一 比较法国家优质课一等奖

1.2不等式的证明方法——比较法

【教学目标】

1.

知识与技能

掌握两个实数的大小与它们的差值的等价关系以及理解并掌握比较法的一般步骤。

2.

过程与方法

掌握运用比较法证明一些简单的不等式的方法；理解、掌握不等式基本性质的导出过程，并能运用性质证明一些简单的不等式。

3.

情感态度与价值观

通过数轴比较两个实数的大小关系，体会数形结合的思想；掌握数学研究的基本方法。

【教材分析】

两个实数的大小比作差比较作商比较法

教学重点：理解并掌握作差比较法证明不等式；

教学难点：求差后对“差式”进行适当变形，并判断其符号。

【教学过程】

复习回顾

法

教师活动：通过之前的学习，我们知道实数集与数轴上点是一一对应的，那么要比较两个实数的大小，我们可以怎么做？

若a >b

ab0

；

若a=b

ab0

；

若a

ab0；

因此我们得到比较两个实数大小的方法——作差法比较法（生）

探究新知

师：高一的时候我们已经接触过简单的不等式的证明

那时我们主要是根据：数大小关系的基本事实、不等式的基本性质、基本不等式

作为证明不等式的出发点，那这节课我们就进一步来学习证明不等式的基本方法——比较法。下面我们通过例题看一下比较法的步骤

（一）：作差比较法

例1 已知a,b都是实数,且ab,求证a3b3a2bab2

解题过程如下：

证明：a3b3(a2bb2a)

(a3a2b)(ab2b3)

a2(ab)b2(ab)(ab)(ab)(ab)2(ab)22

a,b0,ab0又ab(ab)20

故(ab)(ab)20即(a3b3)(a2bab2)0

3322ababab

设计意图：通过例题让学生理解要证明

ab

,可转化为证明ab0，即把不等式两边相减，比较差与0的大小。能总结出作差比较法的步骤、关键及难点，同时规范做题步骤。

通过该题的证明让学生总结作差比较法的步骤：作差----变形----判断符号-----得出结论。

师：我们在用作差比较法比较比较式子两边的大小关系是的关键是什么？难点又是什么？

生：关键是作差，难点是变形

师：回顾一下作差比较法。我们发现其中最难的部分就是变形这一部分，如何才能将作差后的式子通过适当的变形可以直接与0比较大小呢？

换句话说：那就得考虑什么形式的式子可以直接与0比较大小呢？

我们常用的方法是：把式子化成1.一个常数2.几个平方和的形式

3.平方和与数的结合的形式（配方法）或化成几个因式积的形式（当然包括分式）---因式分解法

师：下面我们就结合变式训练来进一步学习作差比较法

2a3b32ab2a2b

变式训练：已知ab0求证：设计意图：让学生进一步体会作差比较法的步骤、关键及难点

（二）：糖水不等式，作差比较法

例2 如果用akg白糖制出bkg糖溶液,则其浓度为若在上述溶液中再添加mkg白糖,此时溶液的浓度增加到a,b

am,将这个事实抽象为数学问题,并给出证明bm解题过程：

解:可以把上述事实抽象成如下不等式问题:

ama已知a,b,m都是正数,并ab且,则bmb下面给出证明

amam(ba)

bmbb(bm)baba0,又a,b,m都是正数,

m(ba)0,b(bm)0m(ba)amaama0 即0

b(bm)bmbbmb以上不等是糖水不等式，它陈述了一个基本的生活事实，糖水加糖甜又甜，同时也体现我们小学所学过的真分数的一个性质：一个分数的的分子和分母同时加上同一个正数，这个分数会变大。

设计意图：让学生进一步理解作差比较法，体会数学来源于生活。

（三）作商比较法

例3：已知正数a,b，求证：abbbabba当且仅当a=b时，等号成立。

设计意图：因为刚学习了作差比较法，所以同学们可能用做差比较法来证明此a问题，而在证明的过程中有同学可能会发现这个问题转化成了b师：作商比较法的理论依据b0,abab与1比较大小的问题。从而进一步在引导学生分析式子特点，进而得到一种比较大小的方法-----作商法。

aaa1，ab1，ab1

bbbaabba解题过程：证明:baaabbbaabbab

根据要证的不等式的特点(交换a,b的位置,不等式不变)aa不妨设ab0,则1,ab0,bb当且仅当ab时,等号成立.ab1

aabbabba,当且仅当ab时,等号成立

学生生类比作差法得出做商法比较大小的步骤。

步骤：作商——变形（化简）——判断(得出结论)

变式训练：设a0,b0,求证:ab(ab)abab2

设计意图：让学生进一步体会作商比较法

课堂小结：

1.比较法是证明不等式的一种最基本、最重要的方法。用比较法证明不等式的步骤是：作差（或作商）、变形、判断符号。“变形”是解题的关键，是最重一步。因式分解、配方、凑成若干个平方和等是“变形”的常用方法。

2.一般情况下，多项式比较用作差法，而积商幂的形式用作商法. 当堂训练：

1. 已知a1≤a2，b1≤b2，则P＝a1b1＋a2b2， Q＝a1b2＋a2b1的大小关系是( A. P≤Q

B. PQ 2、求证：a2＋b2≥ab＋a＋b－1. 3、设ab，求证：a23b22b(ab)

设计意图：进一步熟练作差比较法和作商比较法

作业：

同步练习册P29双基达标和知能检测题

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