2.2.2 反证法教学设计方案

2.2.2 反证法教学设计(第一课时）

教材内容分析: 本课是人教A版数学选修1-2第二章“推理与证明” 中 2.2“直接证明与间接证明”的第二节课反证法。

证明一般包括直接证明与间接证明。“直接证明”的两种基本方法是综合法和分析法，它们是解决数学问题常用的思维方式；“间接证明”的一种基本方法是反证法，但是反证法的应用需要逆向思维，这是学生学习的一个难点。所以，本课的关键是让学生在动脑思考、动手证明的过程中体会反证法的思维过程，建立应用反证法的感觉。

学生学习情况分析：

本节内容在初中就有接触，反证法的逻辑结构并不复杂，但用反证法证明数学问题却是学生学习的一个难点。究其原因，主要是反证法的应用需要逆向思维，但在中小学阶段，逆向思维的训练和发展都是不充分的。

所教学生是艺术教育班，数学思维一般，对于反证法证明简单命题问题不大。但由于学生对数的了解不多，研究不够，所以例1有困难。

设计思想: 本节课的设计遵循问题引领的原则，适当运用多媒体辅助教学手段，通过提出问题，合作讨论，合情推理，操作确认，归纳出反证法的概念：反证法的基本步骤：反证法的应用关键；适合用反证法证明的四类问题：将合情推理与演绎推理有机结合，让学生在观察分析、自主探索、合作交流的过程中，理解数学的概念，领会数学的思想方法，养成积极主动、勇于探索、自主学习的学习方式，提高学生的数学逻辑思维能力。

教学目标: 知识与能力：通过实例，培养学生用反证法证明简单问题的推理技能，进一步培养观察能力、分析能力、逻辑思维能力及解决问题的能力。

过程与方法：了解反证法证题的基本步骤，会用反证法证明简单的命题。

情感、态度、价值观：在观察、操作、推理等探索过程中，体验数学活动充满探索性和创造性；渗透事物之间都是相互对立、相互矛盾、相互转化的辩证唯物主义思想。

教学重点与难点

重点：1、理解反证法的概念，

2、体会反证法证明命题的思路方法及反证法证题的步骤，

3、用反证法证明简单的命题。

难点：理解“反证法”证明得出“矛盾的所在”即矛盾依据。

学法指导：

通过创设情景和老师的范例讲解，体会反证法的含义及反证法证明命题的思路方法，自己总结反证法证题的基本步骤。英国近代数学家哈代曾经这样称赞它：“归谬法（反证法）是数学家最有力的一件武器，比起象棋开局时牺牲一子以取得优势的让棋法，它还是高明。象棋对弈者不外牺牲一卒或顶多一子，数学家索性把全局拱手让予对方！”这是对反证法精辟的概括.在教学过程中，我们要重视培养学生利用反证法对客观世界的认识提出自己的问题，这正是反证法教学所要教给学生的，应该具有的数学能力，也是培养学生数学素质与数学素养的很好教学机会.

教学过程：

一、学前准备

1、复习回顾

上节课我们学习了用

综合法，分析法直接证明问题的方法。但是有的问题是显然成立的或要分成多种情况进行讨论。我们再用直接方法就显的比较困难或麻烦，那么证明一个问题的成立是不是还有其他的方法呢？这节课我们就来学习用间接的方法证明一个问题是成立的——反证法。

2、情景创设：

①看故事并回答：中国古代有一个叫《路边苦李》的故事:王戎7岁时,与小伙伴们外出游玩,看到路边的李树上结满了果子.小伙伴们纷纷去摘取果子,只有王戎站在原地不动.有人问王戎为什么?王戎回答说:“树在道边而多子,此必苦李.”小伙伴摘取一个尝了一下果然是苦李.王戎是怎样知道李子是苦的吗?他运用了怎样的推理方法? ②思考：将9个球分别染成红色或白色,无论怎样染色，至少有5个球一

定是同色的。正确吗？

③生活实例：

问题1：任找370个人，他们中生日一定有相同的。你能证明这个结论吗？

问题2：高二（3）班50名学生中，至少有5名学生的生日在同一个月份。

你能证明这个结论吗？

【设计意图】：通过对这两个问题的解答，使学生自主探究反证法的概念及反证法证明的步骤.导入新课。此环节旨在提升学生的求知欲、探索欲，使学生保持良好、积极的情感体验。

二、自学、合作探究（一）

通过情境创设，有部分学生对反证法的概念及反证法证明的步骤有了初步了解.又通过“思考”引出反证法。（这个问题可以直接证明，但需要分成多种情形分类讨论，然后归纳出结论，这样做比较麻烦。用反证法证明这个问题的关键是将问题“数学化”，从基本的数量关系导出矛盾。“数量关系分析”是学生不习惯的。教学中应当进行适当引导。）学生自主探究学习反证法，并解决生活实例。

（1）定义：

反证法：一般地，假设原命题不成立，（即在原命题的条件下，结论不成立），经过正确的推理,最后得出矛盾，因此说明假设错误,从而证明了原命题成立,这样的证明方法叫做反证法。

（2）步骤

反证法证题的基本步骤：

1．假设原命题的结论不成立；（假设）

2．从这个假设出发，经过正确的推理，推出矛盾；（归缪）

3．因此说明假设错误，从而证明了原命题成立.（结论）

三、例题讲解

例1 已知a≠0，证明x的方程ax=b有且只有一个根。

【设计意图】：解决某些结论与已知条件之间的联系不明确、直接由条件推出结论的线索不够清楚的问题，特别是证明唯一性问题时，往往采用反证法。

四、巩固训练：

1、“a＜b”的反设应是（ ）

（A）a≠＞b （B）a ＞b （C）a=b （D）a=b或a ＞b 2.用反证法证明命题“三角形中最多有一个是直角”时，应如何假设？

3.已知: △ABC中,AB=AC.求证:∠B<90°”.下面写出了用反证法证明这个命题过程中的四个推理步骤. (1)所以∠B+∠C+∠A>180°.这与三角形内角和定理相矛盾. (2)所以∠B<90°. (3)假设∠B≥90°. (4)那么,由AB=AC,得∠B=∠C≥90°.即∠B+∠C≥180°. 这四个步骤正确的顺序应是( ) A.(1)(2)(3)(4) C.(3)(4)(1)(2)

B.(3)(4)(2)(1) D.(4)(3)(2)(1) 4. 求证：2,3,5不可能成等差数列．

【设计意图】：侧重学生的“思”“探”“究”的自主学习,进一步体会反证法证明命题的思路方法及反证法证题的步骤，会用反证法证明简单的命题。

五、课堂小结：

反证法是从否定结论入手，经过一系列的逻辑推理，导出矛盾，从而说明原结论正确. 注意证明步骤和适应范围（“至多”、“至少”、“均是”、“不都”、“任何”、“唯一”等特征的问题）

六、课堂作业及自我提高

1. 课本P44页习题2.2A组：1题，3题

1补充：用反证法证明：如果x，那么x22x102

查找资料证明：2是无理数七、教学反思：

1、本课先巧用故事《路边苦李》引入，并以视频的形式呈现，激发了学生的学习兴趣，并从王戎判断“李为苦李”的过程中体会反证法的内涵。学生共同探讨总结出反证法的含义。这节课重点放在反证法的思想上，努力挖掘教学中蕴涵的思维价值，培养学生的逆向思维能力。

2、“用教材教，而不是教教材”，针对学生特点，将教材的例题和习题重组，尽量满足不同思维层次学生的需求。

3、来源于生活实际，又回到生活中，强调了数学应用意识。

4、不足之处：课堂语言不够精炼，一些问题诱导不到位，致使学生找不到准确的方向，自己的设计意图没有完整体现出来，所以以后要还努力提高对课堂教学的控制能力。另外，在组织讨论时应给足学生时间，不仅仅是为了讨论而讨论，学生应在讨论中体会问题的实质，并最终形成自己的认识，哪怕是很肤浅的认识。