一 数学归纳法名师教学设计1

§2.3 数学归纳法（第一课时）

【教学目标】

知识与技能：

1.了解由归纳法得出的结论具有不可靠性, 理解数学归纳法的原理与本质; 2.掌握数学归纳法证题的两个步骤及其简单应用；

3.培养学生观察、探究、分析、论证的能力, 体会类比的数学思想．

过程与方法: 1.创设情境，激发学生学习兴趣，让学生体验知识的发生与发展过程; 2.通过对数学归纳法的学习、应用，逐步体验观察、归纳、猜想、论证的过程，培养学生严谨的逻辑推理意识，并初步掌握论证方法; 3.通过发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的过程，培养学生创新能力. 情感、态度与价值观；

1.通过对数学归纳法原理的探究，培养学生严谨的科学态度和勇于探索的精神；

2.通过对数学归纳法原理和本质的讨论，培养学生团结协作的精神；

3.通过置疑与探究，培养学生独立的人格与敢于创新的精神；

【教学重点】归纳法意义的认识和数学归纳法产生过程的分析，初步理解数学归纳法的原理并能简单应用。

【教学难点】数学归纳法中递推的思想的理解，初步明确用数学归纳法证明命题的两个步骤。

【教学方法】师生互动讨论、共同探究的方法。

【教学过程】

一、教学引入

1、中国古代笑话

大家应该都听说过这样一则笑话：过去有个财主不识字，请了一位老师来教儿子。老师教他写字，写上一划时，老师告诉他这是“一”字；写上二划时，告诉他这是“二”字；三划就是“三”字。财主的儿子听了，扔下笔高兴得跳起来说：“识字很简单，何必要请老师呢！”财主听从儿子的话，就把老师辞退了”。隔了几天，财主请一位姓万的朋友来家吃饭，叫儿子写个请柬。财主的儿子一早就动笔写，大半天还没有写成。财主着急得很，接连去催他。财主的儿

子很不耐烦地嘟嚷着说：“姓啥不好，偏偏要姓万。我从早上到现在，才写了五百多划哩。”

2、引入“归纳法”

我们在笑财主儿子傻的同时，应该注意到这是种由一系列特殊事例得出一般的结论的方法，也就是归纳法。归纳法包括完全归纳法与不完全归纳法。所谓完全归纳法，就是将事件的所有可能情形一一考察过去，然后再下结论，这个结论当然是可靠的。而象财主儿子那样，仅由“一二三”的写法规律就得到了一般数字的写法，那就是不完全归纳法。

不完全归纳法得出的结论不一定是正确的。我们不妨再看一例：

关于自然n的函数f(n)=(n-1)(n-2)(n-3)…(n-10000)

有f(1)=f(2)=f(3)=…=f(10000)=0成立，能否推出f(n)=0?

（显然是不能的!因为显然有f(10001)≠0）

（注：说明不完全归纳法得到的结论不正确，只需举出反例即可。）

下面我们一起来回忆这样一个问题：

等差数列的通项公式an=a1+(n-1)•d(n∈N*)是如何得来的? 由 a1=a1=a1+0•d a2=a1+d=a1+1•d a3=a2+d=a1+2•d a4=a3+d=a1+3•d

an=a1+(n-1)•d

其实我们在得出结论的过程中，并没有一一考察这个通项公式对所有自然数都成立，也就是说，我们采用的是不完全归纳法。那么这个结论正确吗?（正确）

那如何证明这个结论呢?象这样一个一个地验证下去，行不行? 我们的人生有限，而自然数集无限，此法绝对不行!那到底如何证明这个结论对于所有的自然数都成立呢? 二、启发、探究课题

1、多米诺骨牌游戏（多媒体展示）

问：要使骨牌全部倒下，必须具备这样一个条件：(板书)如果前一块倒了，它

就一定能推倒下一块!是不是保证这一点就够了呢? 结论：要使骨牌全部倒下，必须具备两个条件

(1)第一块一定要倒! (2)假如前一块(第K块)倒了，它就一定能推倒下一块(第K+1块)! 我们不妨将前一块记为第K块，那么它的下一块就是第K+1块。现在大家一起来

验证一下，有了这两个条件的保证，是否就能使所有骨牌从第一块开始全部倒下?由条件(1) ，第一块倒已成事实，这样一来，条件(2)中的假如第一块(K=1)倒就有了基础，也就能使它

的下一块，也就是第二块也倒下，接下来，又可在条件(2)中取K=2，第三块也必倒，……这样依次传递相推即递推下去，所有的骨牌就都可倒下。

现在，我们知道，一旦这里有许许多多块骨牌，我们就可用递推的方法，按照上述两个条件，完成一个场面非常壮观的游戏。大家能否从游戏中得到些启发，从而解决我们一开始提到的问题：如何证明一个命题对于所有自然数都成立!讨论讨论

2、结论：证明一个命题对于所有自然数都成立，需要两个条件：

(1)当n=1

(2)假如n=k(k∈N*且k≥1)时命题成立，那么一定可以推出n=k+1时命题也成立。

这样一来，我们就用递推的方法解决了如何证明一个命题对于一切的自然数都成立。命题在

n取第一个值时的正确性(此时，第一个值为1)得到验证后，n取其后每一个值时命题的正确性都必须依赖前一个n的取值。可见：第一步是递推的基础，而第二步是递推的依据。这种证明的方法也就是数学归纳法(揭示课题)。很明显，此法仅用两个步骤就达到了无限次验证的效果。下面我们就用

等差数列的通项公式an=a1+(n-1)•d(n∈N*)对于一切自然数都成立。

(板书：证明：(1)当n=1时，左边=a1，右边=a1，等式成立。

(2)假设当n=k时，等式成立，即ak=a1+(k-1)d

那么，当n=k+1时，ak+1=ak+d=a1+(k-1)•d+d=a1+k•d=a1+［(k+1)-1］•d

即当n=k+1

综合(1)、(2)，可知等式对于一切自然数成立。)

刚才我们用数学归纳法证明了等差数列的通项公式对于一切自然数都成立。事实上，有一些命题并不是对于所有的自然数都成立。例如，凸n边形的内角和=(n-2)•1800，这里的n≥3，那么，如何证明这个与自然数有关的命题成立呢?这里的k可取哪些值? 从上面的例子看出，用数学归纳法证明一个与自然数有关的命题的步骤是：

(1)（归纳奠基）证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立；

(2)（归纳递推）假设当n=k(k∈N*且k≥n0)时命题成立，证明当n=k+1时命题

完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于从n0开始的所有正整数n都成立。

三、例题讲解

例

用数学归纳法证明：1222n2n(n1)(2n1)(nN*)

6 证明：（1）当n=1时，左边=1，右边=1，等式成立；

（2）假设当n=k(k∈N*)等式成立，即

1222那么，1222k2k(k1)(2k1)

6k(k1)(2k1)k2(k1)2(k1)2

6k(k1)(2k1)6(k1)2(k1)(2k27k6) 

66(k1)(k2)(2k3)(k1)(k1)12(k1)1 

66即当n=k+1时等式也成立。

根据（1）和（2）可知等式对任何k∈N*都成立。

练习：用数学归纳法证明

（1）123n1n(n1)

2n(n1)2n3[]

2（2）132333

四

课堂小结：

1、归纳法是一种由特殊到一般的推理方法，它分为完全归纳法和不完全归纳法两种，而不完全归纳法得出的结论不一定具有可靠性，数学归纳法属于完全归纳法。

2、数学归纳法作为一种证明方法，其基本思想是递推思想，使用要点可归纳为：两个步骤一结论，递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉。五

课后作业：

习题2.3

A组

1（2）（3）