一 数学归纳法教学目标

数学归纳法

袁莉

教学目标

1、知识和技能目标

(1)了解数学推理的常用方法（归纳法）

(2)了解数学归纳法的原理及使用范围。

(3)初步掌握数学归纳法证题的两个步骤和一个结论。

(4)会用数学归纳法证明一些简单的等式问题。

2、过程与方法目标

通过对归纳法的复习，说明不完全归纳法的弊端，通过多米诺骨牌实验引出数学归纳法的原理，使学生理解理论与实际的辨证关系。在学习中培养学生探索发现问题、提出问题的意识，解决问题和数学交流的能力,学会用总结、归纳、演绎类比探求新知识。

3.情感态度价值观目标

通过对问题的探究活动，亲历知识的构建过程，领悟其中所蕴涵的数学思想；体验探索中挫折的艰辛和成功的快乐，感悟“数学美”，激发学习热情，培养他们手脑并用，多思勤练的好习惯和勇于探索的治学精神。初步形成正确的数学观，创新意识和科学精神。

教学重点和难点

教学重点：（1）使学生理解数学归纳法的实质

。

（2）掌握数学归纳法证题步骤,尤其是递推步骤中归纳假设和恒等变换的运用。 教学难点：

（1）数学归纳法的原理；

教学方法：讲授法、引导发现法、类比探究法、讲练结合法

教学过程：

（一）复习引入

问题（1）袋中有5个小球，如何证明它们都是红色的？（完全归纳法）

问题（2）某人站在学校门口，看到连续有20个男生进入学校，于是深有感触的说这个学校的学生都是男生。（不完全归纳法）

（二）新课讲解

1、多米诺骨牌实验

要使所有的多米诺骨牌一一倒下？需要几个步骤才能做到？

（1）第一张牌被推倒 （奠基作用）

（2）任意一张牌倒下必须保证它的下一张牌倒下 （递推作用）

于是可以获得结论：多米诺骨牌会全部倒下。

例1、证明：2462nn(n1) (nN)

证明：（1）当n1时，左边=2，右边=2，等式成立。

（2）假设nk时等式成立，即246那么，当nk1时，

2462k2(k1)

2kk(k1)

k(k1)2(k1) (k1)(k2)

(k1)[(k1)1]所以，nk1时等式也成立。

由（1）和（2）可知，等式对于任何正整数n都成立。

2、归纳总结

数学归纳法证明步骤：

(1)验证当n取第一个值n0（如n0=1或2时）命题正确。

(2)假设当nk时(kN,kn0)命题正确，证明nk1时命题也正确。

3．基础反馈

①用数学归纳法证明：1aaa2n11an2a1,nN在验证1a2n=1成立时，左边计算所得的结果是（ C ）

A．1

B.1a

C．1aa

D.1aa11k1k22a3

②用数学归纳法证明命题时，假设Sk那么 Sk1SK1(kN) 2k111

2k12k2k1③判断下面的证明过程是否正确，如果不正确错在哪？

n(n1)(2n1)(nN)

证明：122232n26(11)(21)1等式成立

证明：（1）当n1时，左边=1，右边=6（2）假设当nk时等式成立即

122232k2k(k1)(2k1)

6n(n1)(2n1)n2得

6当nk1时代入122232122232k2(k1)2(k1)(k2)(2k3)

6(k1)(k1)12(k1)16所以当nk1时等式成立

由（1）和（2）可知等式对一切正整数均成立。

（三）、课堂小结

（1）理解数学归纳法的原理

（2）数学归纳法的两个步骤缺一不可，前者是基础，后者是递推依据，最终给出结论。

（3）数学归纳法主要应用于解决与正整数有关的数学问题。

（四）、作业 : P37 2 P39 1

（五）、课后练习及探究: 练习：P37 (1)、(3) 探究：下面是某同学用数学归纳法证明命题

111n1223n(n1)n1的过程，你认为他的证法正确吗？为什么？ 1111 等式成立

证明：（1）当

n1时 左边= 右边122112（2）假设当nk时命题成立即

1112231kk(k1)k1 111那么nk1时, 左边(1)()223(11)

k1k211k=右边

k2(k1)1 即nk1时命题成立

由（1）和（2）知，对一切自然数命题均成立。

课后反思

1.数学归纳法是一种用于证明与自然数n有关的命题的正确性的证明方法．它的操作步骤简单、明确，教学重点不应该是方法的应用．我认为不能把教学过程当作方法的灌输，技能的操练．为此，我设想强化数学归纳法产生过程的教学，把数学归纳法的产生寓于对归纳法的分析、认识当中，为使用它打下良好的基础，而且可以强化归纳思想的教学，这不仅是对中学数学中以演绎思想为主的教学的重要补充，也是引导学生发展创新能力的良机．

2．在教学方法上，这里运用了在教师指导下的师生共同讨论、探索的方法．目的是加强学生对教学过程的参与．为了使这种参与有一定的智能度，教师应做好发动、组织、引导和点拨．学生的思维参与往往是从问题开始的，本节课按照思维次序编排了一系列问题，让学生投入到思维活动中来，把本节课的研究内容置于问题之中，在逐渐展开中，引导学生用已学的知识、方法予以解决，并获得知识体系的更新与拓展．

3．运用数学归纳法证明与正整数有关的数学命题，两个步骤缺一不可．理解数学归纳法中的递推思想，尤其要注意其中第二步，证明n＝k＋1命题成立时必须要用到n＝k时命题成立这个条件．这些内容都将放在下一课时完成，这种理解不仅使我们能够正确认识数学归纳法的原理与本质，也为证明过程中第二步的设计指明了思维方向．