1.1 回归分析的基本思想及其初步应用优质课教案设计

第一章

统计案例

1.1.1 回归分析基本思想及其初步应用第一课时

一、教学目标

1.核心素养: 通过学习回归分析的基本思想及其初步应用，初步形成基本的数据分析能力. 2.学习目标

（1）1.1.1.1 温习散点图,复习相关关系与函数关系. （2）1.1.1.2 理解回归分析的基本思想，会求线性回归方程.

（3）1.1.1.3 理解回归模型与函数模型的差别，了解随机误差产生的原因. 3.学习重点

线性回归分析的一般步骤，,回归分析的应用. 4.学习难点

理解随机误差产生的原因以及函数模型与回归模型的差别. 二、教学设计

（一）课前设计

1.预习任务

任务1 阅读教材P2－P4，思考求解线性回归方程一般步骤是什么？回归模型和函数模型有何区别？随机误差产生的原因？

任务2 什么是解样本中心点，什么是回归分析？

2.预习自测

1.两个变量有线性相关关系且正相关，则回归直线方程中，ybxa的系数b（

）

A.b0

B.b0 C.b0

D.b1

解：A

2.在画两个变量的散点图时，下面哪个叙述是正确的（

）

A.预报变量在x轴上，解释变量在y轴上

B.解释变量在x轴上，预报变量在y轴上

C.可以选择两个变量中任意一个变量在x轴上

D.可以选择两个变量中任意一个变量在y轴上

1 / 6

解：B

3.回归直线ybxa必过（

）

A. (0,0)

B. (x,0)

C. (0,y)

D. (x,y)

解：D

（二）课堂设计

1.知识回顾



（1）线性回归方程：ybxa，其中.b(xx)(yy)xynxyiiiii1nn(xx)ii1n2i1nxi12inx2ˆybx

，

a

（2）线性相关：如果所有点看上去都在一条直线附近波动，则两个变量间是线性相关，可用一条直线来近似表示

（3）非线性相关：若所有点看上去都在某条曲线附近波动，则两个变量间是非线性相关，可用一条曲线来拟合. （4）回归分析：是对具有相关关系的两个变量进行的统计分析的一种常用方法. 2.问题探究

问题探究一

相关关系与函数关系是什么，如何画散点图？

●活动一

回顾旧知，回忆相关关系与函数关系

在《必修3》中，我们已经学习过函数关系与相关关系，那么什么是函数关系，什么是相关关系? 想一想：在以往数学学习和日常生活中，我们接触了哪些函数关系与相关关系？

举例：请大家试着列举生活与学习中的相关例子. 例如圆的周长C2r，周长C与半径r之间就是一种确定性的关系，对于自变量半径的每一个确定的值，都有唯一确定的周长的值与之相对应.又如人的体重y与身高x，一般来说，身高越高，体重越重，但不能用一个函数来严格表示它们之间的关系.即变量之间有一定的联系，但取值也具有一定的随机性.即：

1.

函数关系与相关关系

（1）

函数关系是一种确定关系. （2）

相关关系是一种不确定关系. 注意：判断两个变量是否具有相关关系，应该先看它们是否有关，再看这种关系是否是确定的函数关系.

●活动二

旧知推进，回忆散点图的画法

2 / 6

2. 散点图

在分析两个变量的关系时，为了对变量之间的关系有一个大概的了解，我们通常将一个变量的数据作为横坐标，另一个变量的数据作为纵坐标，将这些点描在平面直角坐标系中，形成的图形就是散点图

（1）散点图直观反映了实例的成对观测值之间是否存在相关关系和存在什么样的相关关系. （2）若散点图中点的分布由左下方到右上方，则两个变量正相关；点的分析由左上方到右下方，则两个变量负相关

问题探究二

线性回归分析步骤是什么？

●活动一

通过实例，亲身体验

在《必修3》中，我们利用回归分析的方法对两个具有线性相关关系的变量进行了研究，你能利用回归分析对下列实例进行分析吗？

例1 从某大学中随机选取8名女大学生，其身高和体重数据如下表所示：

编

号

身高/cm

1 165

2 165

57

3

157

50

4

170

54

5

175

64

6

165

61

7

155

43

8

170

59 体重/kg

48 求根据一名女大学生的身高预报她的体重的回归方程，并预报一名身高为172cm的女大学生的体重.

【知识点：线性回归方程，回归分析；】

详解：(1) 作散点图，由于问题是根据身高预报体重，因此要求身高与体重的回归直线方程，取身高为自变量x，体重为因变量y，作散点图：

70656055504540150155160165170175180

从散点图可以看出，样本点呈条状分布，身高和体重有比较好的线性相关关系，因此可以用回归直线y=bx+a来近似刻画它们之间的关系，从而可利用我们学过的最小二乘估计思想及计算公式求得线性回归直线方程.其计算公式如下：

3 / 6

b(xx)(yy)xynxyiiiii1nn(xx)ii1n2i1nxi12inx2，aybx

x1x2…xnyy2…yn1n1n

其中xxi,yyi1,

ni1nni1n根据上面公式，可以得到

b0.849,a85.712

于是得到线性回归方程

y0.849x85.712

对于身高172cm女大学生，由回归方程可以预报体重为y0.84917285.71260.316(kg)，预测身高为172cm的女大学生的体重为约60.316kg. 点拨：回归分析的基本过程：

（1）画出两个变量的散点图；

（2）判断是否线性相关；

（3）求回归直线方程（利用最小二乘法）；

（4）并用回归直线方程进行预报

●活动二

整理旧知，得出新概念

1.样本中心点

对于一组具有线性相关关系的数据(x1,y1),(x2,y2),L,(xn,yn)，

x1x2Lxnyy2Lyn1n1nxxi,yyi1,则称点（x,y)为样本点的中心. ni1nni1n●活动三

总结反思，得出新结论

由上计算过程可以得出：

（1）样本点的中心坐标分别是两个变量的观测数据的算术平均数. （2）点（x,y)在回归直线上，即回归直线一定过样本点的中心. 问题探究三

线性回归模型与函数模型有何差异，随机误差是怎么产生的？？

●活动一

结合实际，反思结果

想一想：身高为172cm 的女大学生的体重一定是60.316kg吗?如果不是，你能解释一下原因吗？

答：不一定，但一般可以认为她的体重在60.316kg左右.由样本点和回归直线的相互位置可以说

4 / 6

明这一点. 从散点图可观察出，女大学生的体重y和身高x之间的关系并不能用一次函数y=bx+a来严格刻画（因为所有的样本点不共线，所以线性模型只能近似地刻画身高和体重的关系）. 在数据表中身高为165cm的3名女大学生的体重分别为48kg、57kg和61kg，如果能用一次函数来描述体重与身高的关系，那么身高为165cm的3名女在学生的体重应相同. 这就说明体重不仅受身高的影响还受其他因素的影响，这时我们把身高和体重的关系可用下面的线性回归模型

y=bx+a+e

来表示，其中a和b为模型的未知参数，e称为随机误差. ●活动二

层层推进

，答疑解惑

那么，产生随机误差项e的原因是什么呢？

实际上，一个人的体重除了受身高影响外，还受其他许多因素的影响，例如饮食习惯、是否喜欢运动、度量误差等.另一方面，没有人知道身高和体重之间的真正关系是什么，现在只是利用线性回归方程来近似这种关系.而这种近似和上面提到的影响因素都会导致随机误差e的产生.即随机误差产生的原因：

（1）线性回归方程中的b和a为估计值，与真实值b和a之间存在误差. （2）影响变量y的因素不止变量x一个，可能还包括许多因素（例如农作物的生长不仅要收日照时间的影响，还会受土壤的肥沃程度，施肥量等影响）

（3）观测误差，由于测量工具及测量值一般也存在一定的误差，这样的误差也包含在e中

所以随机误差e中包含体重不能由身高的线性函数解释的所有部分. 当残差变量恒等于0时，线性回归模型就变成一次函数模型. 因此，一次函数模型是线性回归模型的特殊形式，线性回归模型是一次函数模型的一般形式.

●活动三

新知学习

在统计中，我们把自变量x称为解释变量，因变量y称为预报变量.线性回归模型与我们熟知的一次函数模型的不同之处就在于增加了随机误差e，预报变量y的值由解释变量x和随机误差e共同决定，即解释变量x只能解释部分预报变量y的变化



5 / 6

解释变量x

预报变量y

随机误差e

3.课堂总结

【知识梳理】

(1)线性回归方程：ybxa，其中.b(xx)(yy)xynxyiiiii1nn(xx)ii1n2i1nxi12inx2，aybx

(2)回归分析的基本过程：①画出两个变量的散点图；②判断是否线性相关，③求回归直线方程（利用最小二乘法），④并用回归直线方程进行预报

(3)对于一组具有线性相关关系的数据(x1,y1),(x2,y2),L,(xn,yn)，

x1x2Lxnyy2Lyn1n1nxxi,yyi1,则称点（x,y)为样本点的中心. ni1nni1n(4)线性回归模型：y=bx+a+e，其中a和b为模型的未知参数，e称为随机误差.

【重难点突破】

(1)利用回归分析的方法对两个具有线性相关关系的变量进行研究的步骤：

①作出散点图

②求回归直线方程

③利用所求方程进行预测.

（2）

随机误差产生的原因：①线性回归方程中的b和a为估计值，与真实值b和a之间存在误差.②影响变量y的因素不止变量x一个，可能还包括许多因素（例如农作物的生长不仅要收日照时间的影响，还会受土壤的肥沃程度，施肥量等影响）③观测误差，由于测量工具及测量值一般也存在一定的误差，这样的误差也包含在e中. 

6 / 6