2.基本不等式第二课时教学实录

1.2基本不等式

教学设计

巩义三中

窦珂珂

2018/5/12

人教A版选修4-5

1.2基本不等式教学设计

窦珂珂

2018-5-12 一、内容和内容解析

1.内容:基本不等式

2.内容解析

本节内容分为两课时，这是第一课时的新授课，是在学生系统学习了不等关系和不等式，掌握了不等式性质的基础上展开的，作为重要的不等式之一,为后续的学习奠定基础，是学生进一步了解不等式的性质及运用，研究最值问题必不可缺的重要工具。

先通过观察动手操作几何图形，抽象出不等关系a2b22ab（a,bR），让学生通代数方法证明重要不等式。再通过拓展延伸提炼出基本不等式abab2（a0,b0），并会由作差法及分析法进行严格的证明，同时引导学生从几何图形的角度尝试对基本不等式进行几何解释，让学生体会数形结合的数学思想方法。

再通过引入生活实例，引导学生尝试用基本不等式解决两个变量的最值问题，过程中注重归纳总结出基本不等式求最值的三个限制条件，学习新知识的同时感受数学在生活及生产实际中的应用，感受数学美。

二、目标和目标解析

1、学习目标

1、通过几何图形抽象出重要不等式，延伸提炼基本不等式，并运用代数、几何方法证明； 2、通过应用基本不等式解决实际问题，归纳基本不等式在解决最值问题中的方法技巧。 2.目标解析

（1）通过学生动手拼接图形，告诉学生他拼的图形是第24届国际数学家大会的会标，通过观察、运算、分析得出不等关系，并通过几何画板展示及代数证明加深对重要不等式的认识；引导学生证明重要不等式，然后通过代数替换归纳出基本不等式，并引导学生对基本不等式进行几何解释，因此重要不等式是研究基本不等式的前提，重要不等式是从几何到代数的过程，而基本不等式是从代数到几何的过程，所以本节课首要目标就是会从数形结合的角度研究重要不等式和基本不等式，并会从不同的角度探索基本不等式的证明过程。并且比较两者的适用范围。

（2）通过实际应用问题，体会两个变量的最值问题（积定和最小，和定积最大），以及过程中注意的三个限制条件。让学生感受到数学在生产生活中的应用。

三、教学问题诊断分析

学生已经学习了不等关系与不等式，探索了不等式的基本性质，对不等式的证明也有了初步的认识，但是基本不等式是学生第一次接触，具有自身的特殊性，因此在教学中可能会遇到如下问题：

（1）重要不等式中的当且仅当a=b时等号成立，在学生理解起来有些难度，需要教师点拨。

（2）由于基本不等式的形式特殊，所以在探索基本不等式的证明过程中，学生会想出不少方法，但是直接应用ab0来证明还是不容易想到，同时分析法2容易想到，但是步骤的书写会有困难。

（3）由于重要不等式的几何解释很容易得到，在探索基本不等式的几何解释的过程中，教师可以用动画使其更直观。

（4）学生在高一的时候从函数的角度研究过求最值问题，但是最值概念有所遗忘，同时本节课的最值是跟两个变量有关的最值问题，学生刚开始的时候思路不是很清晰，需要教师引导复习最值的定义。

教学重点：数形结合思想抽象重要不等式、基本不等式及推理证明

教学难点：基本不等式的几何解释的探索以及利用基本不等式求最值。

四、教学支持条件分析

根据本节课教材内容的特点，为了更直观、形象地突出重点，突破难点，利用多媒体展示几何图形，另外通过动态演示图形的变化，进而让学生更容易进行探索。

五、教学过程分析

（一）创设情景，引入新课

师：现在，每位同学都有四个全等的直角三角形，每人的直角三角形还不尽相同，你能用它们拼成一个正方形吗？（设计意图：让学生动手操作，引入新课。）

（二）观察分析

，归纳总结

师：有同学拼成了这样的图形，这是2002年在北京召开的第24届国际数学家大会会标．会标根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。

师：仔细观察，如果设直角三角形的两直角边分别为a、b ,则正方形的边长为a2b2。

那么，正方形ABCD的面积为a2b2；四个直角三角形的面积和为2ab；正方形ABCD的面积四个直角三角形的面积和

（设计意图：通过动画演示，培养学生的观察能力，让学生体会从形到数的过程。并且体会等号成立的条件）

师：从形和数两个方面我们得到a2b22ab这个不等式我们把它叫做重要不等式。思考1：不等式什么时候取到等号？

思考2：a、b的取值范围是什么？

思考3：你能证明不等式吗？

学生：回答问题，并动手进行证明。

师：展示作差法证明过程。（设计意图：让学生应用刚学过的不等式的证明方法，规范学生证明过程。）

学生：归纳总结

重要不等式：一般地，对任意实数a、b，总有a2b22ab，当且仅当

a=b 时，等号成立

师：如果a0,b0，我们用a,b分别代替a、b ，可得到什么结论？

aba0,b0。

2（设计意图：通过简单的代数替换，让学生体会数学中的替换思想。）

ab师：在数学中，我们把

叫做正数a，b的算术平均数，ab叫做正数a，b的2几何平均数；这个不等式我们可以用文字表述为：两个正数的算术平均数不小于他学生：学生观察，并动手写出替换后的式子ab们的几何平均数。你能用学过的不等式性质证明不等式吗？

学生：学生先独立思考证明方法，随后学生代表展示证明过程，再共同交流探讨证明方法的异同。

师：引导学生归纳出分析法证明基本不等式的过程。(设计意图：求同存异，寻求不同的证明方法，让学生在探究的基础上体会分析法的证明思路。) 师：我们通过替换得到了基本不等式，并且用分析法进行了严格的证明，那么基本不等式有什么几何解释呢？

师：如图, AB是圆的直径, O为圆心，点C是AB上一点, AC=a, BC=b. 过点C作垂直于AB的弦DE,连接AD、BD、OD.（设计意图：展示动画，引导学生探究基本不等式aba0,b0的几何解释，通过数形结合，赋予基本不等式几何直观。目2ab的是利用学生原有的平面几何知识，进一步领悟到不等式ab的内涵以及等2ab号成立的条件。）

师：我们从不同的角度研究了基本不等式，请同学们归纳总结一下。

生：基本不等式

aba0,b0

2当且仅当 a=b 时取等号。文字表述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数（设计意图：通过归纳总结体会从不同的角度研究基本不等式，让学生对基本不等式有整体的认识。）

（三）解决问题，拓展延伸

若a>0,b>0则ab2ab通常我们把它写为ab例（1）如图，用篱笆围成一个面积为100平方米的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？

师：设矩形菜园的长和宽分别为x、y,则由题意可得xy100，求篱笆的长为2(xy)的最小值。我们所解决的最值问题都是一个变量，而现在是两个变量，如何解决呢？

师：同学们能用今天学习的知识解决问题吗？

学生：学生动手尝试，学生代表上台展示。

师：教师展示标准解答过程，强调书写规范性及关键步骤。并引导学生归纳思路方法、技巧。

学生：归纳

师：补充

例（2）：如图，用一段长为36米的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形菜园的长和宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？

学生：学生独立思考，独立完成，并选代表展示过程。

师：通过两个问题的解决，同学们有哪些体会和收获呢？

学生：反思过程，总结出两个正数积定和最小，和定积最大。

师：同学们能总结一下利用基本不等式求最值时需要注意的问题吗？

学生活动：学生独立思考并发言。（设计意图：让学生感受数学的应用价值，同时引导学生体会基本不等式abab(a0,b0)求最值的三个限制条件：一正、二定、2三相等。让学生感受基本不等式在处理两个变量的最值问题中的作用，同时体会函数思想。）

（四）课堂小结

这节课我们都学习了哪些内容，你有什么收获？

学生：学生发言交流自己的收获，其他同学补充。

师：展示小结内容。

（五）作业布置

1、正式作业：课本P10第6题或P6例3（二选一） 2、课外作业：活页1，2，3，4，5，8（必做题）；6，7，9，10（选做题） 3、拓展探究： （1）你能从几何的角度解释重要不等式吗？（参照课本第5页） （2）由基本不等式可以推出哪几种常见的变形形式？（参照《学习指导》第4页） 4、完善导学案 （设计意图：通过本环节，培养学生归纳概括的能力，知识的梳理再一次加深学生的印象）。

（六）达标检测

完成下列小题：

（1）若x0，求yx1的最小值为

，此时x=

x4的最小值；

x2（2）若x-2，求yx（3）若0x1，求yx1-2x的最大值；

2（设计意图：通过本题的练习检测学生是否领会了基本不等式求最值的三个限制条件，即一正，二定，三相等。）

（七）反思