1.3 二项式定理（通用）教学内容分析

1．3．1二项式定理

教学目标：

知识与技能：进一步掌握二项式定理和二项展开式的通项公式

过程与方法：能解决二项展开式有关的简单问题

情感、态度与价值观：教学过程中，要让学生充分体验到归纳推理不仅可以猜想到一般性的结果，而且可以启发我们发现一般性问题的解决方法。

教学重点：二项式定理及通项公式的掌握及运用

教学难点：二项式定理及通项公式的掌握及运用

授课类型：新授课 课时安排：3课时 教 具：多媒体、实物投影仪 内容分析：

二项式定理是初中乘法公式的推广，是排列组合知识的具体运用，是学习概率的重要基础．这部分知识具有较高应用价值和思维训练价值．中学教材中的二项式定理主要包括：定理本身，通项公式，杨辉三角，二项式系数的性质等．

通过二项式定理的学习应该让学生掌握有关知识，同时在求展开式、其通项、证恒等式、近似计算等方面形成技能或技巧；进一步体会过程分析与特殊化方法等等的运用；重视学生正确情感、态度和世界观的培养和形成．

二项式定理本身是教学重点，因为它是后面一切结果的基础．通项公式，杨辉三角，特殊化方法等意义重大而深远，所以也应该是重点．

二项式定理的证明是一个教学难点．这是因为，证明中符号比较抽象、需要恰当地运用组合数的性质2、需要用到不太熟悉的数学归纳法．

在教学中，努力把表现的机会让给学生，以发挥他们的自主精神；尽量创造让学生活动的机会，以让学生在直接体验中建构自己的知识体系；尽量引导学生的发展和创造意识，以使他们能在再创造的氛围中学习．

教学过程：

一、复习引入：

122 ⑴(ab)2a22abb2C20a2C2abC2b；

12233⑵(ab)3a33a2b3ab2b3C30a3C3abC3ab2C3b

⑶(ab)4(ab)(ab)(ab)(ab)的各项都是4次式，

即展开式应有下面形式的各项：a4，a3b，a2b2，ab3，b4，

展开式各项的系数：上面4个括号中，每个都不取b的情况有011种，即C4种，a4的系数是C40；恰有1个取b的情况有C4种，a3b1的系数是C4，恰有2个取b的情况有C42种，a2b2的系数是C42，恰有3个取b的情况有C43种，ab3的系数是C43，有4都取b的情况有C44种，b4的系数是C44，

132223344abC4abC4abC4b．

∴(ab)4C40a4C4

二、讲解新课：

1n二项式定理：(ab)nCn0anCnabrnrrCnabnnCnb(nN)

⑴(ab)n的展开式的各项都是n次式，即展开式应有下面形式的各项：

an，anb，…，anrbr，…，bn，

⑵展开式各项的系数： 每个都不取b的情况有1种，即Cn0种，an的系数是Cn0；

11恰有1个取b的情况有Cn种，anb的系数是Cn，……，

恰有r个取b的情况有Cnr种，anrbr的系数是Cnr，……，

有n都取b的情况有Cnn种，bn的系数是Cnn，

1n∴(ab)nCn0anCnabrnrrCnabnnCnb(nN)，

这个公式所表示的定理叫二项式定理，右边的多项式叫⑶它有n1项，各项的系数Cnr(r0,1,(ab)n的二项展开式，二项式系数，

⑷Cnranrbr叫二项展开式的通项，用Tr1表示，即通项Tr1Cnranrbr．

1⑸二项式定理中，设a1,bx，则(1x)n1CnxrrCnxn)叫xn

三、讲解范例：

例1．展开(11)4．

x解一：

(11)41C41(1)C41(1)2C43(1)3(1)414xxxxxx413123xCxCxCx1解二：(11)4(1)4(x1)4(1)4444

xxx46411234．

xxxx641342xxx．

例2．展开(2x16)．

x

解：(2x161)3(2x1)6

xx16152433221[(2x)C(2x)C(2x)C(2x)C(2x)C(2x)1]

666663x6012164x3192x2240x16023．

xxx例3．求(xa)12的展开式中的倒数第4项

解：(xa)12的展开式中共13项，它的倒数第4项是第10项，

91299339T91C12xaC12xa220x3a9．

例4．求（1）(2a3b)6，（2）(3b2a)6的展开式中的第3项．

解：（1）T21C62(2a)4(3b)22160a4b2，

（2）T21C62(3b)4(2a)24860b4a2．

点评：(2a3b)6，(3b2a)6的展开后结果相同，但展开式中的第r项不相同

例5．（1）求(x339)的展开式常数项；

x（2）求(x339)的展开式的中间两项

xr939rx9r3rr2r9解：∵Tr1C()()C93x2，

3x∴（1）当93r0,r6时展开式是常数项，即常数项为26T7C9332268；

（2）(x339)的展开式共10项，它的中间两项分别是第5x项、第6项，

T5C34989x9121594251093，T6C93x2378x3 x

例6．（1）求(12x)7的展开式的第4项的系数；

（2）求(x1)9的展开式中x3的系数及二项式系数

x解：(12x)7的展开式的第四项是T31C73(2x)3280x3，

∴(12x)7的展开式的第四项的系数是280．

（2）∵(x1)9的展开式的通项是Tr1C9rx9r(1)r(1)rC9rx92r，

xx∴92r3，r3，

∴x3的系数(1)3C9384，x3的二项式系数C9384．

例7．求(x23x4)4的展开式中x的系数

分析：要把上式展开，必须先把三项中的某两项结合起来，看成一项，才可以用二项式定理展开，然后再用一次二项式定理，，也可以先把三项式分解成两个二项式的积，再用二项式定理展开

解：（法一）(x23x4)4[(x23x)4]4

01234C4(x23x)4C4(x23x)34C4(x23x)242C4(x23x)43C444，

显然，上式中只有第四项中含x的项，

∴展开式中含x的项的系数是C43343768

（法二）：(x23x4)4[(x1)(x4)]4(x1)4(x4)4

04132234(C4xC4xC4xC4xC4)04132234(C4xC4x4C4x42C4x43C444)

∴展开式中含x的项的系数是C4344C4343768．

例8．已知f(x)12xm14xn

(m,nN*)的展开式中含x项的系数为36，求展开式中含x2项的系数最小值

分析：展开式中含x2项的系数是关于m,n的关系式，由展开式中含x项的系数为36，可得2m4n36，从而转化为关于m或n的二次函数求解

解：12xm14xn展开式中含x的项为

1111Cm2xCn4x(2Cm4Cn)x

11∴(2Cm4Cn)36，即m2n18，

12xm14xn展开式中含x2的项的系数为

22222Cn42m22m8n28n，

tCm∵m2n18，

∴m182n，

∴t2(182n)22(182n)8n28n16n2148n612

16(n23715337n)，∴当n时，t取最小值，但nN*，

448∴

n5时，t即x2项的系数最小，最小值为272，此时n5,m8．

例9．已知(x124x)n的展开式中，前三项系数的绝对值依次成等差数列，

（1）证明展开式中没有常数项；（2）求展开式中所有的有理项 解：由题意：2Cn111Cn2(1)2，即n29n80，∴n8(n122舍去）

∴Tr1Cr8x8r163rrrr1rr8rC824(4)()C8xx1rx4222x1r0r8

rZ①若Tr1是常数项，则163r0，即163r0，

4

∵rZ，这不可能，∴展开式中没有常数项；

②若Tr1是有理项，当且仅当163r为整数，

4∴0r8,rZ，∴

r0,4,8，

即

展开式中有三项有理项，分别是：T1x4，T535x，8T912x 256例10．求0.9986的近似值，使误差小于0.001．

1解：0.9986(10.002)6C60C6(0.002)16C6(0.002)6，

展开式中第三项为C620.00220.00006，小于0.001，以后各项的绝对值更小，可忽略不计，

1∴0.9986(10.002)6C60C6(0.002)10.998，

一般地当a较小时(1a)n1na 四、课堂练习：

1.求2a3b6的展开式的第3项. 2.求3b2a6的展开式的第3项. 3.写出(3x712x3)n的展开式的第r+1项. 4.求x32x的展开式的第4项的二项式系数，并求第4项的系数. 5.用二项式定理展开：

（1）(a3b)5；（2）(6.化简：（1）(15x25). 2x5x)(1x)；（2）(2x123x)4(2x3x)4 1212127．xxlgx5展开式中的第3项为106，求x．

1 8．求xx2n展开式的中间项

答案：1. T21C62(2a)62(3b)22160a4b2

2. T21C62(3b)62(2a)24860a2b4

n2r1r3r3nrr3. Tr1Cn(x)(3)Cnx2x21r

4.展开式的第4项的二项式系数C7335，第4项的系数33C72280

5. （1）(a3b)5a55a43b10a33b210a2b5ab3bb3b2；

（2）(x25125xxx)xxxx5x204023232328xxxx. 6. （1）(1（2）(2x12x)5(1x)5220x10x2；

124121243x)(2x3x)192x432

x7. xxlgx5展开式中的第3项为C52x32lgx106x32lgx105

2lg2x3lgx50lgx1,lgx18. xx2n105x10,x

21000展开式的中间项为(1)nC2nn

五、小结

：二项式定理的探索思路:观察——归纳——猜想——证明；二项式定理及通项公式的特点 六、课后作业： P36 习题1.3A组1. 2. 3.4 七、板书设计（略） 八、教学反思：