1.3 二项式定理（通用）课堂实录【2】

1.3.1二项式定理

[学习目标] 1．理解二项式定理及推导方法，识记二项展开式的有关特征，能对二项式定理进行简单应用．

2．通过对二项式定理内容的研究，体验特殊到一般的发现规律，一般到特殊指导实践的认识事物过程．

【情景引入】

上海培训网投资频道消息“房贷方案适合你的是最好的．”提醒市民个人住房贷款有两种还款方式，并认为一些市民在不知情的情况下选择了等额还款法，在利息上吃亏了．其实银行房贷专家认为，市民在选用两种还款方法时，不能单纯地将这两种还款方法作比较，而应该综合多种因素作出全面合理的选择．要说真正“合算不合算”关键在利率，借款期限、金额及还款方式都应根据自己的具体情况来定．两种个人住房贷款：①等额本金还款法，即每月还款额为：贷款总额平均摊到各月的本金及当月所有本金所产生的利息之和．②等额本息还款法，即每月还款额相等，且各月还款额的本息之和等于总贷款额的本息之和．

某人买房首付后，在工商银行贷60万元商业贷款，期限20年，月利率为0.42%. (1)此人若采用“等额本金还款法”还贷，第一月还款额是多少？总利息是多少？

(2)此人若采用“等额本息还款法”还贷，每月还款是多少？总利息是多少？

如何计算上面问题中的结果呢？

提示：借助二项式定理求值．

【新知探究】

1．二项式定理

(1)公式(a＋b)n＝____________________________________ (n∈N*)叫做二项式定理．

(2)(a＋b)n的二项展开式共有_______项，其中各项的系数Ckn(k∈{0,1,2，…，n})叫做二项式系数．

2．二项展开式的通项

(a＋b)n的二项展开式中的_________叫做二项展开式的通项，用_________表示，即通项为展开式的第_________项：_________________. 【例题讲解】

例1 (1)求(3x＋14)的展开式；

x(2)化简(x－1)5＋5(x－1)4＋10(x－1)3＋10(x－1)2＋5(x－1)．

【思路启迪】

直接应用二项式定理处理，注意观察各式子的特点．

【解】

(1)方法一：(3x＋14)

x111413122＝C0()2＋C3()3＋C4()4

4(3x)＋C4(3x)·＋C4(3x)·4(3x)·4·xxxx121＝81x2＋108x＋54＋＋2. xx3x＋11方法二：(3x＋)4＝

x2x1＝2(81x4＋108x3＋54x2＋12x＋1) x121＝81x2＋108x＋54＋＋2. xx5142332450(2)原式＝C05(x－1)＋C5(x－1)＋C5(x－1)＋C5(x－1)＋C5(x－1)＋C5(x－1)－1 4＝[(x－1)＋1]5－1＝x5－1. (1)记准、记熟二项式(a＋b)n的展开式，是解答好与二项式有关问题的前提条件，对于较复杂的二项式，有时先化简再展开更简捷．

(2)逆用二项式定理可将多项式化简，对于这类问题的求解，要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律及各项的系数．

11例2 已知在(x2－)n的展开式中，第9项为常数项，求：

2x(1)n的值；

(2)展开式中x5的系数；

(3)含x的整数次幂的项的个数．

【思路启迪】

先利用通项确定n的值，然后根据特定项的特征逐一求解．

12n－k11－5【解】

已知二项展开式的通项Tk＋1＝Ck(－)k＝(－1)k()nkCkn(x)nx2n－k. 222x5(1)因为第9项为常数项，即当k＝8时，2n－k＝0，解得n＝10. 252(2)令2n－k＝5，得k＝(2n－5)＝6，

251105所以x5的系数为(－1)6()4C6. 10＝2840－5k5(3)要使2n－k，即为整数，只需k为偶数，由于k＝0,1,2,3，…，9,10，故符合要求的有6项，22分别为展开式的第1,3,5,7,9,11项．

(1)求展开式中的某些特定项时，应先利用通项确定哪些项是要求的项，再用通项求解．

(2)要注意二项式系数与某一指定项的系数的差别．

例3 求证：32n2－8n－9(n∈N*)能被64整除．

＋【思路启迪】

问题的关键是要找出幂32n＋1＋2被64除的系数，联系到二项式定理，32n＋2可写成(8＋1)n展开后代入求证式有望解决问题．

【证明】

32n2－8n－9＝(1＋8)n1－8n－9 ＋＋1n1＝1＋C18＋C282＋…＋Cn－8n－9 n＋1·n＋1·n＋18＋＋1n1＝C282＋C383＋…＋Cn8. n＋1·n＋1·n＋1·＋＋3n12n2而C2－8n－9能被64整除．

n＋1，Cn＋1，…，Cn＋1均为自然数，上式各项均为64的整数倍，∴3＋＋解决利用二项式定理证明整除问题关键是判断所证式子与除数之间的联系，要掌握好对式子的拆分，这是利用二项式定理证明整除问题的常用技巧．

1例4

求(2x2＋)9的展开式中第3项的二项式系数及第4项的系数．

x29－k1k解：通项公式为Tk＋1＝Ck·()

9(2x)x18＝29kCk9x－－3k，故第3项的二项式系数为C29＝36，

第4项的系数为26C39＝5 376. 【课堂小结】

1．要正确理解二项式定理，准确写出二项展开式及通项，注意区分项的系数与二项式系数．

2．在通项公式中，注意Tr＋1表示的是第r＋1项，式中a、b的位置不能颠倒，它们的指数和为n. 3．通项公式中含a、b、n、r和Tr＋1五个元素，知道其中四个就可以求第五个，注意n是正整数，r是自然数，r≤n. 4．应用二项式定理解答整除性问题时，要学会配凑，配凑是数学解题的灵活方法，又是等价转化的基础．

【当堂检测】

1．(a＋2b)10展开式中第3项的二项式系数为(

) 322A．C310

B．8C10

C．4C10

D．C10

解析：第3项的二项式系数为C210. 答案：D 12．(x2－)n的展开式中常数项为15，则n等于(

) xA．3

B．4

C．5

D．6 1－2n－2k解析：设(x2－)n中第k＋1项为常数项，则Tk＋1＝Ck(－x1)k＝15，即2n－3k＝0.因此n为3的nxx倍数，若n＝3，则k＝2，此时C23≠15，故n＝6. 答案：D

3．(2x－1)5的展开式中第3项的系数为(

) A．－202

B．20

C．－20

D．202 5r解析：∵Tr＋1＝Cr(－1)r，

5(2x)－323233∴T2＋1＝C25(2x)(－1)＝(2)C5x＝202x. ∴第3项的系数为202. 答案：D 14．已知二项式(x－)n的展开式中含x3的项是第4项，则n的值为__________．

x1－n－k解析：Tk＋1＝Ck·(－)k＝(－1)k·Ckxn2k，由k＋1＝4，知k＝3，

nxn·x即xn－2k＝xn－2×3＝x3，

所以n－6＝3，n＝9. 135．二项式(x－)n的展开式中，第5项是常数项，则展开式共有__________项．

x3n－4144n－16解析：T5＝C4(x)(－)＝C是常数项，

nnxx3∴n－16＝0.∴n＝16.故共有16＋1＝17项．

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