式的比较

方程名称

点斜式

确定条件

已知一点P0(x0，y0)和斜率k 直线方程

局限性

不能表示与x轴垂直(即斜率不存在)的直线

y－y0＝k(x－x0)

斜截式

两点式

已知斜率

y＝kx＋b

k和在y轴上的截距b 不能表示已知两点yyxx11(x1x2,y1y2)

与坐标轴垂直A(x1，y1)、B(x2，y2y1x2x1的直线

y2)及x1≠x2，y1≠y2

截距式

已知直线 在x轴、y轴上

xy的截距分别是 1(a0,b0)

a、b（a,b非零）

ab不能表示过原点或与坐标轴垂直的直线

一般式

作答时若没有特殊说明，应将直线方程化为

Ax＋By＋C＝0的形式

。（A2+B2≠0）

/*这一重要环节分组研究，汇报结果，共同提高*/ 2.

无论使用哪一种直线方程形式，都应明确其限制条件，最后没有特殊说明，应将直线方程化为Ax＋By＋C＝0的形式．

3．本节用到的数学思想方法：数形结合思想，分类讨论思想等。

/*设计意图：小结是为了帮助学生总结重点、理清脉络、加深记忆、巩固知识、活跃思维，有重要的作用。*/

六、课后能力提升与作业：

1、求经过点P(-5，4)，

（1）在两坐标轴上的截距相等的直线方程. （2）在两坐标轴上的截距绝对值相等的直线方程. （3）在两坐标轴上的截距互为倒数的直线方程.

/*考察处理方程的计算能力*/

2、已知直线l的斜率为2，且与两坐标轴围成的三角形的面积为4，求直线l的方程.

/*在上题的基础上反思求解方法*/

七、教学反思：

我曾困惑过，为什么学生上课听得懂，但是自己做题时却不会做，为什么学困生会越来越没有信心学好数学。经过长时间的思考，我明白了在课堂上让学生参与到知识的发生发展过程中是十分重要的，只有积极参与才能爱上数学定义定理的严谨美和公式推导过程的神奇。平时成为学习的主人，才能在高考中驾驭好试卷上的能力型题型。本节的设计很流畅，既注重知识的发展过程，又为以后学好解析几何奠定基础。