3.2.2 复数代数形式的乘除运算教学设计(第二课时)

数系的扩充与复数的引入

备课人：刘老师

复数的除法

教学目标

一、教学知识点

1.理解并掌握复数的代数形式的除法运算法则，深刻理解它是乘法运算的逆运算

2.理解并掌握复数的除法运算实质是分母实数化类问题

二、能力训练要求

1.会运用复数的代数形式的除法运算法则计算复数的除式

2.能灵活运用复数的“分母实数化”思想方法解题

三、德育渗透目标

1.通过数形结合研究复数，提高学生分析问题、解决问题的能力

2.培养学生良好的思维品质（思维的严谨性、深刻性、灵活性、批判性、创造性），培养学生的逆向思维能力

3.让学生感受到为真理执著追求的精神，进行辩证唯物主义教育

教学重点

复数代数形式的除法运算是本节课教学重点. 教学难点

对复数除法法则的运用是本节课教学难点. 教学方法

建构主义观点在高中数学课堂教学中的实践的教学方法.在学生掌握复数的代数形式的乘法运算法则基础上，利用逆运算推导除法法则. 教具准备

实物投影仪、幻灯机、幻灯胶片. 教学过程

Ⅰ.课题导入

［师］上节课我们学习了复数的代数形式的乘法法则（板书），今天我们研究的课题是复数的代数形式的除法运算法则.(板书课题，在乘法的基础上修改一个字，“乘”改为“除”)

Ⅱ.讲授新课

(一)概念法则建构

［师］在研究复数的代数形式的减法运算时，我们是定义了复数减法是加法的逆运算，那么，今天我们能否用类比的方法来研究复数的除法法则呢？

［生］可以.我们定义除法是乘法的逆运算

［师］我们利用什么思想方法来推导除法法则的公式呢？

［生］利用待定系数法和等价转化的思想来推导，最后再用两个复数相等的定义

［师］很好.在研究新问题时，就是要将其转化为熟知问题来解决.你们能推导吗？哪两位同学愿意到黑板上来写

(学生纷纷举手，都想展示自己的才华

［生甲］设复数a+bi(a、b∈R),除以c+di(c、d∈R),其商为x+yi(x、y∈R),即(a+bi)÷(c+di)=x

∵(x+yi)(c+di)=(cx-dy)+(dx+c

∴(cx-dy)+(dx+cy)i=a+b

cxdya,由复数相等的定义可知

dxcyb.

数系的扩充与复数的引入

备课人：刘老师

acbdx,22cd解这个方程组，得

ybcad.c2d2于是有(a+bi)÷(c+di)=acbdbcadic2d2c2d2

［生乙］由于定义复数的除法是乘法运算的逆运算，即把满足(c+di)(x+yi)=a+bi的复数x+yi叫做复数a+bi除以复数c+di的商，记作(a+bi)÷(c+di)=利用(c+di)(c-di)=c2+d2，于是将abicdi

abi的分母有理化得

cdi原式abi(abi)(cdi)

cdi(cdi)(cdi)[acb(d)](bcad)i

22cdacbd(bcad)i=

22cdacbdbcad=2

cd2c2d2acbdbcad2i∴(a+bi)÷(c+di)=222cdcd=

［师］同学们，你们看这两位同学的方法不一样，哪一个正确

［生丙］这两位同学的推理过程都是正确的.前者是常规方法，生乙的思想不是待定系数法，这种方法我说不清，还是由生乙自己解释吧！

［生乙］我的思想方法是利用初中我们学习的化简无理分式时，采用的分母有理化的思想方法，而c+di的共轭复数是c-di，相当于我们初中学习的32的对偶式32，它们之积为1是有理数，而(c+di)(c-di)=c2+d2是正实数，所以可以分母有理化

［师］回答得非常好，他的这种思想是由初中知识和解题技巧类比而来的，这种创新的思想和精神值得提倡.但有一点，这种方法的叫法有点不妥，能叫分母有理化吗？我们这分母是复数，而不是无理数，最后结果是实数，于是我们可以把这样的方法叫做什么？请同学们命名.

(学生开始讨论，提出自己的想法，课堂气氛活跃

［生丁］共轭复数法

［生戊］分母共轭复数法

［生壬］分母实数化法

［师］讲的都有道理.从运算的过程和结果而言，把它称为“分母实数化法”更加贴切.你们是否同意？

［生］(众生齐声回答)同意！

［师］大家再详细看看这两种推导方法的过程，有不严密的地方吗？

（大家开始讨论，有的同学开始争论，各抒己见，课堂气氛好不热闹）

数系的扩充与复数的引入

备课人：刘老师

［生］我觉得，复数的除法不能为零，即要增加条件c+di≠0或c2+d2≠0，这样才算完整.

［师］回答得很好，问题被你逮个正着！

至此，复数的代数形式的除法运算法则是：

a+bi）÷(c+di)=acbdbcad2i

(c+d222cdcd

［师］在学习复数的乘法时，两个复数的积的共轭、积的模各是什么？对于除法而言，又有什么结论呢？

［生］乘法中，z1z2

=z1·｜z2｜.由此我们可以猜想对于除法，也相应z2,｜z1z2｜=｜z1｜·的有(1)(z1zz1z

(z2)1；(2)1zzz2z222

［师］猜想是否正确，要进行证明.哪两位上来写

［生a］(1)设z1=a+bi,z2=c+di(c+di≠0,a、b、c、d∈∴

z1abi(abi)(cdi)

z2cdi(cdi)(cdi)(acbd)(acbd)i

22cdacbdacbdi

=2cd2c2d2=∴(z1acbdacbd)2iz2cd2c2d2

又z1abi

z2cdi=(abi)(cdi)(acbd)(acbd)i

22(cdi)(cdi)cdacbdacbd2i222cdcd

=∴(z1z)1z2z2

［生b］(2)设z1=a+bi,z2=c+di(a、b、c、d∈R且c+di≠0)，

∵z1abi(abi)(cdi)

z2cdi(cdi)(cdi)(acbd)(bcad)i

c2d2acbdbcad2,

=222cdcd=

数系的扩充与复数的引入

备课人：刘老师

∴z1acbd2bcad2(2)(2)

22z2cdcda2c2b2d2b2c2a2d2=

222(cd)a2c2a2d2b2c2b2d2=

22cda2b2又

22z2cdicdz1abia2c2a2d2b2c2b2d2=

c2d2∴zz11. z2z2

［师］证明完全正确，过程也是很详细的(二)精选例题

［例1］设复数z满足｜z｜-z=10,求复数12i

［生c析］利用待定系数法求解,设z=x+yi,将定义便可列出方程组求解

解：（学生口述，教师板书）

设z=x+yi(x、y∈

22则xy-(x-10进行分母实数化，然后用两复数相等的12i

x2y2x2,由复数相等的定义知y4.x3,解之得y4.z=3+4i ［生d析］把｜z｜看作一个整体，移到右边作为实部的一部分，然后两边同时求模，便建立了关于｜z｜的一个方程，再求解

解：（学生口述，教师板书）

由原式得z=｜z｜-2-

两边同时求模得｜z｜2=(｜z｜-2)2解得｜z｜于是z=3-4i.∴

数系的扩充与复数的引入

备课人：刘老师

［师］两位同学的解法都是正确的.本题前一解法是常规解法，后一解法体现了复数求解过程中的整体思想.在学习过程中，你们要很好地把握这一思想及其应用

［例2］已知复数z(14i)(1i)24i,ω=z+ai(a∈34i

(1)当0≤a≤3时，求｜ω｜的取值范围；

(2)当｜ω｜≤2时，求实数a的取值范围.

分析:先将z进行乘法、除法运算，化成最简形式，再写出复数ω的实部和虚部，利用模的公式求解.(1)与（2）是互为逆向思维的运用

解：（学生口述，教师板书）

143i24i7i

34i34i(7i)(34i)2143i28i=

2532422525i1i

=25zω=z+ai=1-i+ai=1+(a-｜ω｜2=12+(a-1)2=a2-2a(1)当0≤a≤3时，-1≤a-∴(a-1)2

∴｜ω｜2∈［1,5］.∴1≤｜ω｜≤5(2)∵｜ω｜2=1+(a-1)2∴(a-1)2≤1.∴-1≤a-∴0≤a

［例3］已知z2=8+6i,求复数f(z)=z3-16z-100z的值

［生e析］利用待定系数法,求出z,再代入求f解：设z=x+yi(x、y∈

x2y28,①∴2xy6.②由②得y

392，代入①得x28.xx

∴x4-8x2-

∴x2=9,x2=-1(舍).∴x

当x=3时,y=1;当x=-3时,y=-∴

当z=3+i时，f(3+i) =(3+i)3-16(3+i)-

100

3i100(3i)

321

=33+3·32·i+3·3·i2+i3-48-16i-=27+27i-9-i-48-16i-

数系的扩充与复数的引入

备课人：刘老师

=-

当z=-3-i时，f(-3-i)=(-3-i)3-16(-3-i)-=-(27+27i-9-i)+48+16i+100

3i

100(3i)=60-10［生f］本题可以配方化简，再求值.也可利用待定系数法求出解：（求z的过程同上）

∵f(z)=14

(z-16z2-z

=z1z2［(z2-8)2-164］=z［(8+6i-8)2-164］

86iz

(-36-10

==-20z

∴f(z)=-60+20i或f(z)=60-［例4］设复数z满足｜z｜=5且(3+4i)z是纯虚数，求z的值［生g］设z=a+bi(a,b∈R),则有a2b25.①

于是(3+4i)z=(3a-4b)+(4a+3b)i由题意知得b

3a4b0,

4a3b0.

33a,代入①得a2+(a)244a4,a4,∴a=±4.或

b3.b3.故z=4-3i或z=-

［生h］令(3+4i)z=ki(k∈R且zkiki(34i)k2(43i)

34i25433∵｜z｜=5,∴∴k=±25.∴k25·4232

数系的扩充与复数的引入

备课人：刘老师

∴z=±(4-

［生P］令(3+4i)z=ki(k∈R且k≠0),两边取模，

∴5｜z｜=｜k｜.∵｜z｜=5,∴

∴z=25i34i

∴z=±(4-［师］这三种解法都是常用的方法.请看下面两道变题

变题1：将条件(3+4i)z是纯虚数改为(3+4i)z是实数呢？

［生Q］设z=a+bi,由(3+4i)z=3a-4b+(4a+3b

得4a+3b=0,b4a

3

将其代入a2b25,得a∴a=3,b=-4或a=-3,b∴z=3+4i或z=-3-

［生m］设(3+4i)z=k(k∈R)，两边取模得

5·｜z｜=｜k｜.∴｜k｜

∴

∴z∴z25=±(3-34i

［师］变题2：将(3+4i)z是纯虚数改为(3+4i)z的对应点在第一、三象限的角平分线上呢？

［生n］由3a-4b=4a+3b,得a=-7b

代入a2b25得b212

∴b22

7272a,a,22∴或

b2.b2.22∴z722722i或zi2222

［生j］设(3+4i)z=k(1+i)(k≠0,k∈两边取模得5·｜z｜=｜k｜·2∴｜k｜=25252.∴k=±22

数系的扩充与复数的引入

备课人：刘老师

又z=k(1i)34i

∴z=k2(1+i)(3-4i)=±(7-252

∴z=±2

2

z11是实数，求证：是纯虚数

z1zabi11［生析］设z=a+bi(a、b∈R且b≠0),于是z=a+bi+=a+bi+2zabiab2ab(b)i

=a2ab2a2b2b10

∵z∈R,∴b22zab［例5］已知z是虚数，且z∵b≠0,∴a2+b2∴

z1(a1)bi

z1(a1)bi=[(a1)bi][(a1)bi]

22(a1)ba21b2[(a1)b(a1)b]i=

a2b22a1=02bibi

12a1a1

∵b≠0,a、b∈∴bi是纯虚数a1［师］逆命题是否成立呢？

［生ω］设z=x+yi(x、y∈

∵z1(x1)yi

z1(x1)yi=[(x1)yi][(x1)yi]

(x1)2y2

x2y212yi=(x1)2y2又z1是纯虚数，

z2

数系的扩充与复数的引入

备课人：刘老师

∴x2+y2-1=0且∴x2+y2=1且于是z

1xyi=x+yi+2

zxy2xyi

=2x∈

11∴z∈R且z是虚数

z=x+yi+［生x］上述两个问题可以不用这种方法求解,利用z∈Rz∈R,z≠0时，z是纯虚数z=-z.

1111∈R，z=z+=zzzz2

证明如下：若z∴(z-z)+z-zz=0.又z是虚数，

zz

∴z-z≠0.∴zz=1，即｜z｜11z1z1z)=又(=

1z1z11z1zz1=

1zz1z1∴是纯虚数

z1z1反之，若是纯虚数，

z1∴(z1z1z1)

z1z1z1

∴(z+1)(z-1)=-(z-1)(z∴zz-z+z-1=-zz-z+z∴zz

∴(z)=z+1z111=+z=z+zzz

数系的扩充与复数的引入

备课人：刘老师

∴z+1∈z

又z≠±1,∴z是虚数［师］补充的证法很好，这种方法也是常用的一种方法，同时运用zz=r2解题Ⅲ.课堂练习

课本Ｐ153

Ⅳ.课时小结

这节课我们学习了复数的除法法则是

abiacbdbcad22

(c+di22cdicdcd

两个复数相除较简捷的方法是把它们的商写成分式的形式，然后把分子与分母都乘以分母的共轭复数，再把结果化简

同学们在学习的过程中一定要明确由于一些运算性质的引入的确简化了许多繁杂运算.比如性质zz11在计算中的应用. z2z2例如：(34i)(22i)2i

31(i)(3i)5i22=(34i)(22i)31(i)(3i)(5)2234i22i)31i3i5i222i

=2i

=522i105422i6

z=｜z｜2的引入，解决了实数集中所遗留的一些问题，如x2+2x+3在实数中就由于性质z·算最简，不能再因式分解，而在复数中则可以分解

x2+2x+3=(x+1)2+2=(x+1+2i)(x+1-2i)〔利用a2+b2=(a+bi)(a-bi)〕.

Ⅴ.课后作业

课本Ｐ154 4、5

数系的扩充与复数的引入

备课人：刘老师

板书设计

§4.2.4复数的除法

一、法则

abiacbdbcad22i22cdicdcdabi(abi)(cdi)2.

cdic2d21.3.(

z1z)1,证明过程z2z2

4.zz11,证明过程z2z2

二、例题

例1 例2 例3 例4 变1 变2 例5. z是虚数，z

z11∈R是纯虚数. z1z