正投影教学设计思路

第29章

《29.1投影》教学设计

课题：29.1投影

科目：初中数学

教学对象：八年级 课时：1课时 提供者：字笔文

单位：云南省大理州云龙县宝丰初级中学

教学模式介绍：

数学的核心素养包括数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析．这些数学学科素养既相对独立，又互相交融，是一个有机的整体．核心素养下的教学设计是利用设计好的核心问题在课堂中培养学生的数学核心素质，重视学生在学习活动中的主体地位，让学生在积极参与学习活动的过程中得到发展．教师创设情境设计问题，或通过富有启发性的讲授，或引导学生独立思考、自主探索、合作交流，组织学生操作实验、观察现象、提出猜想、推理论证等，有效地启发学生思考，使学生成为学习的主体，学会学习．课堂教学中，要注重让学生理解和掌握数学的基础知识和基本技能，让学生感悟数学思想，积累数学活动经验，在学习数学和应用数学的过程中，发展数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析等数学学科核心素养，让学生能与他人建立良好关系，有效地管理自己的学习、生活，能够发掘

自身潜力，战胜学习数学中的困难，让学生能够适应未来社会、进行终身学习，实现全面发展．

设计思路说明：

本节课内容从学生熟悉的生活实际出发，先引出物体投影的有关概念，接着通过举例根据编排需求把本课内容分成两大目标导学：日常生活的变化；交通、通信的变化。对其逐一进行讲解，以整体宏观的角度让学生去感知教材，最大限度地去调动学生，把学习的主动权交给学生。

教师在讲解到中国外交新发展情况问题的时候可以运用“传递-接受”模式教学，可以结合近几年中国交通发展的腾飞，以及学生身边从小到大所发生的变化，抛出问题，激发学生学习新课知识的兴趣，在此基础上教师讲授新课知识内容，让学生对新课知识进行巩固练习和运用，从而达到隔一段时间复习旧知识，减轻学生对旧知识的遗忘程度。

始至终贯穿着“变”字，多样性、多视角、多层次、多形式地为学生的学习创造条件，有助于学生学习能力的提高和个性的健康发展，为学生以后的学习和发展提供了很好的帮助。

说明和观察图片等活动，使学生认识中心投影和平行投影的区别和联系，最后将重点放在对平行投影中有关物体正投影规律的探索中．

本节课的教学设计，力求突出具体、生动、直观，学生多以观察实物模型和图片等活动为主，通过观察铁丝、正方形纸板在不同位置时的正投影特征，归纳出物体正投影的一般规律，并能根据此规律画出简单平面图形的正投影．通过讲解投影的原理，并利用其来绘制投影面上的平行投影或中心投影的过程，提高学生对投影的认识别以及绘制能力，发展学生的空间观念．通过交流和讨论感受投影在生产、生活中的作用．

《29.1 投影》

教学目标

1．了解投影的有关概念，能根据光线的方向辨认物体的投影．

2．了解平行投影和中心投影的区别．

3．了解物体正投影的含义，能根据正投影的性质画出简单平面图形的正投影．

4．通过对物体投影的学习，使学生学会关注生活中有关投影的数学问题，提高数学的应用意识．

学习重点

了解平行投影、中心投影、正投影的含义，能根据正投影的性质画出简单平面图形的正投影．

教学难点

归纳正投影的性质，正确画出简单平面图形的正投影．

学习准备

手电筒、三角尺、作图工具等．

教学过程

一、寻疑之自主学习

1．活动

设问：你注意观察过周围物体在日光或灯光下的影子吗？影子与物体有着怎样的联系呢？教师展示实物及图片，学生观察、思考，感知物体与投影之间的关系．

[来源:学科网ZXXK]

学生讨论、发表观点；教师归纳．

总结出投影、投影线、投影面的概念．

总结：一般地，用光线照射物体，在某个平面上，得到的影子叫做物体的投影，

照射光线叫做投影线，投影所在的平面叫做投影面．

2．理解平行投影、中心投影及正投影的意义

由平行光线形成的投影是平行投影．

由同一点发出的光线形成的投影叫做中心投影．

投影线

垂直于

投影面产生的投影叫做正投影．

[注意] (1)在实际制图中，经常采用正投影．

(2)当物体的某个面平行于投影面时，这个面的正投影与这个面的形状、大小完全相同．

(3)阳光下同一时刻不同物体及影长与光线构成的三角形相似．

3．通过自主练习寻找疑问

(1)下列现象属于平行投影的是( C ) A．皮影

B．灯光下的手影

C．太阳光下房屋的影子

D．台灯下铅笔的影子

(2)在同一时刻，小明的影子比小强的影子长，那么在同一路灯下( D ) A．小明的影子比小强的影子长

B．小明的影子比小强的影子短

C．小明和小强的影子一样长

D．无法判断谁的影子长

(3)把下列物体与它们的投影用线连接起来：

(4)以下四幅图的情形中，表示两棵小树在同一时刻阳光下的影子的是( D )

(5)下面四幅图是两个物体不同时刻在太阳光下的影子，按照时间的先后顺序正确的是( C )

A．①→②→③→④

B．④→②→③→①

C．③→④→①→②

D．①→③→②→④

(6)如图是圆桌正上方的灯泡(看作一个点)发出的光线照射桌面后，在地面上形成阴影(圆形)的示意图．已知桌面的直径是1.2m，桌面距离地面1m，若灯泡距离地面3m，则地面上阴影部分的面积是(

B

) A．0.36pm2 C．2pm2

B．0.81pm2 D．3.24pm2

(7)在同一时刻，两根长度不等的竿子置于阳光之下，但它们的影长相等，那么这两根竿子的相对位置是( C

) A．两根都垂直于地面

B．两根平行斜插在地上

C．两根竿子不平行

D．一根倒在地上

二、解惑之例题解析

例1

下图是两棵小树在同一时刻的影子.请你在图中画出形成树影的光线．

解：它们是灯光的光线．图如下：

例2

学习投影后，小明、小颖利用灯光下自己的影子长度来测量一路灯的高度，并探究影子长度的变化规律．如图，在同一时刻，身高为1．60m的小明(AB)的影子BC长是3m，而小颖(EH)刚好在路灯灯泡的正下方H点，并测得HB=6m．(1)请在图中画出形成影子的光线，并确定路灯灯泡所在的位置G；(2)求路灯灯泡的垂直高度GH；

解：1．图略

CHGH

31.69GH（2）由题意可知△ABC∽△GHC

CBAB

解得GH=4.8m 例3

如图，把一块正方形硬纸板P（例如正方形ABCD）放在三个不同的位置：

（1）纸板平行于投影面；

（2）纸板倾斜于投影面；

（3）纸板垂直于投影面．

通过观察、测量可知

（1）当纸板P平行于投影面Q时，P的正投影与纸板P的形状、大小一样；

（2）当纸板P倾斜于投影面Q时，P的正投影与纸板

P的

形状、大小发生变化

；

（3）当纸板P垂直于投影面Q时，P的正投影成为_一条线段．

例4 ：画出如图摆放的正方体在投影面P上的正投影．

（1）正方体的一个面ABCD平行于投影面P （2）正方体的一个面ABCD倾斜于投影面P，上底面ADEF垂直于投影面D P．

D F P，并且上底面的对角线AE垂直于投影面A A E

B C G B C [解析]（1）当正方体如图的位置时，正方体的一个面ABCD及与其相对的另一面与投影面平行，这两个面的正投影是与正方体的一个面的形状、大小完全相同的正方形A′B′C′D′．正方形A′B′C′D′的四条边分别是正方体其余四个面（这些面垂直于投影面）的投影．因此，正方体的正投影是一个正方形．

（2）当正方体在如图的位置时，它的面ABCD和面ABGF倾斜于投影面，它们的投影分别是矩形A′B′C′D′和A′B′G′F′；正方体其余两个侧面的投影也分别是上述矩形；上、下地面的投影分别是线段D′F′和C′

G′．因此，正方体的投影是矩形F′G′C′D′，其中线段A′B′把矩形一分为二．

解：图略

三、【尝试之知识巩固】

1．小乐用一块长方形硬纸板在阳光下做投影实验，通过观察，发现这块长方形硬纸板在平整的地面上不可能出现的投影(

A

) A．三角形

B．线段

C．矩形

D．正方形

2．下列投影中，是正投影的有

③④⑤

．(只填序号)

3．球的正投影是( A

)．

A．圆面

B．椭圆面

C．点

D．圆环

4．当投影线由上到下照射水杯时，如图所示，那么水杯的正投影是(

D

5．地面上直立一根标杆AB，如图，杆长为2 m．

(1)当阳光垂直照射地面时，标杆在地面上的投影是什么图形？

(2)当阳光与地面的倾斜角为60°时，标杆在地面上的投影是什么图形？

解：(1)点

)

(2)当阳光与地面的倾斜角为60°时，标杆在地面上的投影是一条线段

6．如图，一条线段AB在平面β中的正投影为A′B′，AB＝4 m，A′B′＝

，则线段AB与平面β的夹角为(

B

) A．45°

B．30°C．60°

D．以上均不对

7．小明希望测量出电线杆AB的高度，于是在阳光明媚的一天，他在电线杆旁的点D处立一标杆CD，使标杆的影子DE与电线杆的影子BE部分重叠(即点E，D，B在同一直线上)，量得ED＝2米，DB＝4米，CD＝1.5米，则电线杆AB＝_ 4.5米

_．

8．如图，晚上小亮在路灯下散步，他从A处向着路灯柱方向径直走到B处，这一过程中他在该路灯灯光下的影子(

) A．逐渐变短

B．逐渐变长

C．先变短后变长

D．先变长后变短

四、培优之达标测试

1．画出下图中各木杆在灯光下的影子

23m

2．下列说法正确的是( B )

解：

A．正投影是中心投影的一种特例

B．

正投影是平行投影的一种特例

C．正投影既不是平行投影又不是中心投影行投影就是正投影

3．如图，是由两个相同的小正方体和一个圆锥体组成的立体图形，光线从上往下照射这个几何体，所得到的正投影是(

C

)

4．如图所示，把正方体的一个顶点朝上立放，在它下面放一张白纸，使纸面与太阳光线垂直，则正方体在纸上投影的影子是(

C

)

5．如图，如果在阳光下你的身影的方向是北偏东60°方向，那么太阳相对于你的方向是(

A

) A．南偏西60°

B．南偏西30°

C．北偏东60°

D．北偏东30°

6．在一间黑屋子里用一只白炽灯照一个球，当球沿垂直方向下落，那么它的影子( B

) A．始终是一个不变的圆

B．是一个由大变小的圆

C．是一个由小变大的圆

D．变成一个点

7．已知，如图，AB和DE是直立在地面上的两根立柱，AB＝5 m，某一时刻AB在阳光下的投影BC＝3 m．

(1)请你在图中画出此时DE在阳光下的投影；

(2)在测量AB的投影时，同时测量出DE在阳光下的投影长为6 m，请你计算DE的长．

ABDEBCEF5DE36

解：（1）

(2)∵AC∥DF，△ABC∽△DEF

∴DE＝10m 8．如图，是半径为5 cm的皮球置于玻璃杯口上的正投影面，请你设法计算出玻璃杯的内径．

解：由题意知，DB是玻璃杯内径，过球心O作DB的垂线交DB于点E，连接OB ∵OB＝5cm

OE＝20－12－5＝3(cm)

五、课堂小结：

1．一般地，用光线照射物体，在某个平面上，得到的影子叫做物体的投影，

照射光线叫做投影线，投影所在的平面叫做投影面．

2．理解平行投影、中心投影及正投影的意义

由平行光线形成的投影是平行投影．

由同一点发出的光线形成的投影叫做中心投影．

投影线

垂直于

投影面产生的投影叫做正投影．

[注意] (1)在实际制图中，经常采用正投影．

(2)当物体的某个面平行于投影面时，这个面的正投影与这个面的形状、大小完全相同．

(3)阳光下同一时刻不同物体及影长与光线构成的三角形相似．

六、作业设置：

小明想利用太阳光测量楼高，他带着皮尺来到一栋楼下，发现对面墙上有这栋楼的影子，针对这种情况，他设计了一种测量方案，具体测量情况如下：

如示意图，小明边移动边观察，发现站到点E处时，可以使自己落在墙上的影子与这栋楼落在墙上的影子重叠，且高度恰好相同．此时，测得小明落在墙上的影子高度CD＝1.2 m，CE＝0.8 m，CA＝30 m(点A，E，C在同一直线上)．

已知小明的身高EF是1.7 m，请你帮小明求出楼高AB(结果精确到0.1 m)．

DB2OB2OE2252328(cm)

七、自我反思：

八、本节课我的收获:

．

附作业答案

解：如图，过点D作DG⊥AB，分别交AB，EF于点G，H，则

EH＝AG＝CD＝1．2，

DH＝CE＝0.8，DG＝CA＝30．

∵EF∥AB，

∴FHDH＝．

BGDG0.50.8＝，解得BG＝18.75．

BG30

由题意，知FH＝EF－EH＝1．7－1.2＝0.5．

∴∴AB＝BG＋AG＝18.75＋1.2＝19.95≈20.0，

∴楼高AB约为20.0米．