探究与发现 组合数的两个性质第二课时教学实录

1.2.1排列

(第一课时) —芜湖十二中章燕

教学目的：

1. 理解排列、排列数的概念，了解排列数公式的推导；

2. 能用“树型图”写出一个排列中所有的排列；

3．掌握排列数的计算公式，能用排列数公式进行计算

教学重点：排列、排列数的概念及排列数的计算

教学难点：排列数公式的推导

教学过程：

一、复习引入：

1分类计数原理：做一件事情，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有mn种不同的方法那么完成这件事共有Nm1m2mn种不同的方法

2.分步计数原理：做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，……，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事有Nm1m2mn种不同的方法

分类计数原理和分步计数原理,回答的都是有关做一件事的不同方法种数的问题,区别在于:分类计数原理针对的是“分类”问题,其中各种方法相互独立,每一种方法只属于某一类,用其中任何一种方法都可以做完这件事;分步计数原理针对的是“分步”问题,各个步骤中的方法相互依存,某一步骤中的每一种方法都只能做完这件事的一个步骤,只有各个步骤都完成才算做完这件事

应用两种原理解题: 1.分清要完成的事情是什么；

2.是分类完成还是分步完成,“类”间互相独立，“步”间互相联系；

3.有无特殊条件的限制

二、讲解新课：

11）问题：

问题1．2007年3月，我国15支中超俱乐部参加的2007年中超联赛将重燃战火，15支足球队将捉对厮杀，同学们能否计算出有多少场比赛？（比赛分主客场循环赛制）

问题2．从a,b,c,d这四个字母中，每次取出3个按顺序排成一列，共有多少

种不同的排法？

不同排法如下图所示：（方法指导-----枚举法）

abc bac cab dab abd bad cad dac acb bca cba dba acd bcd cbd dbc adb bda cda dca adc bdc cdb dcb

2）归纳：这两个问题有什么共性？（共性：从若干个不同元素中，任取一些元素按一定的顺序排成一列，一共有多少种不同的排列方法？）

2．1）排列的概念：

从n个不同元素中，任取m（mn）个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．．．．．．．．．

2）辩析：

一种号码锁有4个拨号盘，每个拨号盘上有从0到9共10个数字，这4个拨号盘可以组成多少个四位数字号码？

上述问题是不是排列问题？

注意：我们所研究的排列问题，是不同元素的排列，这里既没有重复元素，也没有重复抽取相同的元素．

例1: 下列问题是排列问题吗？

（1）从1，2，3，4四个数字中，任选两个做加法，其不同结果有多少种？

（不是排列）

（2）从1，2，3，4四个数字中，任选两个做除法，其不同结果有多少种？

（是排列）

（3）有10个车站，共需要准备多少种车票？ （是排列）

（4）有10个车站，共有多少种不同的票价？

（不是排列）

（5）从1到20十个自然数中任取两个组成点的坐标，可得多少个不同的点的坐标？（是排列）

说明：（1）排列的定义包括两个方面：①取出元素，②按一定的顺序排列；

“一定的顺序”就是与位置有关，这也是判断一个问题是不是排列问题的重要标志。

（2）两个排列相同的条件：①元素完全相同，②元素的排列顺序也相同

3．排列数的定义：

从n个不同元素中，任取m（mn）个元素的所有排列的个数叫做从n个元素中取出m元素的排列数，用符号An表示

m

注意区别排列和排列数的不同：“一个排列”是指：从n个不同元素中，任取m个元素按照一定的顺序排成一列，不是数；“排列数”是指从n个不同元．．．．．m素中，任取m（mn）个元素的所有排列的个数，是一个数所以符号An只表示排列数，而不表示具体的排列

4．排列数公式及其推导：

2由An的意义：假定有排好顺序的2个空位，从n个元素a1,a2,an中任取2个元素去填空，一个空位填一个元素，每一种填法就得到一个排列，反过来，任一个排列总可以由这样的一种填法得到，因此，2所有不同的填法的种数就是排列数An．由分步计数原理完成上述填空共有2n(n1)种填法，∴An=n(n1)

33由此，求An可以按依次填3个空位来考虑，∴An=n(n1)(n2)，

mm求An以按依次填m个空位来考虑Ann(n1)(n2)(nm1)，

排列数公式：

mAnn(n1)(n2)(nm1)（m,nN,mn）

说明：（1）公式特征：第一个因数是n，后面每一个因数比它前面一个

少1，最后一个因数是nm1，共有m个因数；

（2）全排列：当nm时即n个不同元素全部取出的一个排列

n全排列数：Ann(n1)(n2)21n!（叫做n的阶乘）

三、讲解范例：

364例1．（课本P102）计算：（1）A16； （2）A6； （3）A6．

m例2．（1）若An17161554，则n ，m ．

(68n)(69n)用排列数符号表示 ．

5（2）若nN,则(55n)(56n)例3．（1）5人站成一排照相，共有多少种不同的站法？A5

（3）（课本P103例2）某年全国足球甲级（A组）联赛共有14队参加，每队都要与其余各队在主客场分别比赛1次，共进行多少场比赛？

四、课堂练习：

书P105页：1，2，4，7，8，

五、小结

：

排列问题，是取出m个元素后，还要按一定的顺序排成一列，取出同样的m个元素，只要排列顺序不同，就视为完成这件事的两种不同的方法（两个不同的排列）．

由排列的定义可知，排列与元素的顺序有关，也就是说与位置有关的问题才能归结为排列问题．

当元素较少时，可以根据排列的意义写出所有的排列．（枚举法）

六、课后作业：

书P27页

习题1.2

1、4、5、6、

七．教学反思

排列与组合这个内容不仅是学习概率的基础，而且也是日常生活中应用比较广泛的数学知识，同时也是发展学生抽象能力和逻辑思维能力的好素材。课前对教材中的教学内容经过了较为精心的思考与设计，在用好教材原有内容的基础上，把教学设计成适合学生思考探究的，培养学生的探究意识、动手实践和激发学生的学习兴趣，训练学生思维能力的教学过程。