阅读与思考 九连环优秀教案板书设计

九连环

一、学情分析

活动对象为高中生，处于这个年龄阶段的学生，喜欢探索新事物，勇于挑战，愿意动手；同时也具备一定的知识和能力，但缺少展现自我，动手的机会。这堂课正好创设了这样的机会和条件，从而提高了学生解决问题的能力。

二、教学目标

知识与技能：（1）理解用化归、递归、类比、函数等思想解决九连环计数问题的方法；（2）能在具体问题情景中发现数列的递推关系.

过程与方法：（1）经历动手操作、探索规则、提出问题、建立模型、解决问题、方法应用的学习过程；（2）体会求解过程中的化归、递归、类比、函数、归纳等思想方法.

情感态度与价值观：（1）通过了解九连环的历史，让学生感受到我国古代数学成就，激发学生的民族自豪感；（2）通过学生课前、课内、课后自主、合作探究的学习方式，培养学生问题意识，提高学生思维能力，孕育学生创新精神；（3）通过九连环计数数列使学生感受到数列是反映现实生活的数学模型，体会数学源于实践并应用于实践.

教具：九连环

重难点：（1）掌握通过递推公式求解通项公式的基本方法；（2）解九连环的方法与技巧以及数学相关的思想和方法

活动方法：教师师范讲解、学生分组合作、自主探究学习、互助交流

三、教学过程

（1）、简单介绍九连环的历史

九连环的历史非常悠久，早在两千多年前的西汉战国时期就有玉连环的出现，史书《战国策·齐策六》一书中就有记载。古典小说《红楼梦》一书第七回中就有林黛玉巧解九连环的描写。

（2）、认识九连环的结构

九连环主要由九个圆环及框架组成。每一个圆环上都连有一个直杆，各直杆在后一个圆环内穿过，九个直杆的另一端用板或圆环相对固定住。圆环在框架上可以解下或套上。

（3）、了解九连环的玩法

玩九连环就是要把这九个圆环全部从框架上解下或套上。但无论是解下还是套上圆环，都有遵循一定的规则，即一般地，要解下或套上第N个环，必须满足两个条件：

1.

第N-1个环在架子上；

2.

第N-1个环前所有的环都不在架子上，即：后一个环要解下或套上，则它的前面有且只有一个与它相邻的环。（注：一二两个环可以同时解下或套上）

每一个环的上法：从杆的中间上穿并从手柄的顶端套入

每一个环的下法：从杆的顶端解套并从手柄的中间下放

（4）、N连环的探究

用K（n）表示解下或套上n个圆环所需的最少移动次数，那么K（1）、

K（2）

、K（3）、K（4）分别是多少？（只要套上或解下一个圆环算一步）

解下次数

套上次数

解下过程

套上过程

K（1）

K（2）

K（3）

K（4）

得出解N连环的结论：n连环的解下和套上是一对可逆的过程。解下n个圆环和套上n个圆环所需的次数相同。

解九连环，需要解下第九个环，而要解下第九个环，则第八个环在架上，且前七环全部不在架上，问题转化成解七连环，而要解七连环，先解五连环，以此类推，所以必须先解下第一环。

（5）、九连环与数列的关系

解开九连环，最少需要上下移动圆环多少次呢？

不妨考虑n个圆环的情况。用K（n）表示解下n个圆环所需的最少移动次数，再用H（n）表示前n-1个圆环都已经解下后，再解下第n个圆环所需的次数。

若要解下第n个圆环，就必须先解下前n-2个圆环，需K（n-2）次，然后再移动1次即可将第n个圆环解下，则只剩下第n-1个圆环，解下第n-1个圆环需H（n-1）次，则

K（n）=K（n-2）+1+H（n-1）

H（n）表示前n-1个圆环都已经解下后，再解下第n个圆环所需的次数

接下来求H（n）的表达式

由前面显然可知，若要将第n个圆环解下，必修先将第n-1个圆环套回架子，这个过程需

H（n-1）次，这时再移动1次，就可以解下第n个圆环，然后再将第n-1个圆环解下，又需H（n-1）次，所以可得H（n）=2H（n-1）+1，又H（1）=1

则H（n）=2［2H（n-2）+1］+1

….

=

接下来求K（n）的公式

①

当n为偶数时，

=

…

②当n为奇数时，

=…

用K（n）表示解下n个圆环所需的最少上下移动次数

所以，解九连环最少需要上下移动圆环341次

（四）、课堂小结

解九连环的好处

1.培养和锻炼注意力、耐心与信心

2.提高逻辑思维能力

3.减压

4.体会化归与转化的数学思想方法