1.3 二项式定理（通用）教学内容分析

《二项式定理》第一课时教学设计

授课班级：高二（5）班

授课教师：李顺林

授课时间：2018.4.28

一、教学设计

1. 教学内容解析

二项式定理是初中乘法公式的推广，是排列组合知识的具体运用，尤其是组合数公式的应用，是学习后一章“随机变量及其分布”的基础。通过二项式定理的学习，要求学生掌握“猜想-归纳-论证”的数学思想，同时在求展开式、其通项、证恒等式等方面形成技能；进一步体会过程分析与特殊化方法等的运用。本节课起到了承上启下的作用，是对之前所学计数原理的巩固，也是对之后随机变量及其分布作铺垫。

2.学生学情分析

二项式定理是初中学习的多项式乘法的继续，它所研究的是一类特殊的多项式，表现为二项式的乘方的展开式，也是解决某些整除、近似计算等问题的重要方法之一。学生在初中是以多项式的乘法展开为载体，从具体式子感知多项式的展开。学生进入高中一年多的数学学习后，在数学符号化、公理化、抽象化等方面得到了有效的锻炼，逻辑推理能力、转化与化归等数学思想方法得到了训练，特别是，前一节学习了计数原理后，对该节课推导二项式定理奠定了基础。从学生现阶段的思维特点分析，大部分学生解决(ab)n展开式采用的是的不完全归纳法(猜想)，与初中学习的多项式的展开结合起来，从(ab)、(ab)2、(ab)3、(ab)4……的展开式的形式特点等方面进行类比，教师可以因势利导，让学生体会从一般到特殊的数学思想方法？

3．教学策略分析

考虑到本节课要让学生在以下几个方面得到收获：一是掌握二项式定理的推导过程；二是基础知识，准确理解数学概念（项、项的系数、二项式系数、通项公式等），并能灵活运用数学思想方法；三是“猜想—证明——归纳”的一般规律及方法。基于学生的认知基础和现阶段的数学思维水平，故本节课从学生已有的认知作为出发点，先让学生计算(ab)2?

(ab)3?

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……在计算过程中激发学生去思考更有效的方法解决该问题。采(ab)?用了数学探究式教学模式组织教学，在解决简单具体问题的基础上，抽象出解决一般问题的方法，让学生亲身经历“提出问题—解决问题—总结规律”，培养学生独立思考、自主探索、合作交流的学习意识和习惯。

在教学过程中，设置“创设问题情境，因疑惑而激趣——亲身体验，探索新知——合作探究，总结规律——典型例题分析——强化训练，巩固提升”让学生体会研究问题的方式方法，培养学生观察、分析概括的能力。

教学中教师充分发挥主导作用，营造民主、平等、和谐、积极的课堂氛围，充分调动学生学习的积极性，以数学问题情境为立足点，为学生自主探索、合作交流提供足够的时间和空间，放手让学生独立思考，大胆实践，在已有知识和经

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验的基础上主动建构。并由此获得成功的体验，激发学生学习数学的兴趣和学好数学的信心。

4．教学目标设置

知识与技能：

(1)理解并掌握二项式定理，能利组合思想证明二项式定理； (2)能利用通项公式求某一项的系数。

过程与方法： 通过学生参与和探究二项式定理的形成过程，培养学生观察、分析、概括的能力，以及化归的意识与方法迁移的能力，体会从特殊到一般的思维方式。

情感、态度与价值观：

培养学生的自主探究意识，合作精神，体验二项式定理的发现和创造历程，体会数学语言的简洁和严谨。

教学重点：用计数原理分析(ab)2、(ab)3的展开式，推导二项式定理；

教学难点：利用计数原理分析二项式的展开过程，发现二项式形成单项式之和时各项系数的规律。

二、教学过程

1.创设问题情境，因疑惑而激趣

某人投资10万元，有两种获利的可能供选择.一种是年利率12%，按单利计算，10年后收回本金和利息.另一种是年利率10%，按每年复利一次计算，10年后收回本金和利息. 试问，哪一种投资更有利？

本金10万元，年利率12%，按单利计算，10年后的本利和是10×(1＋12%×10)＝22(万元)；

本金10万元，年利率10%，按每年复利一次计算，10年后的本利和是10×(1＋10%)10. 那么如何计算(1＋10%)10的值呢？能否在不借助计算器的情况下，快速、准确地求出其近似值呢？这就得研究形如(a＋b)n的展开式即本节课我们将学习的二项式定理. 【教师巡视2分钟，观察学生的完成情况，提问，板书，引入本节】

教师：请同学们计算下面3个题：

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(ab)

(ab)2?

(ab)??【观察学生反应：部分学生用初中方法埋头苦干，部分学生停下演算静静的思考……，教师引导，启发】

【说明：学生i(i1,2,3....)表示预设学生可能回答或提出的问题】

学生1：(ab)4就是4个(ab)相乘，计算有点麻烦，要算到什么时候！

学生2：我们应该寻求一个能代表这些式子的一个通式。

学生3：就像数列的通项公式吗？

……

【设计意图：鼓励学生大胆猜想是教学生数学思考问题的开始，也许学生的

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猜想没有道理，甚至是错误的，但问题意识的种子却已在他们的头脑生根，慢慢发芽……】

学生4：研究这三个式子展开式的规律，得到一般的规律。

学生5：一般情形下，当nN时，(ab)n等于多少？

……

教师：同学们很聪明啊！那么，研究规律的最终目的是想得到什么结论？今天，就让我们来探究、发现二项式定理的过程。

教师板书：二项式定理：(ab)n?

【设计意图】从学生的认知水平出发设置问题情境，在困惑中激发学生思考解决问题方法，让多数学生能动手动脑，不仅能激发学生学习数学的兴趣，更是调动学生学习新知识的积极性。

2.亲身体验，探索新知

教师：接下来我们来研究这个问题，应该从哪里入手呢？

学生6：从上面的特殊情况入手，研究、发现它们展开后的规律，再推广到这种一般情况。

（预设：学生应该能观察出展开式中项的规律，若观察不出来，教师适当点拨。）

说明：教师分析(ab)2

展开式每一项特征，并师生共同归纳出其表达式；(ab)3，(ab)4由学生独立思考并展示。

3.合作探究，总结规律

问题：一般情形下，当nN时，(ab)n等于多少？

【说明】学生小组讨论，归纳并总结。时间是2分钟。

0n1n1rnrrnn【多媒体展示】(ab)nCnaCnabCnabCnb

（1）

共有n1项；

012kn（2）

二项式系数：Cn、Cn、Cn、．．．、Cn、．．．、Cn；

rnrr通项：TCab

r1n（3）

（4）

注意区分项，项的系数，二项式系数这三个概念。

【设计意图】通过小组合作学习，加强师生、生生之间的交流。充分体现教

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师主导学生主体地位，学生深层次的参考与到课堂学习，成为课堂的主人，加深对所得结论的理解，培养学生自主、合作、交流的能力；让学生在探索过程中，充分感受到成功的情感体验，做到吕传汉教授提出的“教思考、教体验、教表达”。

4.典型例题分析

5展开（12x)例1：. 【要求】学生3分钟自主完成，然后教师投影展示部分学生成果；

5若展开（12x)呢？

【追问】（点评：方法的优化有助于解决问题的“精、准、简”，不断的追问强化了学生对容易混淆知识点理解）

反思与感悟

展开二项式根据二项式的通项进行展开即 (ab)n的展开式通项Tk1Cnankbk

例2 求(x2)的展开式中x3的系数及第3项的二次项系数、系数. k1x9【要求】学生3分钟自主完成，然后教师提问，了解情况；

反思与感悟

(1)要注意展开式的第k＋1项，对应于二项式系数Ck(2)要注意一个二项展开n；式的某一项的二项式系数与这一项的系数是两个不同的概念.有时相等，有时不相等，它们之间没有必然的联系. 跟踪训练2

(1)(1＋2x)7的展开式的第几项的二项式系数等于35?

小结：二项式定理： 0n1n1knkknn(ab)n(ab)nCnaCnabCnabCnb (ab)n的展开式通项Tnkk

ab的特点：Ck1nk①项数：共n+1项,是关于a与b的齐次多项式

②指数:a的指数从n逐项递减到0,是降幂排列；

b的指数从0逐项递增到n，是升幂排列。

1）注意二项式定理

中二项展开式的特征

2）区别二项式系数，项的系数

3）掌握用通项公式求二项式系数，项的系数及项

kn－kk4）要牢记Cnab是展开式的第k＋1项，不要误认为是第k项.

课后作业：

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1.(3b＋2a)6的展开式中的第3项的系数为

，二项式系数为

. 2.二项式(x＋y)5的展开式中，含x2y3的项的系数是

.(用数字作答) 3.求2x－16的展开式. x

五、教学反思

1、教学设计中，设置了“创设问题情境，因疑惑而激趣—亲身体验，探索新知—合作探究，总结规律—典型例题分析—强化训练，巩固提升”五个环节层层深入，环环相扣，充分体现师学、生生的交流互动，在教师主导下，学生通过动手、动眼、动脑，经历了知识的形成和发展过程。

2、以“问题”为红线，促进学生深层次参与课堂学习。本节课在精心设置问题驱动下，学生对知识和方法的探究由表及里，逐步深入。以“问题”为主线组织教学活动，引导学生提出问题并解决问题是教学成败的关键。教学实验表明，学生能否提出问题不仅受其数学基础、生活经历等的影响。本节课由简单的两个问题(ab)2?，(ab)3?开始，接着在(ab)4?乃至(ab)n?的困惑下，激发学生去思考新的方法解决这个新问题。问题①展开式中各种类型的项是如何得到的？②展开式中各项的系数是如何确定的？引领学生直至解决问题的核心。在教学各个环节中以问题为主线，引导学生在不断的提出问题与解决问题过程中，领悟科学探索精神，适时的启发学生揭示问题的数学实质，从而促进学生深层次的参与课堂活动。

3、让课堂“动起来，静下去”，

使得学生获得能力提升。

本节课遵循“兴趣与能力的同步发展规律”和“教、学、研互相促进的规律”，教学中追求简易，重视直观，注重推理能力的训练，尽量创造学习环境，让学生学得生动主动，充分发挥其课堂上的主体作用。

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