1.3 二项式定理（通用）教案1

二

项

式

定

理

汕头市实验学校

马少龙

一、教材分析

二项式定理是初中乘法公式的推广，是排列组合知识的具体运用，是学习概率的重要基础．同时，它也是解决高次多项式问题的有力工具。在函数、数列、不等式证明等问题中时常会碰到高次多项式的问题，二项式就是解决该类问题的重要工具之一。

二、教学目标

1、知识目标：

（1）使学生参与并探讨二项式定理的形成过程，掌握二项式定理、二项式系数、通项等概念。

（2）能够应用二项式定理对所给出的二项式进行正确的展开。

2、能力目标：

（1）在学生对二项式定理形成过程的参与、探讨过程中，培养学生观察、猜想、归纳的能力及分类讨论解决问题的能力。

（2）培养学生化归的意识和知识迁移的能力。

3、情感目标：

（1）通过学生自主参与和探讨二项式定理的形成过程，培养学生解决数学问题的兴趣和信心. （2）通过学生自主参与和探讨二项式定理的形成过程，使学生体会到数学内在的和谐对称美. 三、重点、难点

重点：用计数原理分析(ab)3的展开式，得到二项式定理．

难点：二项式定理的形成过程，以及二项式定理与计数原理的关系。

（一）提出问题，引入课题

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如果今天是星期一，那么再经过8天，天后分别是星期几？

810=(7+1)10=?引入：二项式定理研究的是(ab)n的展开式，如：(ab)2a22abb2，

(ab)3? (ab)4? (ab)100? 那么(ab)n的展开式是什么？

【设计意图】创设情景,把问题作为教学的出发点，直接引出课题．激发学生的求知欲，明确本课要解决的问题.

（二）引导探究，发现规律

1、多项式乘法的再认识．

1

问题1. (a1a2)(b1b2)的展开式是什么？展开式有几项？每一项是怎样构成的？

问题2. (a1a2)(b1b2)(c1c2)展开式中每一项是怎样构成的？展开式有几项？

【设计意图】引导学生运用计数原理来解决项数问题，明确每一项的特征，为后续学习作准备.

2、(ab)3展开式的再认识

探究1：不运算(ab)3，能否回答下列问题（请以两人为一小组进行讨论）：

(1) 合并同类项之前展开式有多少项？

(2) 展开式中有哪些不同的项？

(3) 各项的系数为多少？

(4) 从上述三个问题，你能否得出(ab)3的展开式？

探究2：仿照上述过程，请你推导(ab)4的展开式. 【设计意图】通过几个问题的层层递进，引导学生用计数原理对(ab)3的展开式进行再思考，分析各项的形式、项的个数，这也为推导(ab)n的展开式提供了一种方法，使学生在后续的学习过程中有“法”可依．

(三) 形成定理，说理证明

探究3：仿照上述过程，请你推导(ab)n的展开式．

0n1n1knkknn(ab)nCnaCnabCnabCnb(nN*)———

二项式定理

证明：(ab)n是n个(ab)相乘，每个(ab)在相乘时，有两种选择，选a或选b，由分步计数原理可知展开式共有2n项（包括同类项），其中每一项都是ankbk(k0,1,n)的形式，对于每一项ankbk，它是由k个(ab)选了b，n－k个(ab)选了a得到的，它出现的次k数相当于从n个(ab)中取k个b的组合数Cn，将它们合并同类项，就得二项展开式，这就是二项式定理．

34n 【设计意图】通过仿照(ab)、(ab)展开式的探究方法，由学生类比得出(ab)的展开式．二项式定理的证明采用“说理”的方法，从计数原理的角度对展开过程进行分析，概括出项的形式，用组合知识分析展开式中具有同一形式的项的个数，从而得出用组合数表示的展开式．

(四) 熟悉定理

二项式定理的公式特征：（由学生归纳，让学生熟悉公式）

1. 项数：共有n１项. 2. 次数：字母a按降幂排列，次数由n递减到0；字母b按升幂排列，次数由0递增到n．各项的次数都等于n．

k012kn 3. 二项式系数: 依次为Cn，这里Cn(k0,1,,n)称为二项式系数. ,Cn,Cn,,Cn,,Cnknkk 4. 二项展开式的通项: 式中的Cnab叫做二项展开式的通项. 用Tk1表示.即通项knkk为展开式的第k１项: Tk1=Cnab

变一变 （1）(ab)n （2）(1x)n 【设计意图】通过变一变，使得学生了解二项定理的字母a,b中是一种符号，实际上它可以是数、式子及其他什么的，只要具备二项式形式，就可以用定理写出展开式。

(五) 例题分析

16)的展开式.

例1. 求(2xx 思考1：展开式的第３项的系数是多少？

思考2：展开式的第３项的二项式系数是多少？

2

思考3：你能否直接求出展开式的第３项？

例2、(1) 求

( 1 + 2x )

的展开式中第 4 项的系数

9

3 (2) 求 ( x －

1)的展开式中 x

的系数

7x 【设计意图】熟悉二项展开式和公式，培养学生的运算能力．

课堂练习：课本37页—A组1、2、5 【设计意图】巩固提高本节课的教学效果

(六) 课堂小结（由学生归纳本课学习的内容及体现的数学思想）

本节课你学习了什么？发现了什么？有什么收获？还有什么问题？

0n1n1knkknn 1.公式：

(ab)nCnaCnabCnabCnb(nN*)

k （1）、二项式系数: Cn(k0,1,,n) knkk （2）、二项展开式的通项: Tk1=Cnab

2.思想方法：1.从特殊到一般的思维方式. 2.用计数原理分析二项式的展开过程. （七）课后作业

作业：课本37页—A组4

（八）

板书设计：

§1.3二项式定理

知识小结

1、公式

2、通项

3、各种系数

（1）

（2）

（3）

（4）

基本知识简单推例题、练习讲解及学生板书

导

3