1.3 二项式定理（通用）优质教案设计

《二项式定理（一）》的教学设计

一、教学目标

1、知识与技能：

（1）理解二项式定理是代数乘法公式的推广；

（2）理解并掌握二项式定理，能利用组合思想证明二项式定理． 2、过程与方法：

通过学生参与和探究二项式定理的形成过程，培养学生观察、猜想、归纳的能力，以及学生的化归意识与方法迁移的能力，体会从特殊到一般的思维方式． 3、情感、态度与价值观：

培养学生的自主探究意识，合作精神，体验二项式定理的发现和创造的过程，体会数学语言的简洁和严谨．

二、学情分析

学生具有一般的归纳推理能力，学生思维较活跃，但创新思维能力较弱。在学习过程中，大部分学生只重视定理、公式的结论，而不重视其形成过程。

三、教学内容分析

二项式定理安排在高中数学选修2-3第三节,是排列组合内容后的一部分内容，其形成过程是组合知识的应用，同时也是自成体系的知识块，为随后学习的概率知识及概率与统计，作知识上的铺垫。二项展开式与多项式乘法有密切的联系，本节知识的学习，必然从更广的视角和更高的层次来审视初中学习的关于多项式变形的知识。运用二项式定理可以解决一些比较典型的数学问题，例如近似计算、整除问题、不等式的证明等。 四、教学重点、难点

重点：用组合思想分析(ab)2、(ab)3的展开式，得到二项式定理．

难点：用组合思想分析二项式的展开过程，发现二项式展开成单项式之和时各项系数的规律．

五、教学手段

制作多媒体课件，提高学生的兴趣，使学生加深对定理、概念的理解． 六、课型：新授课．

七、教学过程

（一）数学文化，引入课题

在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中最早出现。在欧洲，帕斯卡（1623----1662）在1654年发现这一规律，所以这个表又叫做帕斯卡三角形。帕斯卡的发现比杨辉要迟约393年，比贾宪迟约600年。杨辉三角是中国数学史上的一个伟大成就。

二项式定理研究的是(ab)n的展开式,那么(ab)n的展开式是什么呢

【设计意图】用数学文化，引出课题，对学生进行爱国主义教育，培养学生的民族自豪感,明确本课题要解决的问题，激发学生的认知的冲突，让学生明白(ab)n实质上是多项式的乘法．

（二）引导探究，发现规律

初中我们学习了多项式的乘法，如（ab）(cd)acadbcbd，

(ab)2=（ab）(ab)a22abb2

4事实上（ab）abababab

【问题1】：有几项？

【问题2】：展开式中各项字母的形式是什么？

【问题3】：展开式中项的次数是什么？

【问题4】：怎么得到a项，ab项，ab项，ab项，b项？

【问题5】：能否用学过的组合知识分析这个问题？

由多项式乘法知，其展开式的每一项是由4个(ab)各取一项相乘而得，故每一项都是432234a4kbk(k01，，2,3,4)形式，即a4，a3b，a2b2，ab3，b4．各项系数是由相同的项合并而成，有几项其系数就是几，故

4kk4当k0时，aba，是由4个(ab)中都不选b得到的，相当于从4个(ab)中取0个b（即都取a）的组合数C4，因此a只有1个，系数为：C4；

4kk3当k1时，abab，是由三个(ab)中选a，另一个(ab)中选b得到的，由于040b选定后，a的选法也随之确定，因此，a3b出现的次数相当于从4个(ab)中取1个b的组

11合数，即ab共有C4个，系数为：C4；

3同理可分析出其他各项系数．

0413222344从而可得：(ab)4C4aC4abC4abC4ab3C4b

【问题6】仿照上述过程，你能用组合的思想分析出(ab)n的展开式吗？

【设计意图】通过几个问题的层层递进，引导学生用组合思想对(ab)4的展开式进行再思考，分析各项的形成，项的个数，这也为推导(ab)n的展开式提供了一种方法，使学生在后续的学习过程中有“法”可依．

（三）形成定理，说理证明

【问题7】(ab)的展开式又是怎样的呢？

引导学生回答：可以对b分类：取0个b,取1个b,取2个b,…,取k个b,…,取n个b 将这n1个式子相加，可得二项式定理 0n1n11knkknn

(ab)nCnaCnabCnabCnb(nN*)．n【问题8】如何证明这个猜想呢？

证明：(ab)是n个(ab)相乘，每个(ab)在相乘时，有两种选择，选a或选b，由分步计数原理可知展开式共有2项（包括同类项），其中每一项都是ankbk(k0，1，2，，n)的形式，对于每一项，它是由k个(ab)选了b，nk个(ab)选了a得到的，它出现的次k数相当于从n个(ab)中取k个b的组合数Cn，将它们合并同类项，就得二项展开式，这就nn是二项式定理． 是否还有其他证法? (引出数学归纳法，不作重点介绍) 【设计意图】通过仿照(ab)展开式的探究方法，由学生类比得出(ab)的展开式．二项式的定理的证明采用“说理”的方法，从计数原理的角度对展开过程进行分析、概括出项的形式，用组合知识分析展开式中具有同一形式的项的个数，从而得出用组合数表示的展开式．

4n（四）概念剖析

1、二项式定理的公式特征：（由学生归纳，让学生熟悉公式）

（1）项数：共有n1项；

（2）各项次数：各项的次数都等于n；

（3）各项中a、b的幂排列：字母a按降幂排列，次数由n递减到0；字母b按升幂排列，次数由0递增到n．

knkk2、二项展开式的通项：式中的Cnab叫做二项展开式的通项，用Tk1表示．

knkk即通项为展开的第k1项，Tk1Cn（a、b的位置不能对换）

ab．012knk3、二项式系数：依次为Cn这里Cn，Cn，Cn，，Cn，，Cn，(k0，1，2，，n)称为二项式系数．（注意：二项式系数与项的系数的区别）

4、二项式定理是个恒等式，定理中字母a、b可表示数或式，其中nN．

*（五）熟悉定理，简单应用

例题 求(2x)的展开式．

思考1：展开式的第2项的二项式系数是多少？

思考2：展开式的第2项的系数是多少？

思考3：求展开式中x的系数．

【设计意图】例1目的在于对定理中字母a、b所表示的数或式的领会及提高运用定理的能力，熟悉二项展开式，培养学生的运算能力；从思考1与思考2中体会项的系数与二项式系数的区别；思考3是通项的应用．

课堂练习：

（1）求(12x)7的展开式的第4项的系数及二项式系数；

（2）求(x31x5110)的展开式的常数项；

x52（3）求(x2xy)5的展开式中，xy的系数；

【设计意图】通过系列的小问，暴露学生对第几项易错点，巩固通项公式的应用，同时加深对组合思想的认知。

（六）课堂小结

0n1n11knkknn1、公式：(ab)nCn

aCnabCnabCnb(nN*)．knkk Tk1Cnab(k0,1,2,,n)

2、思想方法：（1）从特殊到一般的思维方式；（2）用组合思想分析二项式的展开过程．

（七）课后作业

巩固性作业：课本37页习题13A组2、3、4；

拓展型作业：观察杨辉三角，探究二项式系数的性质．

八、教学评价

目标定位准确：本节课，教师在充分挖掘教学内容的内在联系，了解学生已有知识基础，充分分析学情后，确定教学目标，随着课堂的实践得到了落实，并且将“知识目标”、“能力目标”、“情感目标”融为一体.

教学目标完全符合学生“认识规律”，以递进的形式呈现：观察分析、归纳猜想、抽象概括，提炼上升；特殊——一般——特殊到一般…，课堂实践表明，这些目标，在师生共同努力及合作下是完全可以达到的. 突出主体地位：把课堂还给学生，

一是给“问题”，当然问题有预设的，也有生成的，符合从学生“思维最近发展区”出发这一根本教学原则. 二是给“机会”，让学生展示自主探索，极大地保护和激发了学生学习的热情和积极性，参与程度和激情得到了空前的提高.

增色情感价值：新课引入“杨辉三角”就蕴含较丰富的文化价值（包括数字演变），我国古代数学成就和爱国主义情结.教学过程中，由于提及到与“帕斯卡三角”的比照，涉及到与“斐波那契数列”的联系，学生的民族自豪感，爱国主义情操不时会写在那一张张稚嫩、率真的脸上，相信对他们的精神风貌是一种陶冶，思想品质是一种升华.

这堂课中不足的地方是：第一，课堂上老师预设太多，学生自主性有待提高，还是以“师问生答”为主要的教学形式，绑架了学生的思维，不利于学生自主探究能力的培养；

第二，整个教学行进过程中渗透数学思想方法的力度不够，“以解题教学代替概念教学”，急于讲解，留不足足够的时间让学生自己认真地思考问题，严重扼杀了学生的学习积极性，直接导致学生惰性与僵化。第三，二项式定理的逐步生成过程，学生能从“特殊到一般”的认识规律，归纳猜想到结论. 但组合思想的运用还有待进一步的提高，数学的学习应该是一种经历、一种体验、

一种感悟，应该在反馈，矫正，确认新知的基础上，通过拓展联想激发学生的学习热情与探索欲望，用组合的思想来解决问题是指导整个课堂的思想高地。

九、教学反思

二项式定理是初中乘法公式的推广，是排列组合知识的具体应用，是学习概率的基础．

本节课的教学重点是“使学生掌握二项式定理的形成过程”，在教学中，采用“问题——探究”的教学模式，把整个课堂分为呈现问题、探索规律、总结规律、应用规律的四个阶段．让学生体会研究问题的方式方法，培养学生观察、分析、概括的能力，以及化归意识与方法迁移的能力，体会从特殊到一般的思维方式，让学生体验定理的发现和创造历程．

本节课的难点是用计数原理分析二项式的展开过程，发现二项式展开成单项式之和时各项系数的规律．在教学中，设置了对多项式乘法的再认识，引导学生运用计数原理来解决项数问题，明确每一项的特征，为后面的二项式展开式的推导作铺垫．再以(ab)2，(ab)3为对象进行探究，引导学生用计数原理进行再思考，分析各项以及项的个数，这也为推导(ab)n的展开式提供了一种方法，使学生在后续的学习过程中有“法”可依．

教材要让学生通过排列组合知识，利用组合数来表示展开式中各项系数，表面上看采取的是归纳类比的教法，但类比双方之间思维跨度太大，很难找到两者之间的共性，学生一脸茫然。人教A版教科书主编寄语中说到：“数学是自然的，整套教科书中出现的数学内容是人类长期的实践中，经过千锤百炼的数学精华和基础，其中的数学概念、数学方法和数学思想的起源和发展都是自然的，如果有人感到某个概念不自然，是强加于人的，那么只要想一下它的背景、它的形成过程，它的应用以及与其他概念的联系，你就会发现它实际上是水到渠成、浑然天成的产物，不仅合情合理，甚至很有人情味。”

其中让我感受最深的是怎样设计学生接受知识才会比较自然，特别是对今后备课中如何设计学生的探究学习，遇到问题时如何设计难点突破等有很好的启示作用，如何才能在课堂上和学生形成有效的互动，以合作者的身份提出合理化的建议，合作交流，参与到知识形成和发展的过程中，教师需要更多的实践和研究。

当然，本节课最主要是其一推导公式，从特殊到一般，其二是巩固公式，及时反馈矫正。课堂既是解决问题，也是产生新问题的场所，本堂课后续还有很多地方需要探究。