1.不等式的基本性质优质课教案｜教案在线预览

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脚本1．求函数fx322cos2x3sin2x的最大值和最小值3cosx与3sinx的乘积是常数，所以，用基本不等式有可能解决此函数的最小值问题。解：fx3sin2x3cosx23sincos2x222x3cosx23sinxcosx23，（指数为常数1）等2222号当且仅当

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所属课文：1.不等式的基本性质

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1.不等式的基本性质优质课教案

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关键词：1.不等式的基本性质优质课教案

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脚本

1．

求函数fx322cos2x3sin2x的最大值和最小值

3cosx与3sinx的乘积是常数，所以，用基本不等式有可能解决此函数的最小值问题。

解：fx3sin2x3cosx23sincos2x222x3cosx23sinxcosx23，（指数为常数1）等2222号当且仅当3sin小值是23

2x3，即sinxcosx,xk4kZ时成立，所以该函数的最但是，用基本不等式无法解决它的最大值问题。利用变量代换可将此问题还原3为函数gtt的性质研究，该函数的大致图象如图：

可知它在0,3上单调递减，在223,上单调递增，由代换法则

31t3

t这时候，我们利用中学阶段证明单调性的基本方法——即利用不等式证明完成对函数单调性的探讨。

fx3sinx3cosx,令t3sinx，则1t3，可得函数gtt2设1t1t23,则gt1gt2t1t213t1t2t1t230

t1t2t1t2

即函数gtt3上单调递减，同理可得它在3,3上单调递增，而在1,3t22g1g34,所以函数fx3sinx3cosx的最大值是4。

感悟：

我们说，如果一个函数在某个区间上是单调函数，而且函数在单调区间的端点有意义，那么函数一定在单调区间的端点取得最大值和最小值，因此，函数最值是与函数的单调性紧密相关的函数基本性质，或者说，除了直接运用函数最值的现成结论解决有关的函数最值问题以外，处理函数最值问题的常用切入点便是研究函数的单调性。

对于一个函数，作出它的大致图像总是探索函数单调性的最直观，最有效的工具，但并不是唯一的途径；因此中学数学在处理函数单调性问题时只有一件严密逻辑依据的工具，那就是用不等式表述的函数单调性的概念。因此，两者可以相辅相成地运用：依赖图像给予的数学的直观或直觉，然后进行严密的单调性证明从而完成函数最值问题。

例：220032003的值在十进制表示下是一个p位数，而5的值在十进制表示下是一个q位数，则pq

。

解题策略：十进制下的p位数是介于100p1位00与100p位00之间的自然数或者说是不小于100p1位00但一定小于100p位0p10的自然数，它可以直接用不等号以不等式的方式表达。

3pq则2200310p,10q15200310q,于是10pq2220010,解：由已知可得102003pq2005,而p,q都是正整数，所以pq2004

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