二 综合法与分析法课堂实录【2】

《证明不等式的基本方法--分析法与综合法》教学设计

湖南永州市第四中学

伍达志

一、教学内容分析

本节课是人教A版数学选修教材4-5第二讲《证明不等式的基本方法》的第第二课时．本节课是建立在已掌握不等式的基本性质、基本不等式、用比较法证明不等式的基础上，继续学习分析法和综合法证明不等式．

数学证明对于发展逻辑思维能力有着极其重要的作用，通过对证明方法的学习，养成言之有理、论证有据的习惯．数学证明的基本方法包括分析法、综合法、数学归纳法、反证法等．本节课主要学习如何利用分析法与综合法证明不等式．

综合法的特点是正向思维，能利用已有的经验和方法，发挥思维定向的积极作用，有利于发展求同思维．分析法的特点是逆向思维，能增大思维的发散量，克服思维定势的某些消极影响，有利于发展求异思维．证明不等式，既要求能综合运用有关的知识，又要求能选择合理的方法，还要掌握“相等”与“不等”的对立转化，这需要从事物的联系、转化和矛盾发展中去整体把握研究对象．

总之，证明不等式对发展思维能力具有重要的作用，于是不等式的证明在数学教学中的重要作用就凸显出来了．

二、教学目标设置

【教学目标】

1．进一步掌握比较法，经历分析法与综合法习得的过程，并会运用其证明简单不等式；

2．体会分析法、综合法在证明中的作用，理解执果索因、由因导果的思维路径；

3．通过教学，养成严谨的思维习惯，提升思维品质，培育逻辑推理、数学抽象、数学建模等核心素养．

【教学重点】理解比较法、分析法与综合法的基本思路，并会运用它们证明简单的不等式．[来源:学科网ZXXK]

【教学难点】寻找运用分析法、综合法解决问题的策略．

三、学生学情分析

本节课的教学对象为永州四中高二1611班的学生，已经学习了不等式

的基本性质、不等式的解法、基本不等式及其应用等知识，这都为这节课的学习作了知识、方法与能力上的准备．但不等式证明对思维的灵活性、深刻性，以及数学表达，均有较高的要求，这都需教师立足于学生现有的知识水平和认知能力，通过启发、引导、评价、激励学生，突破思维的障碍．

四、教学策略分析

（一）符合学生认知规律的教学活动

1.综合法

综合法是学生比较熟悉的证明方法．它是借助分析法的框图，按照自下而上的书写格式完成证明，即从已知条件出发，利用定义、公理、定理为基础，在严密的演绎推理下，推导出所要证明的结论，通常把这种证明方法称为综合法．综合法的证明过程为：已知可知…可知求证，就是依次得出已知的一系列的必要条件，且最后一个必须包含要证明的命题的结论时，命题得证．在证明时，要善于观察题目的特点，寻求已知和求证之间沟通的线索．在本章不等式的证明中，利用综合法证明不等式时，常用到基本不等式等结论，为此本节课综合法的教学中要引导学生学会观察欲证的不等式的特点，如不等号方向、系数特征、次数特征、项数特征等，帮助学生理清综合法的证明思路．

2.分析法

分析法的教学难点在于，让学生理解分析法的逻辑关系是自下而上的，在教学中利用逻辑框图的推出关系，帮助学生理解分析法的思维过程．逻辑框图易于让学生发现分析法的本质，即对欲证明的命题不知从何入手，或者所给条件形式简单而结论复杂的时候，可以采用分析法，亦即从证明的结论出发，逐步寻找使它成立的充分条件，直至最后把要证明的结论归结为判定一个易证明其成立的条件为止．正因如此，需要引入“欲证”、“只需证明”等关键词．分析法的证明过程即为：求证只需证明…只需证明已知．

3.建立关联，融会贯通

学生在了解了上述两种证明方法后，可以感悟到证明不等式可根据题目的特点选择分析法与综合法．如果题目的已知和求证之间关系脉络清晰、容易沟通，那么考虑用综合法；如果看不出要求证的不等式与已知条件的关系时，那么可以

利用分析法，寻求到易于证明的已知的充分条件，然后再证明．分析法、综合法看似是两种方法，但他们只是证明方法的名称，他们之间是有区别也有联系的，有时他们是单独地运用，有时两种方法会同时使用。事实上，实际问题经常是综合法、分析法的应用或综合应用，我们也可以理解为：由“已知”推导“可知”，由“求证”探究“只需证明”，最后建立“可知”与“只需证明”的关系的思维过程．本节课教学的较高层次目标是让学生能感悟到，分析法和综合法只是证明方法的名称，而真正精髓的是思考问题的过程与方法，正如“手中无剑、心中有剑”是练功的最高境界，证明不等式也一样．

（二）关注学生学习体验的教学环节

1.

创设情境、引发思考

“大胆猜想，小心求证”是科学研究的基本要求，数学证明在数学史的长河中有着重要的地位．在现实生活中，等量关系是相对的，不等量关系是绝对的，因此，不等式的证明比等式的证明更重要．这是本节课的开场白，通过提纲挈领的数学文化熏陶，让学生充分感悟到不等式证明在数学教学中的重要性．

2.理性构建，回归本质

学生通过本节课的学习，可以感悟到证明不等式要先理解题意，然后根据题目的特点拟定证明方案，然后再完成证明．证明结束后要养成回顾的好习惯，即回看自己的证明过程，如果用的是综合法，那么每一步推出的是否都是已知的必要条件，如果用的是分析法，那么检查只需证明的命题是否是要求证的命题的充分条件，逻辑关系不能出错．因此，证明不等式可以归纳为“理解题目”、“拟订方案”、“执行方案”和“回顾”四大步骤．事实上，这是解决一类数学问题的方法，更是解决生活中很多问题的方法，从而让学生可以更深刻的感悟到数学不仅是工具，更是一种文化．

五、教学过程

（一）创设情境、引发思考

（先复习证明不等式的比较法，再让学生思考其它的证明方法，并启发、引导学生从不等式出发，探求使其成立的条件，引出新的证明方法——“分析法”，分析新方法的思维路径，得出相反的思维路径的“综合法”）

（二）典型例题

领会方法

引例1、已知a,b,c是不全相等的正数，求证：a(b2c2)b(c2a2)c(a2b2)6abc. 分析：观察题目，不等式左边含有“a2+b2”的形式，我们可以创设运用基本不等式：a2+b2≥2ab;

定义1：

一般地，从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立，这种证明方法叫综合法.

综合法的思维起点是常常是一些重要的不等式：

(1)a2b22ab

(2)a,b,cR,则a3b3c33abc

(3)若a,bR,则

2ababa2b2abab22

(4)若a,b,cR,则

abc3abc

3

(5)a2b2c2abbcca

例2、已知a1,a2,

,anR,且a1a2求证：an1，(1a1)(1a2)(1an)2n

分析：观察要证明的结论，左边是n个因式的乘积，右边是2的n次方，再结合a1a2决。

课堂练习1：

已知a,b,cR,且abc1，求证：

引例2 求证: 发现如果能将左边转化为a1,a2,an1，问题就能得到解,an的乘积，111 1118abc当

x4时，x-1-x2x3-x4分析：观察结构特点，可以利用分析法。

定义2 证明命题时，我们还常常从要证的结论出发，逐步寻找使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实（定义、公理或已证明的定理、性质等），从而得出要证的命题成立，这种证明方法叫做分析法.

例题

已知：

求证

a2b2b2c2c2a2abc

例4、已知a,b,c0，求证：abc分析：要证的不等式可以化为

a2b2b2c2c2a2abc(abc)

即a2b2b2c2c2a2a2bcb2acc2ab观察上式，左边各项是两个字母的平方之积，右边各项涉及三个字母，可以考虑用x2(y2z2)2x2yz

（三）课堂练习

1.已知a,b,m都是正数,且ab,求证ama．bmb

2．已知a,b,cR，且abc3，求证：

a2b2c23；

（四）总结反思、思维升华

(1)分析法常用于比较法，综合法难于

入手的题型．

(2)分析法的优点是利于思考，因为它方向明确思

路自然，易于掌握，

综合法的优点是易于表述，条理清楚,形式简洁，

因而证不等式时常常用分析法寻找解题思路，再用

综合法写出证明过程．

有副数学对联是这样写的：上联：由因导果顺藤摸瓜（综合法）

下联：执果索因逆推探源（分析法）

横批：得心应手