2.3.1 圆的标准方程多媒体教学设计及其点评

4.1.1

圆的标准方程

（一）教学目标

1．知识与技能

（1）掌握圆的标准方程，能根据圆心、半径写出圆的标准方程. （2）会用待定系数法求圆的标准方程. 2．过程与方法

进一步培养学生能用解析法研究几何问题的能力，渗透数形结合思想，通过圆的标准方程解决实际问题的学习，注意培养学生观察问题发现问题和解决

问题的能力. 3．情感态度与价值观

通过运用圆的知识解决实际问题的学习，从而激发学生学习数学的热情和兴趣. （二）教学重点、难点

重点：圆的标准方程

难点：会根据不同的已知条件，利用待定系数法求圆的标准方程.

（三）教学过程

教学

教学内容

环节

圆作为平面几何中的基本图形，确定它的要素是什么呢？什么叫圆？在平面直角坐标系中，任何一条复习

直线都可用一个二元一次方程来表引入

示，那么圆是否也可用一个方程来表示呢？如果能，这个方程具有什么特征？

确定圆的基本条件为圆心和半引导学生自己证明径，设圆的圆心坐标为A(a，b)，半(x

–

a)2

+ (y

–

b)2

= 径为r (其中a、b、r都是常数，r＞0)r2为圆的方程，得通过学生自己概念

么点M满足的条件是(引导学生自己方程②就是圆证明培养学生形成

列出)P = {M|MA| = r}，由两点间的距心为A (a，b)半径为的探究能力. 设计

师生互动

意图

由学生回答，然后引入课题

设置

情境

引入

课题

设M

(x，y)为这个圆上任意一点，那出结论.

离公式让学生写出点的坐标适合的r的圆的方程，我们条件

(xa)2(yb)2r把它叫做圆的标准

①

方程. 化简可得：(x

–

a)2 + (y

–

b)2 = r2②

6

–

–

4

–

–

2

–

–

–

–2 –

–

–4

–

–

–

A

M

5

–5

例1

写出圆心为A

(-2，3)半径从计算点到圆心的距长等于5的圆的方程，并判断点M1(2，6)，M2(5,1)是否在这个圆上. 引导学生分析探究:

分析探求：可以从计算点到圆心的距离入手.

应用

举例

探究：点M(x0，y0)与圆(x

–

a)2 + (y

–

b)2 = r2的关系的判断方法：

（1）(x0

–

a)2 + (y0

–

b)2＞r2，点在圆外.

（2）(x0

–

a)2 + (y0

–

b)2 = r2，点在圆上.（3）(x0

–

a)2 + (y0

–

b)2 ＜r2，点在圆内. 离入手.

例1

解：圆心是A(-2，3)，半径长等于5的圆的标准方程是(x

+ 2)2

+ ( y

- 3)2 =25.

把M1 (2，6)，M2

(5，–1) 的坐标代入方程(x

–2)2

+ (y

+3)2

=25，左右两边相等，点M1的坐标适合圆的方程，所以点M2在这个圆上；把M2 (5，–1)的坐标代入方程(x

– 2)2 + (y +3)2 =25，左右两边不相等，点M2的坐标不适合圆的方程，所以M2不在这个圆上

通过实例引导学生掌握求圆的标准方程的两种方法.

例2 △ABC的三个顶点的坐标是师生共同分A(5，1)，B(7，–3)，C(2，–

8). 求它析：从圆的标准方的外接圆的方程. 程(x

–

a)2 + (y

–

b)2

解：设所求圆的方程是(x–

a)2 + (y

–

b)2

= r2可知，要确定圆= r2.

①

的标准方程，可用因为A (5，1)，B (7，–3)，C (2，– 8) 都待定系数法确定a、在圆上，所以它们的坐标都满足方程b、r三个参数，(学①. 于是

(5a)2(1b)2r2222(7a)(3b)r

222(2a)(8b)r生自己运算解决) 解此方程组，得

a2b3

2r25所以，△ABC的外接圆的方程是(x– 2)2 + (y +3)2 =25. 例3 已知圆心为C的圆C. 经过点A(1，1)和B(2，–2)，且圆心在

师生共同分析：如图确定一个l : x –

y + 1 = 0上，求圆心为C的图只需确定圆心位圆的标准方程.

置与半径大小.圆比较例(2)、例（3）可得出△ABC心为C的圆经过点

外接圆的标准方程的两种求法：

A(1，1)和B(2，–2)，①根据题设条件，列出关于a、b、由于圆心C与A、Br的方程组，解方程组得到a、b、r两点的距离相等，得值，写出圆的根据确定圆的要素，所以圆心C在线段以及题设条件，分别求出圆心坐标和AB的垂直平分线m半径大小，然后再写出圆的标准方程. 上，又圆心C在直练习：课本P127

线l上，因此圆心C是直线l与直线m的交点，半径长等于|CA|或|CB|.(教师板书解题过程)

A C m B

例3

解：因为A (1，1)，B (2，–

2)，所以线段AB的中点D的坐标为(3，1)，直线AB22

的斜率

kAB =21= –3，

21因为线段AB的垂直平分线l′的方程是

y +11(x3)，

232即x –3y

–3 = 0. 圆心C的坐标是方程组

x3y30xy10的解. 解此方程组，得

x3

y2所以圆心C的坐标是(–3，–2) . 圆心为C的圆的半径长

r=|AC|=(13)2(12)2= 5.

所以，圆心为C的圆的标准方程是

(x + 3)2 + (y +2)2 =25.

1．圆的标准方程. 形成归纳2．点与圆的位置关系的判断方法. 教师启发，学知识总结

3．根据已知条件求圆的标准方程的生自己比较、归纳. 体

系

方法. 课外作业

备选例题

例1

写出下列方程表示的圆的圆心和半

径

（1）x2 + (y + 3)2 = 2；

（2）(x + 2)2 + (y–1)2 = a2

(a≠0) 【解析】（1）圆心为(0，–3)，半径为

2；

（2）圆心为(–2，1)，半径为|a|.

布置作业

练习

学生独立完成

深化

巩固