1.3 二项式定理（通用）全国优秀课堂实录

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1.3二项式定理

学习目标：

1掌握二项式定理及二项式展开式的通项公式. 2.会利用二项展开式及通项公式解决有关问题.

学习重点：二项式定理及通项公式的掌握及运用

学习难点：二项式定理及通项公式的掌握及运用

授课类型：新授课

课时安排：1课时

教

具：多媒体、实物投影仪

内容分析：

二项式定理是初中乘法公式的推广，是排列组合知识的具体运用，是学习概率的重要基础．这部分知识具有较高应用价值和思维训练价值．中学教材中的二项式定理主要包括：定理本身，通项公式，杨辉三角，二项式系数的性质等．

通过二项式定理的学习应该让学生掌握有关知识，同时在求展开式、其通项、证恒等式、近似计算等方面形成技能或技巧；进一步体会过程分析与特殊化方法等等的运用；重视学生正确情感、态度和世界观的培养和形成．

二项式定理本身是教学重点，因为它是后面一切结果的基础．通项公式，杨辉三角，特殊化方法等意义重大而深远，所以也应该是重点．

二项式定理的证明是一个教学难点．这是因为，证明中符号比较抽象、需要恰当地运用组合数的性质2、需要用到不太熟悉的数学归纳法．

在教学中，努力把表现的机会让给学生，以发挥他们的自主精神；尽量创造让学生活动的机会，以让学生在直接体验中建构自己的知识体系；尽量引导学生的发展和创造意识，以使他们能在再创造的氛围中学习

教学过程：

一、复习引入：

02122 ⑴(ab)2a22abb2C2aC2abC2b；

0312233⑵(ab)3a33a2b3ab2b3C3aC3abC3ab2C3b

⑶(ab)4(ab)(ab)(ab)(ab)的各项都是4次式，

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即展开式应有下面形式的各项：a4，a3b，a2b2，ab3，b4，

0展开式各项的系数：上面4个括号中，每个都不取b的情况有1种，即C4种，a4011的系数是C4；恰有1个取b的情况有C4种，a3b的系数是C4，恰有2个取b的情2233况有C4种，a2b2的系数是C4，恰有3个取b的情况有C4种，ab3的系数是C4，44有4都取b的情况有C4种，b4的系数是C4，

04132223344∴(ab)4C4aC4abC4abC4abC4b．

二、讲解新课：

0n1n二项式定理：(ab)nCnaCnabrnrrCnabnnCnb(nN)

⑴(ab)n的展开式的各项都是n次式，即展开式应有下面形式的各项：

an，anb，…，anrbr，…，bn，

⑵展开式各项的系数： 00每个都不取b的情况有1种，即Cn种，an的系数是Cn；

11恰有1个取b的情况有Cn种，anb的系数是Cn，……，

rr恰有r个取b的情况有Cn种，anrbr的系数是Cn，……，

nn有n都取b的情况有Cn种，bn的系数是Cn，

0n1n∴(ab)nCnaCnabrnrrCnabnnCnb(nN)，

这个公式所表示的定理叫二项式定理，右边的多项式叫(ab)n的二项展开式，r⑶它有n1项，各项的系数Cn(r0,1,n)叫二项式系数，

rnrrrnrr⑷Cnab．

ab叫二项展开式的通项，用Tr1表示，即通项Tr1Cn1⑸二项式定理中，设a1,bx，则(1x)n1CnxrrCnxxn

三、讲解范例：

1例1．展开(1)4．

x46411111112313()C4()C4()()41234．

解一：

(1)41C4xxxxxxxxx学数学

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11113123x4C4xC4xC4x1解二：(1)4()4(x1)4()4

xxx46411234．

xxxx例2．展开(2x16)．

x解：(2x161)3(2x1)6

xx16152433221[(2x)C(2x)C(2x)C(2x)C(2x)C(2x)1]

666663x6012164x3192x2240x16023．

xxx例3．求(xa)12的展开式中的倒数第4项

解：(xa)12的展开式中共13项，它的倒数第4项是第10项，

91299339T91C12xaC12xa220x3a9．

例4．求（1）(2a3b)6，（2）(3b2a)6的展开式中的第3项．

2解：（1）T21C6(2a)4(3b)22160a4b2，

2 （2）T21C6(3b)4(2a)24860b4a2．

点评：(2a3b)6，(3b2a)6的展开后结果相同，但展开式中的第r项不相同

x39)的展开式常数项；

例5．（1）求(3xx39)的展开式的中间两项

（2）求(3x39rx3解：∵Tr1C9r()9r()rC9r32r9x2，

3x36∴（1）当9r0,r6时展开式是常数项，即常数项为T7C9332268；

2x39)的展开式共10项，它的中间两项分别是第5项、第6项，

（2）(3xT5C34989x9121594251093，T6C93x2378x3

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四、课堂练习：

1.求2a3b的展开式的第3项. 2.求3b2a的展开式的第3项. 3.写出(3x366

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123x7)n的展开式的第r+1项. 4.求x2x的展开式的第4项的二项式系数，并求第4项的系数. 5.用二项式定理展开：

（1）(a3b)5；（2）(5x25). 2x512124121246.化简：（1）(1x)(1x)；（2）(2x3x)(2x3x) 7．xxlgx展开式中的第3项为106，求x．

51 8．求x展开式的中间项

x2n2答案：1.

T21C6(2a)62(3b)22160a4b2

22.

T21C6(3b)62(2a)24860a2b4

3.

Tr1C(x)r3nnrn2r1r3

(3)Cnx2x21rr3334.展开式的第4项的二项式系数C735，第4项的系数C72280

5.

（1）(a3b)5a55a43b10a33b210a2b5ab3bb3b2；

（2）(x25125xxx)xxxx5x20402323. 2328xxxx6.

（1）(1x)5(1x)5220x10x2；

（2）(2x3x)(2x3x)192x1212412124432

x232lgx7.

xxlgx展开式中的第3项为C5x106x32lgx105

5学数学

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2lg2x3lgx50lgx1,lgx2n

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510

x10,x210001n8.

x展开式的中间项为(1)nC2n

x五、小结

：二项式定理的探索思路:观察——归纳——猜想——证明；二项式定理及通项公式的特点 六、课后作业：

七、板书设计（略）

八、课后记：

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