三 反证法与放缩法优质课教案

反证法与放缩法的教学设计

湖南省永州市一中 白炜

一、内容和内容解析：

推理与证明是数学的基本思维过程，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式。反证法是继前面学习完推理后的证明方法中的一种间接证明问题的基本方法，它弥补了直接证明的不足，完善了证明方法，有利于培养学生的逆向思维能力。让学生在动脑思考、动手证明的过程中体会反证法的思维过程，这类问题的求解策略是：原结论中的关键字眼“至少”、“至多”、“不大于”、“不小于”、“不都是”、“不全是”等，帮助学生建立应用反证法的感觉。

放缩法证明不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能。这类问题的求解策略是

：通过多角度观察所给不等式的结构，深入剖析其特征，对某部分的放大或缩小（通常是应用公式），来证明不等式。

反证法与放缩法往往都在选做题中第二题、导数题中以压轴形式出现，或成为各级各类的竞赛命题的极好素材，试题的难度大，要求高，有利于培养学生辨析能力，并逐步培养学生的分析分析问题和解决问题的能力。

二、学生学习情况分析

反证法在选修2-2中的推理与证明时学过，学生基本能掌握常规的证明思路，但难在不能很快地推出矛盾的方向。放缩法，难在放缩到恰到好处或不明确有效合理的构造性进行放缩。

三、设计思想

建构主义学习理论认为，建构就是认知结构的组建，一般是引导学生在现有的知识经验的基础上，从实际问题出发，发现问题，思考如何解决问题，进而联系所学知识，探索其规律或新知识的有关概念或定义的形成，把知识点按照逻辑线索和内在联系，串成知识线，，再由若干知知识线形成知识面，最后由知识面按照其内容、性质等关系形成综合的知识体。也就是以学生为主体，强调学生对知识的主动探索、主动发现以及学生对所学知识意义的主动建构。

小组合作探究性学习是指在课堂上分组学习，以小组为单位，通过分工合作，互相交流，充分发挥小组的合作，调动每个层次学生的积极性，从而获得知识的学习方式。

基于以上理论，本节课遵循引导发现，循序渐进的思路，采用探究式教学，运用多媒体希尔教学平台进行教学，倡导“自主、合作、探究”的学习方式。

四、教学目标

知识与能力：

通过实例，培养学生用反证法证明简单问题的推理技能和证明过程，以及放缩法证明不等式的原理，进一步培养学生的观察能力、分析能力、逻辑思维能力及解决问题的能力。

过程与方法：

掌握反证法证题的基本步骤，掌握放缩法适度的放缩能力，会用反证法和放缩法证明简单的命题

情感、态度、价值观：

在观察、合作、探索、推理等过程中，体验数学活动充满探索性、创造性、挑战性；渗透事物之间都是相互对立、相互矛盾、相互转化的辩证唯物主义思想以及培养学生善于观察、敢于创新、勇于探索和挑战的良好习惯和严谨的科学态度。

五、教学重点：

反证法与放缩法的逻辑过程及逻辑思维方法。

六、教学难点：

根据问题的特点，选择适当的证明方法及反证法、放缩法的应用。

七、教学过程：

探究一：反证法的证明步骤及定义：

（一）、情景导入：

王戎7岁时，与小伙伴们外出游玩，看到路边的李树上结满了果子。小伙伴们纷纷去摘取果子，只有王戎站在原地不动。有人问王戎为什么？

王戎回答说“树在道边而多子，此必苦李”，小伙伴摘取了一个尝了一下果然是苦李。

1、小组讨论：王戎是怎样知道李子是苦的呢？他运用了怎样的推理方法？

2、学生回答后，教师点评后进一步归纳：

假设李子是甜的

那么李子会被过路人摘去解渴，树上的李子会很少。

事实上树上李子很多，这与事实相矛盾。

造成矛盾的原因是：假设李子是甜的，这个假设是错误的，说明原来的结论：路边的李子是苦的是正确的

3、小组合作讨论：这种证明方法与前面的证明方法不同，让学生自己归纳反证法证明的步骤，以及反证法的定义。

4、反证法的步骤：（1）假设命题不成立；（2）依据假设推理论证；（3）推出矛盾以说明假设不成立；（4）得出结论断定原命题成立。

5、反证法的定义：先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件（或已证明的定理、性质、明显成立的事实等）矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立，我们把它称为反证法

6、并要求学生大声阅读教材第26页：反证法的定义。

例1：已知x,y>0,且x+y>2.证明：1x,1y

中至少有一个小于2。

yx1、小组讨论：

由已知能直接推出结论么？如果不能进行分类讨论，情况复杂么？如果复

杂我们将如何处理？

2、教师点评：

分析：1）、要证的结论与条件之间联系不明显，直接由条件推出结论的线索不

够清晰。

2）、如果从正面证明，需要对某一个分式小于2等进行

分类讨论，分类较多而复杂。

3）、而从反面证明，则只要对两个分式都不小于2是不可能的即可。

3、规范解答：

证明：假设1x,1y都不小于2，即1x2，且1y2yxyx

因为x,y>0,所以1+x≥2y,且1+y≥2x

把这两个不等式相加，得2+x+y≥2(x+y)

即x+y≤2，这与x+y>2矛盾。

因此，

1x1y,yx

都不小于2是不可能的，即原命题成立。

小组讨论与归纳：使用反证法从字面上看基本是哪些“字眼”？

原词

至少有一个

至多有一个

都是

不都是

全

否定词

一个也没有

至少有两个

不都是

都是

不全

1式训练1：设0

证明：（1-a)b,(1-b)c,(1-c)a不能都大于

4

小组讨论：

1、如何假设？

2、由假设我们得到的式子有什么特点？3、学生主动上讲台解答，师生共同点评。

111（1-a)b，（1-b)c，（1-c)a2、规范解答：证明：假4441（-c三式连乘得：

1

-

a

)

b

（

1

-

b

)

c

（

1

)

a



①

64设

111aa1（1-a)a1-b)b（,1-c)c，同理（4424（1-a)a（1-b)b（1-c)c2164三式连乘得：

1（1-a)b（1-b)c（1-c)a

②

64

所以，①与②矛盾，故假设不成立。原命题成立。

二、放缩法：

1、定义：通过把不等式中的某些部分的值放大或缩小，简化不等式，从而达到证明的目的，我们把这种方法称为放缩

2、共同阅读。

探究二：如何进行恰当的放缩

例2、已知a,b,cϵR+,求证：1abcd2

abdbcacdbdac小组讨论并分析：四个式子通分相加显然很复杂，如何进行放大或缩小？

规范解答：

证明：因为a,b,c,d都是整数，所以aaabaa,abcdabdababcdbcaab

cccddd,abcdcdbcdabcddacdc把以上四个不等式相加得：abcdabcdabcd

abcdabdbcacdbdacabcdabcd2

所以：1abdbcacdbdac

小结：放缩法常见技巧：

1、基本不等式、绝对值三角不等式、柯西不等式进行放缩；

2、添（减）项放缩；3、先放缩，后裂项（或先裂项再放缩）

4、糖水不等式放缩：

6、逐项放大或缩小：(抓通项公式）

1112n12; nn(n1)n(n1)nn(n1)21111

;(2n1)2(2n3)(2n1)(2n1)2(2n1)(2n1)111; 2nn12(2n1)2n(2n2)nbbm

; 5、构造函数应用单调性进行放缩

aam变式训练2：用放缩法证明：

11111n1-22...2(n2,3,4,...)2n123nn

小组pk:使用哪一组公式进行放缩？学生在课堂内完成，抽2名学生的作业用投影展示点评：

规范解答：

11111--(n2,3,4,...)nn1n2n1n1112(n2,3,4,...)n(n1)nn(n1)11111111111111（-）（-）（)22...2(1)()()(n2,3,4,...)2334nn123n223n1n

所以

探究点三：用绝对值不等式及构造函数应用单调性进行放缩证明

例3：已知a,b是实数，求证：11111n1-22...2(n2,3,4,...)2n123nnabab

1ab1a1b小组pk：

左边式子含有ab，右边式子含有a，b，由此你联想到了什么公式

进行放缩？从而问题等价于什么？

学生回答：绝对值三角不等式：0abab

从而问题等价于简单？

学生回答：先证明右边，再证明左边。

规范解答：

ababab，引导学生发现证明哪一边更1ab1ab1a1bababab证明：0abab，①

1ab1ab1ab1a1babab11②

1-11ab1ab1ab1ab由①②及不等式的传递性可知：abab。

1ab1a1b另：关于不等式f(x)abab

的证明，可以通过构造函数1ab1abx,x0,

1xx,x0,是增函数，由0abab就能得到1x即只要证明：函数f(x)上式

的成立。

小结：反证法：注意关键词。放缩法：注意相关公式。

课时作业：第46页。

七、教学反思：

课后通过对教学过程的反思与研究，才能不断完善教学设计中的不足，才能提升教材分析的能力和课堂教学实效。

1、通过活动课的开展改变了“反证法无法推出矛盾，放缩法不能进行恰当的放缩”现象，学生参与意识强，兴致勃勃。

2、活动课的开展关键是问题要设计得富有启发性、有代表性，能给学生一定的思维空间，学生可以用简单的语言来表述或根据已有知识进行基本的解释及进行

评价；讨论的问题要考虑学生的心理特点、接受能力、知识水平。本节课通过学生的讨论、探究，成功地加强了学生自主学习的目的，激发了学生学习数学的兴趣。

3、多元展示，多方评价，对学生所作练习、疑问及时解析，引导学生之间、小组之间相互评价补充，使学生共享成果分享喜悦，坚定了学好数学的信念，实现了预期目标。

4、创造性地使用教材，有别于教材，引导学生开展深刻的讨论、分析、归纳，从心理学、学生学识及认知能力上很成功训练了学生，学生课后反馈效果很理想。