小结教学设计一等奖

回归分析的基本思想及其初步应用—高考背景下的回归分析

回归分析是统计中的一个重要内容，随着新课标的实施和新课程高考改革的不断深入，这部分内容也将会越来越受到重视。回归直线方程求解需要复杂的运算，考查学生的数据处理能力，特别是运用计算器等现代技术工具进行数据处理的能力，将是改革的方向之一；非线性回归模型也有最小二乘估计，但不能给出统一的公式，此时，我们可以画出已知数据的散点图，把它与已学过的各种函数（幂函数、指数函数、对数函数、二次函数等）图象比较，挑选一种跟这些点拟合最好的函数，然后采取适当的变换，把问题转化为线性回归模型，使其得到解决。

今天这节课我们从两个高考题中来进行回归分析

教学目标：

1.通过对两个高考题的探究，进一步了解回归分析的基本思想、方法及初步应用。

2.通过学生对数据处理的过程，进一步体会回归分析中的数理计算；通过选择不同的模型建模，并比较相关指数，使学生了解在解决实际问题的过程中寻找更好的模型的方法. 3.使学生体会有些非线性模型通过变换可以转化为线性回归模型，初步形成运用统计方法解决实际问题的基本思想，认识统计方法在决策中的作用。

4.渗透数形结合思想、数学建模思想、转化与化归思想。

5、激发学生的参与意识，提高数学学习的兴趣，培养探索的学习习惯，感悟数学抽象、数学建模、数学运算、直观想象、数据处理等数学核心素养。

教学重点：通过探究使学生体会有些非线性模型通过变换可以转化为线性回归模型，

了解在解决实际问题的过程中寻找更好的模型的方法. 教学难点：理解数学模型的作用，以及统计学在建模时追求的目标。

教学过程：

一、复习：

1、回忆：利用观测数据建立回归模型的基本步骤是什么？

（明确变量、画散点图、选回归模型、估计参数、残差分析、预测或决策）

2、在大量实际问题中，研究的两个变量不一定都呈线性相关关系，它们之间可能呈指数关系或对数关系等非线性关系，那么，怎样处理这种非线性问题呢？

（可以考虑对原始数据进行相应的变换，把非线性问题转化为线性问题。）

3、热身练习

（1）下列关于回归分析的说法中错误的是（ ）

A. 回归直线一定过样本中心x,y

B. 残差图中残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适

C. 两个模型中残差平方和越小的模型拟合的效果越好

D. 甲、乙两个模型的R分别约为0.98和0.80，则模型乙的拟合效果更好

（2）两个变量y与x的回归模型中，分别选择了4个不同模型，对于样本点x1,y1，

n22x2,y2，…，

xn,yn，可以用R21ˆyyiiyyii1i1n来刻画回归的效果，已知模型1中2R20.96，模型2中R20.85，模型3中R20.55，模型4中R20.41，其中拟合效果最好的模型是（ ）

A. 模型1

B. 模型2

C. 模型3

D. 模型4 （3）已知两个变量的回归模型为y22，则样本点（1，4.4）的残差是_________ （答案1、D

2、A

3、0.4）

试卷第1页，总7页

x

二、引入课题：

回归分析是统计中的一个重要内容，随着新课标的实施和新课程高考改革的不断深入，这部分内容也将会越来越受到重视。

以全国卷来说：2014年理科数学（全国Ⅱ卷）、2015年文科数学（全国Ⅰ卷）、2016年文科数学（全国Ⅲ卷）都考了回归分析的大题。

因此，我们在学习新课时，既要抓住教材的基础内容，也要有意识地向高考靠拢。今天这节课我们就从两个高考题中来进行回归分析的研究。

三、例题分析，能力提升

例1、（2014年全国Ⅱ卷）某地区2007年至2013年农村居民家庭人均纯收入y（单位：千元）的数据如下表：

年份

2007

2008

2009

2010

2011

2012

2013

年份代号t

1

2

3

4

5

6

7

人均纯收入y

2.9

3.3

3.6

4.4

4.8

5.2

5.9

（1）求y关于t的线性回归方程；

（2）利用（1）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入.

附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：

bttyyiii1ntiti1n2ˆ

ˆybt，a试题解析：（1）由题意知，t4，y4.3，

所以$b31.420.700.51.831.6=0.5，

9410149所以$a=y$bt=4.30.542.3，所以线性回归方程为$y0.5t2.3。

（2）由（1）中的线性回归方程可知，b0，所以在2007至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入在逐年增加，平均每年增加0.5千元.

令t9得：$y0.592.36.8，故预测该地区在2015年农村居民家庭人均纯收入为6.8千元。

【易错点】本题的易错点是第（1）问计算错误，第（2）问在2007至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，不知道如何回答.

1、课前准备：（星期四发学案，学生预习）

2、学生动笔计算；一个学生上黑板：注意做题过程，列表为

年份代号t

1

2

3

4

5

6

7

人均纯收入y

2.9

3.3

3.6

4.4

4.8

5.2

5.9

-3 -2 -1 0 1 2 3 tt

iyiy

-1.4 -1 -0.7 0.1 0.5 0.9 1.6

发散1、我们所建立的回归模型，只有在模型拟合效果比较好的情况下，才能利用它进行预报，那么，对于例题中所得到的线性回归方程，怎样判断这个回归模型拟合的效果好不好呢？

试卷第2页，总7页

先学生回答：PPT展示散点图、相关系数r、相关指数R2、残差分析

老师引导：在线性回归模型中，散点图、相关系数r、相关指数R2、残差分析都能刻画模型拟合效果。在含有一个解释变量的线性回归模型中，R2恰好等于相关系数r的平方。

（用Excel展示散点图、残差图、线性回归方程、相关指数R2）

我们先画散点图，可以看出，数据散点大致分布在一条直线的附近，说明这两个变量之间具有线性相关关系。但是散点图毕竟只是从图形的角度进行观察，要想把握其特征，还必须要从数的角度进行定量研究，我们先求出回归直线方程。通过计算相关系数r或相关指数R2来定量研究。R2=0.9887，相关系数r0.994非常接近1，说明，这个线性回归模型对这组数据拟合效果很好。我们还可以从残差图来分析：从残差图可以看出，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，并且这个带状区域的宽度很窄，说明模型拟合精度很高，那么回归方程的预报精度也就会很高。

小结：

1、判断一个回归模型拟合的效果好不好，我们可以先从散点图、残差图等图形直观说明，然后，再从相关系数、相关指数等数的角度精准说明。（数形结合）

2、残差分析是回归诊断的一种方法。最简单的残差分析是通过观测残差图，以发现观测数据中可能出现的错误以及所选用的回归模型是否恰当。

3、相关指数R2可以作为衡量模型拟合效果的一个指标，R2越大，说明模型拟合的效果越好。

发散2、对于这组数据，线性回归模型的拟合效果很好，但是不是还有更好的拟合模型呢？

老师：利用Excel展示其他的拟合模型，并通过R2来比较所提出的模型的拟合效果。

小结：

1、虽然任何数据对都可以用线性回归模型来拟合，但其拟合的效果并不一定是最好的。

2、对于需要解决的实际问题而言，没有一个正确的模型来描述它，任何数学模型只能近似描述实际问题，统计学追求的是根据实际问题的背景知识寻求描述效果更好的模型。

3、模型拟合效果越好，相应的分析预报结果的精度就越高。

发散3：统计学中，获得回归方程并不是最终目的，我们希望用它进行预测或决策．你怎样看待发散2 中建立的几个回归模型呢？怎样利用它们对该地区农村居民家庭人均纯收入进行预测呢？

老师：利用Excel展示的两个拟合模型，进行趋势预测，可以看到这两个模型在未来对人均纯收入的预测有所区别。到底选择哪种模型，还需要思考。从实际生活来说，显然这个样本容量太小，还不足以能够对将来的收入进行预测，只有当数据足够多的时候，才能够使用科学的方法，进行较准确的预测。从目前我们的知识储备量的角度来说，还只能较好的解决线性回归模型，所以高考还是以线性回归模型为主来考，当模型非线性的时候，我们就想办法将非线性模型转化为线性模型，接下来，我们来看下面这个练习。

练习：（2015年全国Ⅰ卷）（本小题满分12分）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量y（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费xi和年销售量yii1,2,得到下面的散点图及一些统计量的值.

,8数据作了初步处理，试卷第3页，总7页

x

y

w

6.8

(xx)ii182

(ww)ii18

2

(xx)(yy)

(ww)(yy)

iiiii1i18846.6

563

289.8

1.6

i1469

108.8

1表中wi=xi

，w

=8w

i18（Ⅰ）根据散点图判断，yabx与ycdx，哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）

（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；

（III）已知这种产品的年利润z与x，y的关系为z0.2yx

，根据（Ⅱ）的结果回答下列问题：

（1）当年宣传费x49时，年销售量及年利润的预报值是多少？

（2）当年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？

附：对于一组数据(u1,v1),(u2,v2)，……，(un,vn),其回归直线vu的斜率和截距的最小二乘估计分别为：

=(ui1nniu)(viv)，=vu

i(ui1u)2【解析】

试题分析：（Ⅰ）由散点图及所给函数图像即可选出适合作为拟合的函数；（Ⅱ）令（Ⅲ）(ⅰ)wx，先求出建立y关于w的线性回归方程，即可y关于x的回归方程；利用y关于x的回归方程先求出年销售量y的预报值，再根据年利率z与x、y的关系为z=0.2y-x即可年利润z的预报值；（ⅱ）根据（Ⅱ）的结果知，年利润z的预报值，列出关于x的方程，利用二次函数求最值的方法即可求出年利润取最大值时的年宣传费用.

试题解析：（Ⅰ）由散点图可以判断，ycdx适合作为年销售y关于年宣传费用x的回归方程类型.

（Ⅱ）令w8x，先建立y关于w的线性回归方程，由于d(ww)(yy)iii1(ww)ii18=2108.8=68，

16∴cydw=563-68×6.8=100.6.

∴y关于w的线性回归方程为y100.668w，

试卷第4页，总7页

∴y关于x的回归方程为y100.668x.

（Ⅲ）(ⅰ)由（Ⅱ）知，当x=49时，年销售量y的预报值

y100.66849=576.6，

z576.60.24966.32.

（ⅱ）根据（Ⅱ）的结果知，年利润z的预报值

z0.2(100.668x)xx13.6x20.12，

∴当x=13.6=6.8，即x46.24时，z取得最大值.

2故宣传费用为46.24千元时，年利润的预报值最大.……12分

考点：非线性拟合；线性回归方程求法；利用回归方程进行预报预测；应用意识

小结：散点图只是形象地描述点的分布情况，它的“线性”是否明显只能通过观察，要想把握其特征，必须进行定量的研究

非线性模型可以通过变换转化为线性回归模型，借助线性回归模型研究呈非线性关系的两个变量之间的关系。

四、小结：获得回归方程不是我们的最终目标，如果建立的回归模型是有效的，我们希望用它进行预测或决策。因此，统计学关心的是寻求最有效的数据处理方法，统计学的任务是建立近似效果更好的模型。

五：作业：

1、（2016年全国Ⅲ卷）下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图

（Ⅰ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明；

（Ⅱ）建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量.

附注：

参考数据：yi17i9.32，tiyi40.17，i17(yy)ii1720.55，7≈2.646.

参考公式：相关系数r(tt)(yy)iii1n(tt)(y2ii1i1nn

，iy)2回归方程yabt

中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：

试卷第5页，总7页

b(ti1nit)(yiy)，a=ybt.

i(ti1nt)2试题解析：（Ⅰ）由折线图中数据和附注中参考数据得

t4，(tit)28，2i17(yy)ii17i1720.55，

(ti17it)(yiy)tiyityi40.1749.322.89，

i172.890.99.

0.5522.646因为y与t的相关系数近似为0.99，说明y与t的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合y与t的关系.

r9.32ˆ1.331及（Ⅰ）得b（Ⅱ）由y7(ti17it)(yiy)i(ti17t)22.890.103，

28ˆt1.3310.10340.92.

ˆybaˆ0.920.10t.

所以，y关于t的回归方程为：yˆ0.920.1091.82.

将2016年对应的t9代入回归方程得：y所以预测2016年我国生活垃圾无害化处理量将约1.82亿吨.

【考点】线性相关与线性回归方程的求法与应用

【方法点拨】判断两个变量是否线性相关及相关程度通常有两种方法：（1）利用散点图直观判断；（2）将相关数据代入相关系数r公式求出r，然后根据r的大小进行判断．求线性回归方程时再严格按照公式求解，一定要注意计算的准确性．

2、共享单车是指企业在校园、地铁站点、公交站点、居民区、商业区、公共服务区等提供自行车单车共享服务，是共享经济的一种新形态，一个共享单车企业在某个城市就“一天中一辆单车的平均成本（单位：元）与租用单车的数量（单位：车辆）之间的关系”进行调查研究，在调查过程中进行了统计，得出相关数据见下表：

租用单车数量x（千辆）

每天一辆车平均成本y（元）

2

3.2

3

2.4

4

2

5

1.9

8

1.7

根据以上数据，研究人员分别借助甲、乙两种不同的回归模型，得到两个回归方程，方ˆ程甲：

y146.4ˆ221.6.

1.1，方程乙：

yxx为了评价两种模型的拟合效果，完成以下任务：

①完成下表（计算结果精确到0.1）（备注：

eiyiyi，

ei称为相应于点xi,yi的试卷第6页，总7页

残差（也叫随机误差））；

租用单车数量x（千辆）

2

3

2.4

2.4

4

2

2.1

5

1.9

8

1.7

1.6

每天一辆车平均成本y（元）

3.2

估计值yi模型甲

残差ei11

2

0

0.1

2

0.1

估计值yi模型乙

残差ei

2

2.3

1.9

0.1

0

0

②分别计算模型甲与模型乙的残差平方和Q1及Q2，并通过比较Q1，

Q2的大小，判断哪个模型拟合效果更好.

【答案】

(1) ，

Q10.03，

Q20.01，

Q1Q2，模型乙的拟合效果更好;(2) 投放1万辆能获得更多利润，应该增加到投放1万辆.

试卷第7页，总7页