复习参考题教案设计（一等奖）

(建议用时：80分钟) 1.(2016·佛山质检)贵广高速铁路从贵阳北站起终至广州南站.其中广东省内有怀集站、广宁站、肇庆东站、三水南站、佛山西站、广州南站共6个站.记者对广东省内的6个车站随机抽取3个进行车站服务满意度调查. (1)求抽取的车站中含有佛山市内车站(包括三水南站和佛山西站)的概率；

(2)设抽取的车站中含有肇庆市内车站(包括怀集站、广宁站、肇庆东站)个数为X，求X的分布列及其均值(即数学期望). 解

(1)设“抽取的车站中含有佛山市内车站”为事件A，则

112C22C4＋C2C44P(A)＝＝5. C36(2)X的可能取值为0，1，2，3. 32C01C193C33C3P(X＝0)＝C3＝20，P(X＝1)＝C3＝20，

6610C29C313C33C3P(X＝2)＝C3＝20，P(X＝3)＝C3＝20，

66所以X的分布列为

X P 0

120

1

920

2

920

3

120

19913X的数学期望E(X)＝0×20＋1×20＋2×20＋3×20＝2. 2.一次考试共有12道选择题，每道选择题都有4个选项，其中有且只有一个是正确的.评分标准规定：“每题只选一个选项，答对得5分，不答或答错得零分”.某考生已确定有8道题的答案是正确的，其余题中：有两道题都可判断两个选项是错误的，有一道题可以判断一个选项是错误的，还有一道题因不理解题意只好乱猜.请求出该考生：

(1)得60分的概率；

(2)所得分数X的分布列和数学期望. 解

(1)设“可判断两个选项是错误的”两道题之一选对为事件A，“有一道题可以判断一个选项是错误的”选对为事件B，“有一道题不理解题意”选对为事

件C，

111∴P(A)＝2，P(B)＝3，P(C)＝4，

11111∴得60分的概率为P＝2×2×3×4＝48. (2)X可能的取值为40，45，50，55，60. 11231P(X＝40)＝2×2×3×4＝8；

11231113112117P(X＝45)＝C1×22×2×3×4＋2×2×3×4＋2×2×3×4＝48；

11231113112111111P(X＝50)＝2

×2×3×4＋C12××××＋C2××××＋×××＝2234223422341748；

1111112111137P(X＝55)＝C1×22×2×3×4＋2×2×3×4＋2×2×3×4＝48；

11111P(X＝60)＝2×2×3×4＝48. X的分布列为

X P(X)

40

18

45

1748

50

1748

55

748

60

148

1171771575E(X)＝40×8＋45×48＋50×48＋55×48＋60×48＝12. 3.经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1 t该产品获利润500元，未售出的产品，每1 t亏损300元.根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示.经销商为下一个销售季度购进了130 t该农产品.以X(单位：

t，100≤X≤150)表示下一个销售季度内的市场需求量，T(单位：元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润.

(1)将T表示为X的函数；

(2)根据直方图估计利润T不少于57 000元的概率；

(3)在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，并以需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如：若需求量X∈[100，110)，则取X＝105，且X＝105的概率等于需求量落入[100，110)的频率).求T的数学期望. 解

(1)当X∈[100，130)时，

T＝500X－300(130－X)＝800X－39 000. 当X∈[130，150]时，T＝500×130＝65 000. 800X－39 000，100≤X<130，所以T＝

65 000，130≤X≤150.(2)由(1)知利润T不少于57 000元当且仅当120≤X≤150. 由直方图知需求量X∈[120，150]的频率为0.7，所以下一个销售季度内的利润T不少于57 000元的概率的估计值为0.7. (3)依题意可得T的分布列为

T P 45 000

0.1

53 000

0.2

61 000

0.3

65 000

0.4 所以E(T)＝45 000×0.1＋53 000×0.2＋61 000×0.3＋65 000×0.4＝59 400. 4.“嫦娥五号探测器”是中国研制中的首个实施无人月面取样返回的航天器.该探测器预计在2017年由“长征五号”运载火箭在中国文昌卫星发射中心发射升空.为确保发射成功，科学家增加了“长征五号”的某项新技术.该项新技术在进入试用阶段前必须检测三项不同的指标甲、乙、丙是否合格.假设该项新技术221的指标甲、乙、丙独立检测合格的概率分别为3、3、2，指标甲、乙、丙检测合格分别记4分、2分、4分，若某项指标不合格，则该项指标记0分，各项指标检测结果互不影响. (1)求该项新技术量化检测得分为10分的概率；

(2)记该项新技术的三个指标中被检测合格的指标个数为随机变量ξ，求ξ的分布列与数学期望. 解

(1)记“该项新技术的三个指标甲、乙、丙独立检测合格”分别为事件A，221B，C，则P(A)＝3，P(B)＝3，P(C)＝2，所以事件“该项新技术量化检测得分为10分”可表示为ABC.

所以该项新技术量化检测得分为10分的概率为

2212P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)＝3×3×2＝9. (2)ξ的所有可能取值为0，1，2，3. 1111由题意结合(1)知，P(ξ＝0)＝P(ABC)＝3×3×2＝18，

2111211115P(ξ＝1)＝P(A

BC＋A

B

C＋A

BC)＝3×3×2＋3×3×2＋3×3×2＝18. 2212111214P(ξ＝2)＝P(AB

C＋A

BC＋ABC)＝3×3×2＋3×3×2＋3×3×2＝9. 2212P(ξ＝3)＝P(ABC)＝3×3×2＝9. 所以随机变量ξ的分布列为

ξ

P 0

118

1

518

2

49

3

29

154211所以E(X)＝0×18＋1×18＋2×9＋3×9＝6. 5.某银行柜台设有一个服务窗口，假设顾客办理业务所需的时间互相独立，且都是整数分钟，对以往顾客办理业务所需的时间统计结果如下：

办理业务所需的时间(分)

频率

从第一个顾客开始办理业务时计时. (1)估计第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务的概率；

(2)X表示至第2分钟末已办理完业务的顾客人数，求X的分布列及数学期望. 解

设Y表示顾客办理业务所需的时间，用频率估计概率，得Y的分布列如下：

Y P 1

0.1

2

0.4

3

0.3

4

0.1

5

0.1 1

0.1

2

0.4

3

0.3

4

0.1

5 0.1 (1)A表示事件“第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务”，则事件A对应三种情形：①第一个顾客办理业务所需的时间为1分钟，且第二个顾客办理业务所需的时间为3分钟；②第一个顾客办理业务所需的时间为3分钟，且第二个顾客办理业务所需的时间为1分钟；③第一个和第二个顾客办理业务所需的时间均为2分钟.

所以P(A)＝P(Y＝1)P(Y＝3)＋P(Y＝3)·P(Y＝1)＋P(Y＝2)·P(Y＝2)＝0.1×0.3＋0.3×0.1＋0.4×0.4＝0.22. (2)法一

X所有可能的取值为0，1，2. X＝0对应第一个顾客办理业务所需的时间超过2分钟，所以P(X＝0)＝P(Y＞2)＝0.5；X＝1对应第一个顾客办理业务所需的时间为1分钟且第二个顾客办理业务所需的时间超过1分钟，或第一个顾客办理业务所需的时间为2分钟，

所以P(X＝1)＝P(Y＝1)P(Y＞1)＋P(Y＝2)＝0.1×0.9＋0.4＝0.49；

X＝2对应两个顾客办理业务所需的时间均为1分钟，

所以P(X＝2)＝P(Y＝1)P(Y＝1)＝0.1×0.1＝0.01；

所以X的分布列为

X P 0

0.5

1

0.49

2

0.01 E(X)＝0×0.5＋1×0.49＋2×0.01＝0.51. 法二

X所有可能的取值为0，1，2. X＝0对应第一个顾客办理业务所需的时间超过2分钟，

所以P(X＝0)＝P(Y＞2)＝0.5；

X＝2对应两个顾客办理业务所需的时间均为1分钟，

所以P(X＝2)＝P(Y＝1)P(Y＝1)＝0.1×0.1＝0.01；

P(X＝1)＝1－P(X＝0)－P(X＝2)＝0.49；

所以X的分布列为

X P 0

0.5

1

0.49

2

0.01 E(X)＝0×0.5＋1×0.49＋2×0.01＝0.51. 6.(2016·石家庄模拟)4月23日是“世界读书日”，某中学在此期间开展了一系列的读书教育活动.为了解本校学生课外阅读情况，学校随机抽取了100名学生对其课外阅读时间进行调查.下面是根据调查结果绘制的学生日均课外阅读时间(单位：分钟)的频率分布直方图.若将日均课外阅读时间不低于60分钟的学生称为“读书迷”，低于60分钟的学生称为“非读书迷”.

(1)根据已知条件完成下面2×2列联表，并据此判断是否有99%的把握认为“读书迷”与性别有关？

男

女

总计

非读书迷

读书迷

15

总计

45

(2)将频率视为概率.现在从该校大量学生中，用随机抽样的方法每次抽取1人，共抽取3次，记被抽取的3人中的“读书迷”的人数为X.若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列、期望E(X)和方差D(X). n（ad－bc）2附：K＝，n＝a＋b＋c＋d. （a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）2P(K2≥k0)

k0

0.100

2.706

0.050

3.841

0.025

5.024

0.010

6.635

0.001 10.828 解

(1)完成2×2列联表如下：

男

女

总计

2非读书迷

读书迷

40

20

60

15

25

40

总计

55 45 100 100×（40×25－15×20）2K＝≈8.249＞6.635，

60×40×55×45故有99%的把握认为“读书迷”与性别有关. 2(2)将频率视为概率.则从该校学生中任意抽取1名学生恰为读书迷的概率P＝5. i3－i2i23由题意可知X～B3，5，P(X＝i)＝C355

(i＝0，1，2，3).

X的分布列为

X P 0

27125

1

54125

2

36125

3

8125

218262均值E(X)＝np＝3×5＝5.方差D(X)＝np(1－p)＝3×5×1－5＝25. 