2.2.2 直线方程的几种形式教案和学案内容

直线方程的几种形式教学设计

课题：直线的方程

直线方程的几种形式

一、教学目标：

知识目标：1. 在“直线与方程”和直线的斜率基础上，引导学生探索由一个点和斜率推导出直线方程，初步体会直线方程建立的方法．

2. 理解和掌握直线方程的点斜式，并在此基础上研究直线方程的其他几种形式，掌握它们之间的联系与区别，并能根据条件熟练地求出直线方程．

方法与技能：会根据不同条件利用直线的不同形式求直线方程

态度情感价值观：通过直线方程几种形式的学习，初步体会知识发生、发展和运用的过程，培养学生多向思维的能力．

二、重、难点：

重点：直线方程的点斜式

难点：根据不同条件会利用不同形式求直线方程

三、教学过程

问题情境

飞逝的流星形成了一条美丽的弧线，这条弧线可以看作满足某种条件的点的集合．在平面直角坐标系中，直线也可以看作满足某种条件的点的集合．为研究直线问题，须要建立直线的方程．直线可由两点唯一确定，也可由一个点和一个方向来确定．如果已知直线上一个点的坐标和斜率，那么如何建立这条直线的方程呢？

建立模型

教师提出一个具体的问题若直线l经过点A（－1，3），斜率为－2，点P在直线l上运动，那么点P的坐标满足什么条件？

该问题的设置使学生初步体会求点的轨迹方程的方法与步骤，为后面学习奠定基础。

y－Y1思考：（1）方程

＝k

与方程y－y1＝k（x－x1）表示同一图形吗？

x－x1（2）每一条直线都可用点斜式方程表示吗？

［例

题］

求满足下列条件的直线方程．

（1）直线l1：过点（2，5），k＝－1．

1（2）直线l2：过点（0，1），k＝－2

（3）直线l3：过点（2，1）和点（3，4）．

（4）直线l4：过点（2，3）平行于y轴．

（5）直线l5：过点（2，3）平行于x轴．

该例题的设置在巩固点斜式方程的基础上，拓展到斜截式，两点式和斜率为0，不存在的两种特殊情况直线方程的求法，既基础又重要，并且渗透了斜截式和两点式方程的推导过程，突出了点斜式的重要，设置的巧妙。

［练

习］

求下列直线方程．

（1）已知直线l的斜率为k，与y轴的交点P（0，b）．

（2）已知直线l经过两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）．

（3）已知直线l经过两点A（ａ，0），B（0，b），其中ab≠0．

该练习题体现了高中数学的由特殊到一般的思维过程，是对例题的深化，强化点斜式方程的同时又推导出直线方程的其他形式，在自行推导过程中学生会体会到直线方程应用的局限性，有利于学生对知识的理解深化。

进一步思考讨论：前面所学的直线方程的几种形式都是关于x，y的二元一次方程，那么任何一条直线的方程是否为关于x，y的二元一次方程？反过来，关于x，y的二元一次方程都表示一条直线吗？

通过学生讨论后，师生共同明晰：

在平面直角坐标系中，每一条直线的方程都是关于x，y的二元一次方程．

三、解释应用

［例

题］

31. 已知直线l通过点（－2，5），且斜率为－4．

（1）求直线的一般式方程．

（2）求直线在x轴、y轴上的截距．

（3）试画出直线l．

2. 求直线l：2x－3y＋6＝0的斜率及在x轴与y轴上的截距．

该题目训练将其他形式的方程转化成一般式，和直线截距的求法，课外习题奠定基础，通过画直线图形，理解确定直线的要素。提高学生对直线方程和图形的感知，为学生解题和分析直线问题奠定基础。

［练

习］

1. 求满足下列条件的直线方程，并画出图形．

（1）过原点，斜率为－2．

（2）过点（0，3），（2，1）．

（3）过点（－2，1），平行于x轴．

（4）斜率为－1，在y轴上的截距为5．

（5）在x轴、y轴上的截距分别为3，－5．

2. 求过点（3，－4），且在两条坐标轴上的截距相等的直线方程．

3. 设直线l的方程为（m2－2m－3）x＋（2m2＋m－1）y＝2m－6，根据下列条件确定m的值．

（1）直线l在x轴上的截距为－3．

（2）直线l的斜率为1．

（3）直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为10．

该组题目强化基础训练，熟练直线方程形式和形式之间的互相转化，3问中还体现了分类讨论的思想，强化代数运算中的易错点，对学生的运算能力有一定的高度要求。

四、拓展延伸

1. 在直线方程y－1＝k（x－1）中，k取所有实数，可得到无数条直线，这无数条直线具有什么共同特点？

该题目的设置提高了学生的思维能力，当x－1=0时与k无关，这是数学中经常用到的一种思维方式。

2. 在直线方程Ax＋By＋C＝0中，当A，B，C分别满足什么条件时，直线有如下性质：

（1）过坐标原点．（2）与两坐标轴都相交．（3）只与x轴相交．（4）只与y轴相交．

（5）与x轴重合．（6）与y轴重合．

3. 直线方程的一般式与几种特殊形式有什么区别与联系？你能说明它们的适用范围以及相互转化的条件吗？

四、课堂小结：学生回顾叙述本节内容

五、作业：课后练习A，B