3.2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义公开课教案

3．2. 1复数代数形式的加减运算及几何意义 教学目标：

知识与技能：熟练掌握复数的代数形式的加减法运算法则．

过程与方法：理解复数加减法的几何意义，能够利用“数形结合”的思想解题

教学重点：复数加减运算的几何意义．

教学难点：本节内容与平面向量的联系

教具准备：多媒体、实物投影仪

。

教学过程：

学生探究过程：

自学导引

1．复数加减法的运算法则及加法运算律

(1)加减法则

设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，则z1＋z2＝ ，z1－z2＝ .

(2)加法运算律

对任意z1，z2，z3∈C， ①交换律：z1＋z2＝ . ②结合律：(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．

想一想：若复数z1，z2满足z1－z2>0，能否认为z1>z2?

提示

不能，如2＋i－i>0，但2＋i与i不能比较大小

复数加减法的几何意义

→→如图：设复数z1，z2对应向量分别为OZ1，OZ2，四边形OZ1ZZ2为平→→行四边形，则与z1＋z2对应的向量是OZ与z1－z2对应的向量是Z2Z1.

想一想：从复数减法的几何意义理解：|z1－z2|表示什么？

提示

表示Z1与Z2两点间的距离．

名师点睛

1．理解用向量法确定两个复数的和

1

→→先画出与这个复数对应的向量OZ1，OZ2. →→设OZ1及OZ2分别与复数a＋bi，

→→→c＋di对应，且OZ1，OZ2不共线(如右图)，以OZ1及

→OZ2为两条邻边作平行四边形OZ1ZZ2，作x轴的垂

线PZ1，QZ2及RZ，并且作Z1S⊥RZ.容易证明△

ZZ1S≌△Z2OQ，并且四边形Z1PRS是矩形，因此OR ＝OP＋PR＝OP＋Z1S＝OP＋OQ＝a＋c，RZ＝RS＋SZ＝PZ1＋QZ2＝b＋d. 于是，点Z的坐标是(a＋c，b＋d)，

→这说明OZ就是复数(a＋c)＋(b＋d)i对应的向量．

2．复数加减法的几何意义

→→复数加法的几何意义：如果复数z1，z2分别对应复平面内的向量OP1，OP2，那么以OP1，→OP2为两边作平行四边形OP1SP2，对角线OS表示的向量OS就是z1＋z2的和所对应的向量．

复数减法的几何意义：两个复数的差z1－z2与连接这两个向量终点并指向被减向量的向量对应．

拓展：由复数加减法的几何意义可得如下结论：

||z1|－|z2||≤|z1±z2|≤|z1|＋|z2|. 题型一

复数的加减运算

【例1】

(1)z1＝2＋3i，z2＝－1＋2i.求z1＋z2，z1－z2.

1143(2)计算：3＋2i＋(2－i)－3－2i. (3)计算：(1－2i)＋(－2＋3i)＋(3－4i)＋(－4＋5i)＋…＋(－2 008＋2 009i)＋(2 009－2 010i)．

[思路探索] 掌握复数的加减运算法则，正确计算即可．

解

(1)z1＋z2＝2＋3i＋(－1＋2i)＝1＋5i，

z1－z2＝2＋3i－(－1＋2i)＝3＋i. 41311431－i＋2－－1＋(2)3＋2i＋(2－i)－32＝3＋i＝1＋i. 322

2

(3)法一

(1－2i)＋(－2＋3i)＋(3－4i)＋(－4＋5i)＋…＋(－2 008＋2 009i)＋(2 009－2 010i) ＝[(1－2)＋(3－4)＋…＋(2 007－2 008)＋2 009]＋

[(－2＋3)＋(－4＋5)＋…＋(－2 008＋2 009)－2 010]i ＝(－1 004＋2 009)＋(1 004－2 010)i＝1 005－1 006i. 法二

(1－2i)＋(－2＋3i)＝－1＋i，(3－4i)＋(－4＋5i)＝－1＋i，…，(2 007－2 008i)＋(－2 008＋2 009i)＝－1＋i. 相加(共有1 004个式子)，得

原式＝1 004(－1＋i)＋(2 009－2 010i)

＝(－1 004＋2 009)＋(1 004－2 010)i

＝1 005－1 006i. 规律方法：

(1)复数加减运算的方法．

方法一：复数的实部与实部相加减，虚部与虚部相加减．

方法二：把i看作一个字母，类比多项式加减中的合并同类项．

(2)加法法则的合理性：

①当b＝0，d＝0时，与实数加法法则一致．

②加法交换律和结合律在复数集中仍成立．

③符合向量加法的平行四边形法则．

(3)复数的加减法可以推广到若干个复数，进行连加连减或混合运算．

【变式1】

计算：

(1)(3＋5i)＋(3－4i)；

(2)(－3＋2i)－(4－5i)；

(3)(5－6i)＋(－2－2i)－(3＋3i)．

解

(1)(3＋5i)＋(3－4i)＝(3＋3)＋(5－4)i＝6＋i.

(2)(－3＋2i)－(4－5i)＝(－3－4)＋[2－(－5)]i＝－7＋7i.

(3)(5－6i)＋(－2－2i)－(3＋3i)＝(5－2－3)＋[－6＋(－2)－3]i＝－11i. 题型二

复数加减法的几何意义

→【例2】

已知复平面内平行四边形ABCD，A点对应的复数为2＋i，向量BA对应的复数为1→＋2i，向量BC对应的复数为3－i，求：(1)点C，D对应的复数；(2)平行四边形ABCD的面积．

[思路探索]

→→解

(1)∵向量BA对应的复数为1＋2i，向量BC对应的复数为3－i，

3

→∴向量AC对应的复数为(3－i)－(1＋2i)＝2－3i. →→→又OC＝OA＋AC，

∴点C对应的复数为(2＋i)＋(2－3i)＝4－2i. →→∵AD＝BC，

→→∴向量AD对应的复数为3－i，即AD＝(3，－1)．

→设D(x，y)，则AD＝(x－2，y－1)＝(3，－1)，

x－2＝3，x＝5，∴解得∴点D对应的复数为5. y－1＝－1，y＝0，→→→→(2)∵BA·BC＝|BA||BC|cos B，

→→3－2BA·BC12∴cos B＝＝＝＝10. →→5×1052|BA||BC|772∴sin B＝＝10，

52→→72∴S＝|BA||BC|sin B＝5×10×10＝7，

∴平行四边形ABCD的面积为7. 规律方法：

(1)根据复数的两种几何意义知：复数的加减运算可以转化为点的坐标运算或向量运算．

(2)复数及其加减运算的几何意义为数形结合思想在复数中的应用提供了可能．

→→【变式2】

(1)设OZ1及OZ2分别与复数z1＝5＋3i及复数z2＝4＋i对应，计算z1－z2，并在复平→→面内作出OZ1－OZ2.

→→(2)设OZ1及OZ2分别与复数z1＝1＋3i及复数z2＝2＋i对应，计算z1＋z2，并在复平面内作

4

→→出OZ1＋OZ2. 解

(1)z1－z2＝(5＋3i)－(4＋i)＝(5－4)＋(3－1)i ＝1＋2i(如图①)

(2)z1＋z2＝(1＋3i)＋(2＋i)＝(1＋2)＋(3＋1)i＝3＋4i.(如图②)

题型三

复数加减法几何意义的综合应用

【例3】

已知|z＋1－i|＝1，求|z－3＋4i|的最大值和最小值．

利用复数加减法的几何意义，以及数形结合的思想解题．

[规范解答] 法一

设w＝z－3＋4i，∴z＝w＋3－4i，

∴z＋1－i＝w＋4－5i. 又|z＋1－i|＝1，

∴|w＋4－5i|＝1.(6分) 可知w对应的点的轨迹是以(－4,5)为圆心，1为半径的圆．(8分) 如图(1)所示，∴|w|max＝41＋1，|w|min＝41－1.(12分) 法二

由条件知复数z对应的点的轨迹是以(－1,1)为圆心，1为半径的圆，

(4分) 而|z－3＋4i|＝|z－(3－4i)|表示复数z对应的点到点(3，－4)的距离，

(8分) 在圆上与(3，－4)距离最大的点为A，距离最小的点为B，(10分) 如图(2)所示，所以|z－3＋4i|max＝41＋1，|z－3＋4i|min＝41－1.(12分) 【题后反思】

|z1－z2|表示复平面内z1，z2对应的两点间的距离．利用此性质，可把复数模的问题转化为复平面内两点间的距离问题，从而进行数形结合，把复数问题转化为几何图形问题求解．

5

【变式3】

已知复数z满足|z＋2－2i|＝1，求|z－3－2i|的最大值与最小值．

解

由复数及其模的几何意义知：

满足|z＋2－2i|＝1，即|z－(－2＋2i)|＝1. 复数z所对应的点是以C(－2,2)为圆心，r＝1为半径的圆．而|z－3－2i|＝|z－(3＋2i)|的几何意义是：复数z对应的点与点A(3,2)的距离．由圆的知识可知|z－3－2i|的最小值为|AC|－r，最大值为|AC|＋r.

∴|z－3－2i|min＝3＋22＋2－22－1＝4. |z－3－2i|max＝3＋22＋2－22＋1＝6. 方法技巧

数形结合思想在复数中的应用

数与形是数学中两个最古老、也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化．数形结合，不仅是一种重要的解题方法，而且也是一种重要的思维方法．本章中有关复数的几何意义包括三个方面：复数的表示(点和向量)、复数的模的几何意义及复数运算的几何意义．复数的几何意义充分体现了数形结合这一重要的数学思想方法，即通过几何图形来研究代数问题．

【示例】

复平面内点A，B，C对应的复数分别为i,1,4＋2i，由A→B→C→D按逆时针顺序作→▱ABCD，则|BD|等于(

)．

A．5

B.13

D.17 C.15

[思路分析] 首先由A、C两点坐标求解出AC的中点坐标，然后再由点B的坐标求解出点D的坐标．

3解析

如图，设D(x，y)，F为▱ABCD的对角线的交点，则点F的坐标为2，2，

x＋1＝4，x＝3，所以即

y＋0＝3，y＝3.所以点D对应的复数为z＝3＋3i，

→→→所以BD＝OD－OB＝3＋3i－1＝2＋3i，

→所以BD＝13. 答案

B 方法点评

解决此类问题的关键是由题意正确地画出图形，然后根据三角形法则或平行四边形法则借助复数相等即可求解．

6

巩固练习：

1.已知复数z1=2+i,z2=1+2i,则复数z=z2－z1在复平面内所表示的点位于

A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

2.在复平面上复数－3－2i,－4+5i,2+i所对应的点分别是A、B、C，则平行四边形ABCD的对角线BD所对应的复数是

A.5－9i

B.－5－3i

C.7－11i

D.－7+11i

3.已知复平面上△AOB的顶点A所对应的复数为1+2i,其重心G所对应的复数为1+i,则以OA、OB为邻边的平行四边形的对角线长为

A.32

B.22

C.2

D.5

4.复平面上三点A、B、C分别对应复数1，2i,5+2i,则由A、B、C所构成的三角形是

A.直角三角形

B.等腰三角形

C.锐角三角形

D.钝角三角形

5.一个实数与一个虚数的差（ ）

A.不可能是纯虚数 B.可能是实数 C.不可能是实数 D.无法确定是实数还是虚数

6.计算(－23i)(32i)[(32)(32)i]=____. 7.计算：(2x+3yi)－(3x－2yi)+(y－2xi)－3xi=________(x、y∈R). 8.计算（1－2i)－(2－3i)+(3－4i)－…－(2002－2003i). 9.已知复数z1=a2－3+(a+5)i,z2=a－1+(a2+2a－1)i(a∈R)分别对应向量OZ1、OZ2（O为原点），若向量Z1Z2对应的复数为纯虚数，求a的值. 解：Z1Z2对应的复数为z2－z1，则

z2－z1=a－1+(a2+2a－1)i－［a2－3+(a+5)i］=(a－a2+2)+(a2+a－6)i

∵z2－z1是纯虚数

2aa20∴2 解得a=－1. aa6010．已知复平面上正方形的三个顶点是A（1，2）、B（－2，1）、C（－1，－2），求它的第四个顶点D对应的复数. 解：设D（x,y),则

ADODOA对应的复数为(x+yi)－(1+2i)=(x－1)+(y－2)i

7

BCOCOB对应的复数为：(－1－2i)－(－2+i)=1－3i

∵ADBC

∴(x－1)+(y－2)i=1－3i

∴x11,解得x2y23

y1∴D点对应的复数为2－i。

答案：1.B 2.C 3.A 4.A 5.C 6.－22i 7.(y－x)+5(y－x)i

8.解：原式=(1－2+3－4+…+2001－2002）+(－2+3－4+…－2002+2003)i

=－1001+1001i 课后作业：课本第61页 习题A 3.2 1 , 2 , 3 8