正弦、余弦、正切函数的简单应用教学实录

正弦、余弦、正切的简单应用

教学目标：

1、理解锐角三角函数的定义。

2、利用锐角三角函数和直角三角形，体会数形结合、转化的数学思想在生活中的应用。

3、培养学生探究、合作意识，增强他们的好奇心、求知欲和自信心。

教学重难点：

1、理解锐角三角函数的定义。

2、利用锐角三角函数和直角三角形，体会数形结合、转化的数学思想在实际生活中的应用。

教学过程：

一、课时导入

源于生活的数学：两个一样长的梯子，摆放的位置角度不同，你能比较哪个更陡吗？

下面图1和图2中各有一个比较陡的梯子，你能把它们找出来吗？说说你的理由。

同一梯子的坡度与放置角度（倾斜角）、垂直高度和水平宽度它们之间有什么关系？

小结1：梯子越陡，倾斜角

。倾斜角越大，垂直高度与梯子长的比

。倾斜角越大，水平宽度与梯子长的比

。倾斜角越大，垂直高度与水平宽度的比

。

二、感悟新知

知识点1：正弦、余弦、正切函数的定义

（1）作一个30°的∠A(图1-2)，在角的边上任意取一点B,作BC丄AC于点C.计算

BCACBC,,ABABAC的值，并将所得的结果与你的同伴所得的结果作比较.

（2）作一个50°的∠A(图1-3)，在角的边上任意取一点B,作

BC丄AC于点C.量出AB , AC，BC的长(精确到1mm)，计

算

BCACBC,,ABABAC的值(精确到0.01)，

并将所得的结果与你的同伴所得的结果作比较. 通过上面两个实践操作，你发现了什么？

（3）如图l-4，B,B1是∠α一边上的任意两点，作BC丄AC于

点C, B1C1丄AC1于点C1判断比值

BCACAC1BCBCBC1与11,与,与ABAB1ABAB1ACAC11

是否相等，并说明理由.

小结2：如图所示，在

Rt△ABC中，如果锐角∠A确定，那么∠A的对边与斜边的比、

邻边与斜边的比、对边与邻边的比也随之确定．

正弦：∠A的对边与

的比叫做∠A的正弦，记做sin A，即

sin A＝

，如图所示，sin A＝

．

余弦：∠A的

与斜边的比叫做∠A的余弦，记做cos A，即cos A＝

，

如图所示，cos A＝

．

正切：∠A的

与∠A的邻边的比叫做∠A的正切，记做tan A，即

tan＝

，

如图所示，tan A＝

.

例1 如图

1-6,在

Rt△ABC 中，∠C=Rt∠，AB = 5,BC=3. 求∠A 的

正弦、余弦和正切.

练习1 1.把Rt△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍，则锐角A的正弦函数值(

)

A．不变

B．缩小为原来的⅓

C．扩大为原来的3倍

D．不能确定

2.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，

BC

＝5，则sin A的值为(

)

A.5/12

B.12/5

C.

12/13

D.5/13

3.已知Rt△ABC∽Rt△A′B′C′，∠C＝∠C′＝90°, 且AB＝2A′B′，则sinA与sinA′的关系为(

) A．sinA＝2sinA′

B．sinA＝sinA′

C．2sinA＝sinA′

D．不能确定

4.在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AB＝5，那么cos A的值等于(

)

A.3/4

B. 4/3

C. 3/5

D.4/5 5.在△ABC中，若三边BC,CA,AB满足BC:CA:AB=5：12：13，则cos B的值是(

)

A.5/12

B. 12/5

C.5/13

D.12/13 6.如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，若BD∶CD＝3∶2，则tan B＝

(

)

32A.

2

B.

3

C.

62

D.63

知识点2：正弦、余弦、正切函数的应用

例2

在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝200，sinA＝0.6，求BC的长. 例3

在Rt△ABC中，∠C＝90°，tan B＝32

，

BC＝

23

，则AC等于(

)

A．3

B．4

C．5

D．6 练习2：

1.在△ABC中，AB＝AC＝5，sin∠ABC＝0.8，则BC ＝

．

2.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为斜边AB上的

高，若BC＝4，sinA＝

，则BD的长为

．

3.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，cosB＝

，则BC的长为

．

小结3：

求锐角的正弦值的方法：

1．没有直接给出对边或斜边的题目，一般先根据勾股定理求出所需的边长,再求正弦值．

2．没有给出图形的题目，一般应根据题目，画出符合题意的图形，弄清所求角的对边与斜边，再求对边与斜边的比．

3．题目中给出的角不在直角三角形中，应先构造直角三角形再求解．

三、延伸新知

知识点3：同角三角函数间的关系

1.同角的正弦、余弦、正切的关系：同角的正弦与余弦值的比等于该角的正切值，即tan A=

。在Rt△ABC中，∠C=90°，a,b,c分别是∠A，∠B，∠C的对边，则sin A=

。cos A=

∴tan A=

2.同角的正弦与余弦间的关系：sin 2A＋cos 2A＝

(0°<∠A<90°)．

例4

在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝4/5 ，则cos B的值等于(

) A.3/5

B.4/5

C.3/4

D.55

小结4：本题考查了互余两角的正弦值、余弦值之间的关系．或者利用设参数法，也就是设三角形的斜边长是5k，一条直角边长是4k，利用勾股定理求出另一条直角边的长度，从而得出结果．

练习3: 1.在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝3/5 ，则cosA＝

．

2.在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝5/13 ，则tanB的值为(

) A. 12/13

B. 5/12

C. 13/12

D.12/5 四、课堂小结

求锐角的三角函数值的三种方法：

1．在直角三角形里，确定各个边，根据定义直接求出．

2．利用相似、全等等关系，寻找与所求角相等的角

(若该角的三角函数值知道或者易求)．

3．利用互余的两个角间的特殊关系求．

同角三角函数间的关系：

sin 2A＋cos 2A＝

1 (0°<∠A<90°)．

4.求锐角三角函数时,勾股定理的运用是很重要的.

cosAsinBtanAtanB1sinAcosB∠A+∠B=90°