二 综合法与分析法教学设计案例

综合法与分析法

一．教材分析

《直接证明与间接证明》是在学习了推理方法的基础上学习的，研究的是如何正确利用演绎推理来证明问题．本节课是《直接证明与间接证明》的第一节，主要介绍了两种证明方法的定义和逻辑特点，并引导学生比较两种证明方法的优点，进而灵活选择证明方法，规范证明步骤．本节课的学习需要学生具有一定的认知基础，应尽量选择学生熟悉的例子．

二．教学目标

1．知识与技能目标

(1)了解直接证明的两种基本方法：综合法和分析法．

(2)了解综合法和分析法的思维过程和特点．

2．过程与方法目标

(1)通过对实例的分析、归纳与总结，增强学生的理性思维能力．

(2)通过实际演练，使学生体会证明的必要性，并增强他们分析问题、解决问题的能力．

3．情感、态度及价值观

通过本节课的学习，了解直接证明的两种基本方法，感受逻辑证明在数学及日常生 活中的作用，养成言之有理、论之有据的好习惯，提高学生的思维能力．

三．教学重难点

重点：综合法和分析法的思维过程及特点．

难点：综合法和分析法的应用．

四．教具准备：多媒体. 五．教法与学法：师生合作探究

六．教学过程: （一）创设情境 引入新课

证明对我们来说并不陌生，我们在上一节学习的合情推理，所得的结论的正确性就是要证明的，并且我们在以前的学习中，积累了较多的证明数学问题的经验，但这些经验是零散的、不系统的，这一节我们将通过熟悉的数学实例，对证明数学问题的方法形成较完整的认识．

（二）

新课讲授

合情推理分为归纳推理和类比推理，所得的结论的正确性是要证明的，数学中的两大基本证明方法——直接证明与间接证明.

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思考:已知a,b>0,求证a(bc)b(ca)4abc

设计意图：引导学生应用不等式证明以上问题，引出综合法的定义. 证明:因为bc2bc,a0,

所以a(bc)2abc,

因为ca2ac,b0,

所以b(ca)2abc.

因此, a(bc)b(ca)4abc. 一. 综合法

1.定义：从命题的条件出发，利用定义、公理、定理及运算法则，经过一系列的推理论

证，最后推导出所要证明的结论成立. 2.思维特点：由因导果，即由已知条件出发，利用已知的数学定理、性质和公式，推出 结论的一种证明方法

22222222222222223.框图表示：(P表示已知条件、已有的定义、定理、公理等,Q表示要证明的结论) PQ1(Q1Q2)Q2Q3.....QnQ

例1

已知a,b,c是不全相等的正数，

求证：lgabbccalglglgalgblgc

222证明：a,b,cR

abbccaab,bc,ca,222ab1lglgab(lgalgb),22

bc1lglgbc(lgblgc),22ca1lglgca(lgclga),22以上三式相加，且注意到a,b,c不全相等，

故lgabbccalglglgalgblgc

222总结：本题主要综合运用基本不等式以及对数的运算性质来证明. 例2

在△ABC中,三个内角A,B,C的对边分别为a, b，c,且A,B,C成等差数列, a, b，c

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成等比数列,求证△ABC为等边三角形. 证明：由

A,

B, C成等差数列，有 2B=A + C

． ○1 因为A,B,C为△ABC的内角，所以A + B + C=．

○2

由①②

，得B=. ○3

32由a, b，c成等比数列，有bac. ○4

由余弦定理及③，可得

b2a2c22accosBa2c2ac. 22再由④，得acacac. (ac)20, 因此ac. 从而A=C. ○5

由②③⑤，得

A=B=C=. 3所以△ABC为等边三角形．

总结:解决数学问题时，往往要先作语言的转换，如把文字语言转换成符号语言，或把符号语言转换成图形语言等．还要通过细致的分析，把其中的隐含条件明确表示出来．

回顾:《必修五》中基本不等式二.分析法

1.定义：一般地,从要证明的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直至最后,把要证明的结论归结为判断一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止,这种证明方法叫做分析法. 2. 思维特点：执果索因步步寻求上一步成立的充分条件，它与综合法是对立统一的两种方abab(a0,b0)的证明方法. 2法

要证：

只要证：

只需证：

显然成立

3.框图表示：(用Q表示要证明的结论,Pn表示充分条件) QP1(P1P2).....(Pn1Pn)PnP

4.分析法的书写格式：

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上述各步均可逆

所以,结论成立

例3

求证:3725

证明：因为37和25都是正数，

所以要证3725

只需证(37)2(25)2

在本例中，如果我们从“21<25 ”出发，逐步倒推回去，就可以用综合法证出结论.但由于我们很难想到从“21<25”入手，所以用综合法比较困难. 练习:在锐角ABC中,求证:tanAtanB1

证明:要证明tanAtanB1

只需证sinAsinB1

cosAcosB因为A、B为锐角,所以cosA0,cosB0

只需证cosAcosBsinAsinB

只需证cos(AB)0

因为C为锐角,ABC为钝角

所以cos(AB)0恒成立

所以tanAtanB1

七.课时小结:本节课所学的知识结构

八.作业布置

1．必做题：教材习题2.2 A组2、3题．

2．选做题：教材习题2.2 B组2、3题．

九.板书设计

十.教学反思

2.2.1 综合法和分析法

一.综合法 二.分析法 三.例题分析

1.定义 1.定义 例1 练习1 2.框图表示 2.框图表示 例2 练习2 3.特点. 3.特点 例3 练习3

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备用例题1：已知x,y,zR,a,b,cR

求证：bc2ca2ab2xyz2(xyyzzx)

abc＋证明：由于x，y，z∈R，a，b，c∈R，则 bc2ca2ab2xyz

abcb2c2c2a2a2b2xxyyzz

aabbccbacbac(x2y2)(y2z2)(z2x2)

abbcca2xy2yz2zx

2(xyyzzx)

所以bc2ca2ab2xyz2(xyyzzx). abc2tan备用例题2:

已知1tan1，

求证：cos－sin＝3(cos＋sin)．

证明：要证cos－sin＝3(cos＋sin)，

只需证cossin3，

cossin1tan3，

1tan只需证1只需证1－tan＝3(1＋tan)，只需证tan＝－，

2∵1tan1，∴1－tan＝2＋tan，即2tan＝－1. 2tan1∴tan＝－显然成立，∴结论得证．

2

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