阅读与思考 海伦和秦九韶公开课参赛课教案

2018-7-10

第一章

解三角形

知识点一

正弦定理及其变形

2R

2.a＝

2Rsin A ，b＝

2Rsin B ，c＝

2Rsin C .(化角为边)

答案

知识点三

解三角形的几类问题和解法

已知条件

应用定理

一般解法

一边和两角(如

由A＋B＋C＝180°，求A，再由

a，B，C)

正弦定理

正弦定理求出

b与c

两边及其夹角

余弦定理和正弦由余弦定理求第三边

c，再由正弦(如a，b，C)

定理

定理求出第二个角，再由

A＋B＋

C＝180°，求出第三个角

学习目标

1.

进一步熟练掌握正弦、余弦定理在解各类三角形中的应用

.

2.

提高对正弦、余弦定理应用范围的认识

.

3.

初步应用正弦、余弦定理解决一些和三角函数、向量有关的综合问题．

知识点二

余弦定理及其推论

1.

a2＝b2＋c2－2bccos A ，cos A＝ .(边角互化)

2.

在△ABC中，c2＝a2＋b2⇔C为

直，角c2>a2＋b2⇔C为钝角；

c2

＋b2⇔C为锐角.

答案

两边和其中一边所

A＋B＋C＝

对的角(如a，b，B)

正弦定理

由正弦定理求

A，再由180°求C，最后由正弦定理求

c

三边a，b，c

余弦定理

先由余弦定理的推论求出两个角，

再由三角形内角和定理求第三个角

1

2018-7-10

知识点四

三角形内的角的函数关系

在△ABC中，边a , b , c所对的角分别为

A , B , C ，则有

(1)sin( A＋B)＝

sin C ，cos(A＋B)＝

－cos C，tan(A＋B)＝

－tan C ，

解析答案

返回

解析答案

反思与感悟

应用正弦、余弦定理解三角形时，要注意结合题目中的条件，选择适当

的定理.在进行求值运算时，要合理运用三角恒等变换的公式进行转化．

题型一

利用正弦、余弦定理解三角形或求值

解析答案

反思与感悟

解析答案

∴在△ABD中，有BD2＝AB2＋AD2－2AB·AD·cos∠BAD

＝18＋9－2·

解析答案

2

2018-7-10

题型二

判断三角形的形状

例2 在△ABC中，b＝asin C，c＝acos B，试判断△ABC的形状.

所以c2＋b2＝a2，所以△ABC是以A为直角的直角三角形

.

所以△ABC也是等腰三角形.

综上所述，

△ABC是等腰直角三角形

.

反思与感悟

解析答案

解

由已知设a－2＝x，则b＝2x，c＋2＝3x，

所以a＝2＋x，c＝3x－2，

解得x＝4，所以a＝6，b＝8，c＝10，

所以a2＋b2＝c2，所以三角形为直角三角形

.

解析答案

由题意，设AC＝x，

在△ABC中，由余弦定理，得

BC2＝BA2＋AC2－2×BA×AC×cos∠BAC，

即(x－40)2＝10 000 ＋x2－100x，解得x＝420.

在Rt△ACH中，AC＝420，∠CAH＝30°，

反思与感悟

(1)

判断三角形形状时，要灵活应用正弦、余弦定理进行边角转化

.但究竟是化边为角还是化角为边，应视具体情况而定

. (2)

常用的几种转化形式：

①若cos A＝0，则A＝90°，△ABC为直角三角形；

②若cos A<0，则△ABC为钝角三角形；

③若cos A>0且

cos B>0且cos C>0，则△ABC为锐角三角形；

④若sin2A＋sin2B＝sin2C，则C＝90°，△ABC为直角三角形；

⑤若sin A＝sin B或sin(A－B)＝0，则A＝B，△ABC为等腰三角形；

⑥若sin 2A＝sin 2B，则A＝B或A＋B＝90°，△ABC为等腰三角形或直角三角形

类型三

正弦、余弦定理在实际中的应用

例3 某气象仪器研究所按以下方案测试一种

“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度：

A、B、C三地位于同一水平面上，在

C处进行该仪器的垂直弹射，观测点

A、B两地相距100米，∠BAC＝60°，在A地听到弹射声音的时间比在

B地晚

在A地测得该仪器弹至最高点

H时的仰角为

30°，求该仪器的垂直弹射高度

CH.(声音的传播速度为

340米/秒)

解答

反思与感悟

应用解三角形知识解决实际问题的步骤：

(1)

分析题意，准确理解题意；

(2)

根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出；

(3)

将所求问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦、余弦定

理等有关知识正确求解；

(4)

检验解出的结果是否具有实际意义，对结果进行取舍，得出正确答案

.

3

2018-7-10

跟踪训练3 甲船在A处，乙船在甲船正南方向距甲船

20海里的B处，乙船以每小时

10海里的速度向正北方向行驶，而甲船同时以每小时

8海里的速度由A处向北偏西

60°方向行驶，问经过多少小时后，甲、乙两船相距最近？

解答

4