1.3 二项式定理（通用）教学设计(第一课时)

二项式定理教学设计

一、教学目标

（一）知识与技能

1.

认识“杨辉三角”中行列数字特点及其与组合数的性质，二项展开式系数之间的关系

2.

理解并掌握二项式定理及其证明，从项数、指数、系数等几个特征熟记展开式

（二）过程与方法

提高学生的归纳推理能力，树立由特殊到一半的数学思想

（三）情感与态度

利用“杨辉三角”的历史对学生进行爱国主义教育

二、教学重难点及教学设计

（一）教学重点

二项式定理及证明，二项展开式的通项公式的项数、指数、系数

（二）教学难点

二项式定理、二项式系数与项的系数的区别

（三）教学设计

直接引入课题→和的平方、立方、四次方与杨辉三角、组合数的关系→二项式定理及证明→二项式定理公式的应用→二项展开式的通项公式→通项公式的应用→课堂小结

三、教学工具及教学方法

为了突破难点，突出重点，我采用化归的思想，将二项展开过程化归到熟悉的组合问题。采用多媒体教学手段

四、教学过程

（一）和的平方、立方、四次方与杨辉三角、组合数的关系

（ppt展示）

10CC11abab 1 1

1012CCC222aba2abb 1 2 1

2220123CCCC3333aba3ab3abb 1 3 3 1

33223(ab)a4ab6ab4abb 1 4 6 4 1 C4 C4 C4 C4 C4

4432234012341、让学生写出和的平方、立方、四次方的展开式，并与“杨辉三角”联系

2、引导学生发现展开式中的系数与组合数的练习，并给出杨辉三角的组合数表示形式

3、问题1.这四个式子的展开式中，总共有多少项？每项的指数和是多少，是否与展开式左边的指数是

一致的？a、b是怎样排列的？

问题2.观察系数与组合数的关系，上标的排列与谁的排列是一致的？

14、(ppt展示）由此可得出

abC10aC1b

1122 ab2C20a2C2abC2b

0312233 abC3aC3abC3ab2C3b

31234 (ab)C04aC4abC4abC4abC4b 4432234

5、（ppt展示）问题3.(ab)?

0n1n1（由学生归纳并解答并由教师板书）abCnaCnabnrnrrCnabnnCnbnN*

n（二）二项式定理及证明

1、（学生看课本，教师讲解）

(ab)(ab)(ab)(ab)CnaCnabCnan0n1n1rnrbCnb

rnn每个都不取b的情况有Cn种,则an前的系数为Cn

恰有1个取b的情况有Cn种，则an1b前的系数为Cn

······

恰有r个取b的情况有Cn

种，则ab前的系数为Cn

2、二项式定理（a+b）n=C

an+C

an－1b+…+C

an－rbr+…+C

bn有以下特征：

（1）展开式共有n+1项.

（2）字母a按降幂排列，次数由n递减到0；字母b按升幂排列，次数由0递增到n.

（3）

a的次数与b的次数和为n；

（三）二项式定理公式的应用

r1100nrrr14x14011212313414

（黑板板书）解：(1)C4C4C4()C4()C4()

xxxxx1、（ppt展示）展开(1)

14111162434

xxxx2、（ppt展示）（学生操作，教师评讲）求(3x1x)4的展开式

43x14(3x1))=（ppt展示解答过程）

解：原式=(

2xx

=

=1x1x[(3x)C4(3x)(1)2C4432204132C4(3x)(1)223C4(3x)C4]

34(81x84x54x12x1)

2

=81x84xn12154

xx2注：形如(ab)的展开式要讲其转换为(ab)，不能直接利用二项式定理

（四）二项展开式的通项公式

（教师板书）

. (r＝0，1，2，…

，n)是二项展开式中的通项公式

n

（ppt展示）

1、表示(ab)的展开式中的第r+1项，不是第r项

2、通项公式由3部分组成：组合数以及a、b的相关式子。其中组合数的上标与b的指数一致，a的指数等于n减去

组合数的上标，a的指数与b的指数之和为n 3、nCrn叫做二项式系数，与a、b无关，仅与次数n有关的n+1个组合数，一定为正

9项的系数是指在展开式的每一项中除变量之外的那一部分。可正可负。（结合“求(3x计算x2y的展开式中第五项的系数和二项式系数1x)4的展开式”讲解

（五）通项公式的应用

1、（ppt展示）

（教师板书）解：

T41Tc92xy54454二项式系数为C9126,项的系数为C92444

问题4、将(x2y)中的x和

102y的顺序调换，结果还一样吗？（学生操作）求xy的展开式中，x7y3的系数与x3y7的系数之和是多少？注：在(ab)中，a与b的为值不能随意调换。虽然整体的展开式一样，但涉及到具体的第几项的时候就不同了

333773T31C10xyC10xy7773372、（ppt展示）（学生操作）T71C

xyC10xy10

373C10C102C10240

（ppt展示）解：

注：求某一项的系数，先找到它的通项，再找到对应的r （六）课堂小结

1、二项式定理及特征

2、通项公式及二项式系数与项的系数的区别

3、通项公式的应用

五、作业

《

新坐标》：第17页

六、板书设计

9n二项式定理

主要知识点板书

例题板书

ppt展示区