2.1.2 演绎推理优质课教案整理

2．1.2

演绎推理教学设计

整体设计

教材分析

《演绎推理》是高中数学中的基本思维过程，是根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式，是正确进行逻辑推理必不可少的基础知识，是高考热点．演绎推理具有证明结论、整理和构建知识体系的作用，是公理体系中的基本推理方法．本节内容相对比较抽象，教学中应紧密结合已学过的生活实例和数学实例，让学生了解演绎推理的含义，并在上一节学习的基础上，了解合情推理与演绎推理之间的联系与差异，同时纠正推理过程中可能犯的典型错误，增强学生的好奇心，激发出潜在的创造力，使学生能正确应用合情推理和演绎推理去进行一些简单的推理，证明一些数学结论．

课时划分

1课时．

教学目标

1．知识与技能目标

了解演绎推理的含义，了解合情推理与演绎推理之间的联系与差别，能正确地运用演绎推理，进行简单的推理．

2．过程与方法目标

了解和体会演绎推理在日常生活和学习中的应用，培养学生的逻辑推理能力，使学生学会观察，大胆猜想，敢于归纳、挖掘其中所包含的推理思路和思想；明确演绎推理的基本过程，提高学生的创新能力．

3．情感、态度与价值观

通过本节课的学习，体验推理源于实践，又应用于实践的思想，激发学生学习的兴趣，培养学生勇于探索、创新的个性品质．

重点难点

重点：正确地运用演绎推理进行简单的推理证明．

难点：了解合情推理与演绎推理之间的联系与差别．

教学过程

引入新课

观察与思考：新学期开始了，班里换了新的老师，他们是林老师、王老师和吴老师，三位老师分别教语文、数学、英语．

已知：每个老师只教一门课；

林老师上课全用汉语；

英语老师是一个学生的哥哥；

吴老师是一位女教师，她比数学老师活泼．

问：三位老师各上什么课？

活动设计：让学生带着浓厚的兴趣，先独立思考，然后小组交流．

引导分析：启发学生把自己的思考过程借助于下列表格展示出来，从而解决问题．

林老师

王老师

吴老师

注意与学生交流．

学情预测：开始学生的回答可能不全面、不准确，但在其他学生的不断补充、纠正下，会趋于准确．

活动结果：林老师——数学，王老师——英语，吴老师——语文．

设计意图

本着“兴趣是最好的老师”的原则，结合生活中具体的实例，激发学生学习的兴趣，让学生体会“数学来源于生活”，创造和谐积极的学习气氛，体会演绎推理的现实意义．

语文

数学

英语

探究新知

判断下列推理是合情推理吗？分析推理过程，明确它们的推理形式．

(1)所有的金属都能导电，铜是金属，所以，铜能够导电．

(2)一切奇数都不能被2整除，(2100＋1)是奇数，所以，(2100＋1)不能被2整除．

(3)三角函数都是周期函数，tanα是三角函数，所以，tanα是周期函数．

活动设计：学生口答，教师板书．

学情预测：学生积极思考片刻，有学生举手回答且回答准确．

活动结果：以上推理不是合情推理，它们的推理形式如下：

(1)所有的金属都能导电，铜是金属，第二段

第一段

所以，铜能够导电．第三段

第一段

(2)一切奇数都不能被2整除，(2100＋1)是奇数，第二段

所以，(2100＋1)不能被2整除．(3)三角函数都是周期函数，tanα是三角函数，第二段

第三段

第一段

所以，tanα是周期函数．第三段

提出问题：对于上面的三个推理，它们的推理形式有什么特点？

活动设计：学生独立思考，并自由发言．

学情预测：通过观察和分析，学生有足够的能力来解决上面所提问题．

活动结果：上面的例子都有三段，是以一般的判断为前提，得出一些个别的、具体的判断：(1)所有的金属都能导电，铜是金属，小前提

结论

大前提

大前提

所以，铜能够导电．(2)一切奇数都不能被2整除，(2100＋1)是奇数，小前提

所以，(2100＋1)不能被2整除．(3)三角函数都是周期函数，tanα是三角函数，小前提

结论

结论

大前提

所以，tanα是周期函数．教师：演绎推理的定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理称为演绎推理．

1．演绎推理是由一般到特殊的推理；

2．“三段论”是演绎推理的一般模式，包括

(1)大前提——已知的一般原理；

(2)小前提——所研究的特殊情况；

(3)结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．

设计意图

通过对演绎推理概念的学习，体会以“三段论”模式来说明演绎推理的特点，从中概括出演绎推理的推理过程，对演绎推理是一般到特殊的推理有一个直观的认识，训练和培养学生的演绎推理能力．

理解新知

提出问题：在应用“三段论”进行推理的过程中，得到的推理结论一定正确吗？为什么？

例如：(1)所有阔叶植物都是落叶的，葡萄树是阔叶植物，所以，葡萄树都是落叶的．

(2)因为所有边长都相等的凸多边形是正多边形，而菱形是所有边长都相等的凸多边形，所以菱形是正多边形．

(3)英雄难过美人关，我难过美人关，所以，我是英雄．

活动设计：学生独立思考，先有学生自由发言，然后教师小结并形成新知．

学情预测：学生们在积极思考，对(2)(3)两个小题的结论产生分歧，意见不统一．

活动结果：(1)推理形式正确，前提正确，结论正确．

(2)推理形式正确，大前提错误，结论错误．

(3)推理形式错误(大、小前提没有连接起来)，结论错误．

教师：通过上面的学习，学生们对演绎推理和“三段论”模式都有了更深的了解，其中特别注意：(1)三段论的基本格式

M—P(M是P)

(大前提) S—M(S是M)

(小前提) S—P(S是P)

(结论) (2)三段论推理的依据，用集合的观点来理解：若集合M的所有元素都具有性质P，S是M的一个子集，那么S中所有元素也都具有性质P. (3)在演绎推理中，只有前提和推理形式都正确，结论才是正确的．

设计意图

通过所举的例子，教师可以了解学生对演绎推理和三段论模式的理解程度，明确概念的内涵和外延，加深理解，及时更正学生在认识推理中产生的错误和偏差．

提出问题：合情推理与演绎推理有什么区别与联系？

活动设计：学生独立思考，先由学生自由发言，然后教师小结并形成新知．

活动结果：

归纳推理

推理形式

区别

推理结论

合情推理

演绎推理

类比推理

由特殊到特殊的推由一般到特殊的推理

别到一般的推理

理

在大前提、小前提和推理形式结论不一定正确，有待进一步证明

都正确的前提下，得到的结论一定正确

由部分到整体、个联系

合情推理的结论需要演绎推理的验证，而演绎推理的方向和思路一般是通过合情推理获得的

设计意图

通过比较合情推理与演绎推理的区别与联系，有助于学生更清晰地理解和掌握这两种推理方法，并能灵活应用．

运用新知

例1如图，在锐角三角形ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，D，E是垂足，求证：AB的中点M到D，E的距离相等．

思路分析：根据三段论的推理过程进行证明．

证明：(1)因为有一个内角是直角的三角形是直角三角形，——大前提

在△ABC中，AD⊥BC，即∠ADB＝90°，——小前提

所以△ABD是直角三角形．——结论

(2)因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，——大前提

因为DM是直角三角形ABD斜边上的中线，——小前提

1所以DM＝AB.——结论

21同理EM＝AB.所以DM＝EM. 2点评：通过对上述问题的证明，挖掘其中包含的推理思路，使学生明确演绎推理的基本过程，突出演绎推理中的“大前提”“小前提”和“结论”．

巩固练习

由①正方形的对角线相等；②平行四边形的对角线相等；③正方形是平行四边形，根据“三段论”推理得出一个结论，则这个结论是(

) A．正方形的对角线相等

B．平行四边形的对角线相等

C．正方形是平行四边形

D．其他

答案：A 例2证明函数f(x)＝－x2＋2x在(－∞，1)内是增函数．

思路分析：证明本例所依据的大前提是：在某个区间(a，b)内，如果f′(x)>0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增．

小前提是f(x)＝－x2＋2x在(－∞，1)内有f′(x)>0，这是证明本例的关键．

证明：f′(x)＝－2x＋2，因为当x∈(－∞，1)时，有1－x>0，

所以f′(x)＝－2x＋2＝2(1－x)>0，

于是，根据“三段论”，可知f(x)＝－x2＋2x在(－∞，1)内是增函数．

点评：通过对上述问题的证明，挖掘其中包含的推理思路，使学生明确演绎推理的基本过程，并加深对演绎推理的认识．

教师：许多学生能写出证明过程，但不一定非常清楚证明的逻辑规则，因此在表述证明过程时往往显得杂乱无章，通过这两个例子的教学，应当使这种状况得到改善．

变练演编

bb＋m(1)已知a，b，m均为正实数，且b

1＋

思路分析：(1)中根据演绎推理的证明过程进行证明；(2)中不必证明，答案不唯一．

证明：(1)不等式两边乘以同一个正数，不等式仍成立，——大前提

b0，——小前提

所以mb

不等式两边加上同一个数，不等式仍成立，——大前提

mb

所以ab＋mb

不等式两边除以同一个正数，不等式仍成立，——大前提

b(a＋m)0，——小前提

ba＋mab＋mbb＋m所以，<，即<.——结论

aa＋maa＋maa＋ma＋bc＋bca(2)<(答案不唯一，例如<)．

1＋c1＋a＋b1＋a1＋c＋b点评：通过证明(1)中不等式成立，感知条件与结论的不唯一性，例如：已知a，b，maa＋m均为正实数，若a

bb＋m活动设计：学生讨论交流并回答问题，老师对不同的合理答案给予肯定，将所有发现的结论一一列举，并由学生予以评价．

设计意图

通过变练演编，使学生对演绎推理的认识不断加深，同时培养学生逻辑思维的严谨性．

达标检测

1．下列表述正确的是(

) ①归纳推理是由部分到整体的推理；②归纳推理是由一般到一般的推理；③演绎推理是由一般到特殊的推理；④类比推理是由特殊到一般的推理；⑤类比推理是由特殊到特殊的推理．

A．①②③

B．②③④

C．②④⑤

D．①③⑤

2．有这样一段演绎推理“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”，结论显然是错误的，是因为(

) A．大前提错误

B．小前提错误

C．推理形式错误

D．非以上错误

3．有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面，则平行于平面内的所有直线；已知直线平面α，直线平面α，直线b∥平面α，则直线b∥直线a”，结论显然是错误的，这是因为(

) A．大前提错误

B．小前提错误

C．推理形式错误

D．非以上错误

答案：1.D

2.C

3.A

课堂小结

1．知识收获：

(1)演绎推理的定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理称为演绎推理．演绎推理是由一般到特殊的推理．

(2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括

大前提——已知的一般原理；

小前提——所研究的特殊情况；

结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．

2．方法收获：利用演绎推理判断进行证明的方法与步骤：

①找出大前提；②找出小前提；③根据“三段论”推出结论．

3．思维收获：培养和训练学生严谨缜密的逻辑思维．

布置作业

课本本节练习1、2、3.

补充练习

基础练习

1．把“函数y＝x2＋x＋1的图象是一条抛物线”恢复成三段论．

2．下面说法正确的有(

) (1)演绎推理是由一般到特殊的推理；(2)演绎推理得到的结论一定是正确的；(3)演绎推理的一般模式是“三段论”形式；(4)演绎推理的结论的正误与大前提、小前提和推理形式有关．

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

3．下列几种推理过程是演绎推理的是(

) A．5和22可以比较大小

B．由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质

C．东升高中高二年级有15个班，1班有51人，2班有53人，3班有52人，由此推测各班都超过50人

D．预测股票走势图

4．已知△ABC，∠A＝30°，∠B＝60°，求证：a

∴a

) A．大前提

B．小前提

C．结论

D．三段论

5．用演绎推理法证明y＝x是增函数时的大前提是______．

答案：1.解：二次函数的图象是一条抛物线(大前提)，函数y＝x2＋x＋1是二次函数(小前提)，所以，函数y＝x2＋x＋1的图象是一条抛物线(结论)．

2．C

3.A

4.B

5.增函数的定义

拓展练习

6．S为△ABC所在平面外一点，SA⊥平面ABC，平面SAB⊥平面SBC.求证：AB⊥BC. 证明：如图，作AE⊥SB于E.

∵平面SAB⊥平面SBC，∴AE⊥平面SBC，

∴AE⊥BC. 又∵SA⊥平面ABC，∴SA⊥BC. ∵SA∩AE＝A，SA

平面SAB，AE

平面SAB，

∴BC⊥平面SAB. ∵AB

平面SAB，∴AB⊥BC. 设计说明

由于这节课概念性、理论性较强，一般的教学方式会使学生感到枯燥乏味，为此，激发学生的学习兴趣是上好本节课的关键．教学中始终要注意以学生为主，让学生在自我思考、相互交流中去总结概念“下定义”，去体会概念的本质属性．

学生对于演绎推理和三段论的理解，需要经过一定时间的体会，先给出学生常见问题的解决步骤，结合以前所学的知识来解决问题，在教学中经常借助这些概念表达、阐述和分析问题．

引导学生从日常生活中的推理问题出发，激发学生的学习兴趣，结合学生熟知的旧知识归纳新知识，同时在应用新知的过程中，将所学的知识条理化，使学生的认知结构更趋于合理．

备课资料

例1小王、小刘、小张参加了今年的高考，考完后在一起议论．

小王说：“我肯定考上重点大学．”

小刘说：“重点大学我是考不上了．”

小张说：“要是不论重点不重点，我考上肯定没问题．”

发榜结果表明，三人中考取重点大学、一般大学和没考上大学的各有一个，并且他们三个人的预言只有一个人是对的，另外两个人的预言都同事实恰好相反．可见(

) A．小王没考上，小刘考上一般大学，小张考上重点大学

B．小王考上一般大学，小刘没考上，小张考上重点大学

C．小王没考上，小刘考上重点大学，小张考上一般大学

D．小王考上一般大学，小刘考上重点大学，小张没考上

解析：根据推理知识得出结论．

答案：C 例2已知直线l、m，平面α、β，且l⊥α，m∥β，给出下列四个命题：

(1)若α∥β，则l⊥m；(2)若l⊥m，则α∥β；(3)若α⊥β，则l∥m；(4)若l∥m，则α⊥β.

其中正确命题的个数是(

) A．1

B．2

C．3

D．4 解析：根据演绎推理的定义，逐一判断结论的正误．

由直线和平面、平面和平面平行和垂直的判定定理、性质定理，可知应选B. 答案：B 点评：以准确、完整地理解条件为基础，才能判断命题的正误．

例3函数y＝f(x)在(0,2)上是增函数，函数y＝f(x＋2)是偶函数，则f(1)，f(2.5)，f(3.5)的大小关系是______．

解析：根据函数的性质进行判断．

∵函数y＝f(x)在(0,2)上是增函数，

∴0＜x＋2＜2，即－2＜x＜0. ∴函数y＝f(x＋2)在(－2,0)上是增函数．

又∵函数y＝f(x＋2)是偶函数，

∴函数y＝f(x＋2)在(0,2)上是减函数．

由图象可得f(2.5)>f(1)>f(3.5)．

故应填f(2.5)>f(1)>f(3.5)．

答案：f(2.5)>f(1)>f(3.5)

点评：根据函数的基本性质，结合三段论的推理模式可得．

例4已知lg2＝m，计算lg0.8. 分析：利用所学的推理知识解决问题．

解：lgan＝nlga(a>0)，——大前提

lg8＝lg23，——小前提

lg8＝3lg2.——结论

lgab＝lga－lgb(a>0，b>0)，——大前提

lg0.8＝lg810，——小前提

所以lg0.8＝lg8－1＝3lg2－1＝3m－1.——结论

点评：找出三段论的大前提与小前提即可得到答案．

设计者：李效三 2018年5月22日星期二