1.3 二项式定理（通用）ppt配套的教学设计方案

1.3 二项式定理（通用）教学设计

年级

高二

科目____数学

__

主备教师

史研

__

备课组长审核

课题内容

课程标准，考试说明

课程标准

考试说明

教学

资源

分析

教材分析

教辅资源

知识与技能

教学

目标

过程与方法

分析

情感态度与价值观

重点

具体细化内分析

容和确定依难点

据

分析

主要教学方法

（一）复习回顾

1.能用计数原理证明二项式定理。

2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题。

重点：掌握二项式展开式的系数的性质

难点：

二项式展开式的系数的性质的应用

高中教学质量监控讲义A基础训练

多媒体

投影仪

1、掌握二项式展开式的系数的性质，并能应用二项式的展开式的系数解决有关问题.

2、通过探索二项式展开式的系数的性质，培养学生观察问题发现问题,归纳推理问题的能力. 3.培养学生从特殊到一般、从一般到特殊的认知能力

多让学生举命题的例子，培养学生发现问题、提出问题、分析问题、有创造性地解决问题的能力；

激发学生学习兴趣、培养学生不断发现，探索新知的精神，并通过数学的对称美，培养学生的审美意识

二项式展开式的系数的性质的推导及运用

二项式展开式的系数的性质运用

选修2-3

1.3二项式定理（一）

时间

09.11 启发式教学，半开放教学．

个性化设计与改进

教

学

过

程

1.二项式定理：

0n1n(ab)nCnaCnabrnrrCnabnnCnb(nN)，

rnrr2．二项展开式的通项公式：Tr1Cnab（r=0,1,2,…n）

3.

二项式系数与项的系数；

4 二项式系数表（杨辉三角）

(ab)n展开式的二项式系数，当n依次取1,2,3…时，二项式系数表，表中每行两端都是1，除1

以外的每一个数都等于它肩上两个数的和

02rncn,c1n,cn,,cn,cn. 5．二项式系数的性质：

mnm（1）对称性．与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（∵Cn）．

Cnn(n1)(n2)(nk1)k1nk1Cn，

k!knk1nk1n1kk11k∴Cn相对于Cn的增减情况由决定，，

kk2n1当k时，二项式系数逐渐增大．由对称性知它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取得最大值；

2（2）增减性与最大值．∵Cnk当n是偶数时，中间一项C取得最大值；当n是奇数时，中间两项C（3）各二项式系数和：

1∵(1x)n1CnxrrCnxn2nn12n，Cn12取得最大值．

nxn，

rCnn

Cn令x1，则2CnCnCn

n012

新课讲授

2 0122x2 012(x∈R)．

例1：设(1－2x)＝a0＋a1x＋a2x＋…＋a2 012·(1)求a0＋a1＋a2＋…＋a2 012的值．

(2)求a1＋a3＋a5＋…＋a2 011的值．

(3)求|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a2 012|的值．

【思路探究】

先观察所要求的式子与展开式各项的特点，用赋值法求解．

【自主解答】

(1)令x＝1，得

a0＋a1＋a2＋…＋a2 012＝(－1)2 012＝1.①

(2)令x＝－1，得a0－a1＋a2－…＋a2 012＝32 012.②

①－②得

2(a1＋a3＋…＋a2 011)＝1－32 012，

1－32 012. ∴a1＋a3＋a5＋…＋a2 011＝2rr(3)∵Tr＋1＝CrCr(2x)r，

2012(－2x)＝(－1)·2 012·*∴a2k－1＜0(k∈N)，a2k＞0(k∈N)．

∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a2 012| 2 012＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a2 012＝3.

1．

本题根据问题恒等式的特点采用“特殊值”法即“赋值法”，这是一种重要的方法，适用于恒等式．2．“赋值法”是解决二项展开式中项的系数常用的方法，根据题目要求，灵活赋给字母不同值．一般地，要使展开式中项的关系变为系数的关系，令x＝0可得常数项，令x＝1可得所有项系数之和，令x＝－1可得偶次项系数之和与奇次项系数之和的差．

727例2：已知(1－2x)＝a0＋a1x＋a2x＋…＋a7x，求

(1)a1＋a2＋…＋a7；

(2)a1＋a3＋a5＋a7，a0＋a2＋a4＋a6. 727【解】

(1)∵(1－2x)＝a0＋a1x＋a2x＋…＋a7x，

令x＝1，得

a0＋a1＋a2＋…＋a7＝－1，①

令x＝0，得a0＝1，

∴a1＋a2＋…＋a7＝－2. (2)令x＝－1，得

a0－a1＋a2－a3＋…＋a6－a7＝37＝2187，②

由①、②得

a1＋a3＋a5＋a7＝－1 094，

a0＋a2＋a4＋a6＝1 093. 22n例3

已知f(x)＝(3x＋3x)展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992. (1)求展开式中二项式系数最大的项；

(2)求展开式中系数最大的项．

【思路探究】

求二项式系数最大的项，利用性质知展开式中中间项(或中间两项)是二项式系数最大的项；求展开式中系数最大的项，必须将x，y的系数均考虑进去，包括“＋”、“－”号．

nn【自主解答】

令x＝1，则二项式各项系数的和为f(1)＝(1＋3)＝4，又展开式中各项的二项式系nnn数之和为2.由题意知，4－2＝992. n2n∴(2)－2－992＝0，

∴(2＋31)(2－32)＝0，

nn∴2＝－31(舍去)，或2＝32，∴n＝5. nn(1)由于n＝5为奇数，所以展开式中二项式系数最大的项为中间两项，它们分别是

假设Tr＋1项系数最大，

C53≥C5·3，rrr＋1r＋1则有3，

C53≥C5·rrr－1r－1

∴5！－r！r！×3≥5！－r！r！≥5！－r！r－5！－r！r＋！，3，！×

∴135－r≥r＋1.31r≥6－r，

79∴2≤r≤2，∵r∈N，∴r＝4.

小结：1．求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质，当n为奇数时，中间两项的二项式系数最大；当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大．

2．求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况，一般采用列不等式组，解不等式的方法求得．

7练习：求(1＋2x)的展开式中的二项式系数最大项与系数最大项．

【解】

在二项式系数C7，C7，C7，…，C7中，最大的是C7与C7，故二项式系数最大项是第4项333444与第5项，即T4＝C7(2x)＝280x与T5＝C7(2x)＝560x. 012734Tr＋1≥Tr，C72≥C72，3r≤16，rrr＋1r＋1设第r＋1项的系数最大，则由⇒⇒故r＝5，Tr＋1≥Tr＋23r≥13，由于r是整数，C72≥C72555所以系数最大的是第6项，即T6＝C7(2x)＝672x.

rrr－1r－1

n8123例4

已知(2x－1)二项展开式中，奇次项系数的和比偶次项系数的和小3，则Cn＋Cn＋Cn＋…＋nCn的值为(

) A．28

B．28－1

C．27

D．27－1

nn2【错解】

设(2x－1)＝a0＋a1x＋a2x＋…＋anx，

令A＝a1＋a3＋a5＋…，B＝a0＋a2＋a4＋…，

8由题意知B－A＝3. nn令x＝－1得a0－a1＋a2－a3＋…＋an(－1)＝(－3)，

n∴(a0＋a2＋…)－(a1＋a3＋…)＝(－3)

n8∴B－A＝(－3)＝3，∴n＝8. nn128由二项式系数性质可得，an＋an＋…＋Cn＝2＝2

【答案】

A 【错因分析】

误将Cn＋Cn＋…＋Cn看作是二项展开式各项二项式系数和，忽略了Cn. 二项式系数的有关性质的形成过程体现了观察——归纳——猜想——证明的数学方法，并且在归纳证明的过程中应用了函数、方程等数学思想，大致对应如下：

对称性应用了组合数的性质增减性与最大值应用了组合数公式、

分类讨论思想等系数和应用了赋值法、方程思想

1．(a＋b)7的各二项式系数的最大值为(

) A．21

B．35

C．34

D．70

【答案】

B 2．在(a－b)20的二项展开式中，二项式系数与第6项二项式系数相同的项是(

) A．第15项

B．第16项

C．第17项

D．第18项

12n0【解析】

由二项式系数的性质知与第6项系数相等的项应为倒数第6项，即第16项．

【答案】

B 3．(1＋2x)2n的展开式中，二项式系数最大的项所在的项数是第________项．

2n【解析】

(1＋2x)的展开式中共有2n＋1项，中间一项的系数最大，即第n＋1项．

【答案】

n＋1 4．已知(1－2x＋3x2)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a13x13＋a14x14，试求：

(1)a0＋a1＋a2＋…＋a14；

(2)a1＋a3＋a5＋…＋a13. 【解】

(1)在已知等式中令x＝1，则得：

a0＋a1＋a2＋…＋a13＋a14＝27＝128.①

(2)在已知等式中令x＝－1，则得：

a0－a1＋a2－a3＋…－a13＋a14＝67.②

77①－②得：

2(a1＋a3＋a5＋…＋a13)＝2－6＝－279 808. 因此，a1＋a3＋a5＋…＋a13＝－139 904. （四）课堂练习

1.课本P35练习1 2.集合A＝{a1，a2，…，an}的所有子集的个数是多少？

3.若(2x＋3)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，求a1＋a2＋a3＋a4＝________．

（四）课堂总结

本节课学习了二项式系数的性质

（五）课后练习

高中教学质量监控讲义

教

学

反思