2.1.2 演绎推理教学设计第一课时

2．1.2

演绎推理

学习目标

1.理解演绎推理的意义.2.掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理.3.了解合情推理和演绎推理之间的区别和联系．

知识点一

演绎推理

思考

分析下面几个推理，找出它们的共同点．

(1)所有的金属都能导电，铀是金属，所以铀能够导电；

(2)一切奇数都不能被2整除，(2100＋1)是奇数，所以(2100＋1)不能被2整除．

梳理

演绎推理的定义、特点

定义

特点

知识点二

三段论

思考

所有的金属都能导电，铜是金属，所以铜能导电，这个推理可以分为几段？每一段分别是什么？

梳理

三段论的一般模式

大前提

小前提

结论

一般模式

根据一般原理，对特殊情况做出的判断

常用格式

M是P

S是M

S是P

从一般性的原理出发，推出__________________________的结论的推理

由________________的推理

类型一

演绎推理与三段论

例1

将下列演绎推理写成三段论的形式．

(1)平行四边形的对角线互相平分，菱形是平行四边形，所以菱形的对角线互相平分；

(2)等腰三角形的两底角相等，∠A，∠B是等腰三角形的两底角，则∠A＝∠B；

(3)通项公式为an＝2n＋3的数列{an}为等差数列．

反思与感悟

用三段论写推理过程时，关键是明确大、小前提，三段论中的大前提提供了一个一般性的原理，小前提指出了一种特殊情况，两个命题结合起来，揭示了一般原理与特殊情况的内在联系．有时可省略小前提，有时甚至也可把大前提与小前提都省略，在寻找大前提时，可找一个使结论成立的充分条件作为大前提．

跟踪训练1

(1)推理：“①矩形是平行四边形；②正方形是矩形；③所以正方形是平行四边形”中的小前提是________．

(2)函数y＝2x＋5的图象是一条直线，用三段论表示为

大前提：______________________________________________________________. 小前提：___________________________________________________________. 结论：______________________________________________________________. 类型二

三段论的应用

命题角度1

用三段论证明几何问题

例2

如图，D，E，F分别是BC，CA，AB上的点，∠BFD＝∠A，DE∥BA，求证：ED＝AF，写出三段论形式的演绎推理．

反思与感悟

(1)用“三段论”证明命题的格式

××××××

大前提

××××××

小前提

××××××

结论

(2)用“三段论”证明命题的步骤

①理清证明命题的一般思路；

②找出每一个结论得出的原因；

③把每个结论的推出过程用“三段论”表示出来．

跟踪训练2

已知：在空间四边形ABCD中，点E，F分别是AB，AD的中点，如图所示，求证：EF∥平面BCD.

命题角度2

用三段论证明代数问题

ex例3

设函数f(x)＝2，其中a为实数，若f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围．

x＋ax＋a

引申探究

若例3的条件不变，求f(x)的单调递增区间．

跟踪训练3

f(x)＝ax＋x－2x＋1(a>1)，证明：函数f(x)在(－1，＋∞)上为增函数．

已知函数

1．下面几种推理过程是演绎推理的是(

) A．两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A与∠B是两条平行直线的同旁内角，则∠A＋∠B＝180°

B．某校高三1班有55人，2班有54人，3班有52人，由此得高三所有班人数超过50人

C．由平面三角形的性质，推测空间四边形的性质

11D．在数列{an}中，a1＝1，an＝an－1＋a(n≥2)，由此归纳出{an}的通项公式

2n－12．“因为对数函数y＝logax是增函数(大前提)，又y＝log1x是对数函数(小前提)，所以y3＝log1x是增函数(结论)．”下列说法正确的是(

) 3A．大前提错误导致结论错误

B．小前提错误导致结论错误

C．推理形式错误导致结论错误

D．大前提和小前提都错误导致结论错误

3．三段论：“①只有船准时起航，才能准时到达目的港，②这艘船是准时到达目的港的，③这艘船是准时起航的”，其中的“小前提”是(

) A．①

B．②

C．①②

D．③

4．把“函数y＝x2＋x＋1的图象是一条抛物线”改成三段论，则大前提：____________________；

小前提：________________________；

结论：__________________________. 5．设m为实数，利用三段论证明方程x2－2mx＋m－1＝0有两个相异实根．

1．应用三段论解决问题时，应当首先明确什么是大前提和小前提，但为了叙述的简洁，如果前提是显然的，则可以省略．

2．合情推理是由部分到整体，由个别到一般的推理或是由特殊到特殊的推理；演绎推理是由一般到特殊的推理．

3．合情推理与演绎推理是相辅相成的，数学结论、证明思路等的发现主要靠合情推理；数学结论、猜想的正确性必须通过演绎推理来证明．

答案精析

问题导学

知识点一

思考

问题中的推理都是从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理叫演绎推理．

梳理

某个特殊情况下

一般到特殊

知识点二

思考

分为三段．

大前提：所有的金属都能导电．

小前提：铜是金属．

结论：铜导电．

梳理

已知的一般原理

所研究的特殊情况

题型探究

例1

解

(1)平行四边形的对角线互相平分，大前提

菱形是平行四边形，小前提

菱形的对角线互相平分．结论

(2)等腰三角形的两底角相等，大前提

∠A，∠B是等腰三角形的两底角，小前提

∠A＝∠B.结论

(3)在数列{an}中，如果当n≥2时，an－an－1为常数，

则{an}为等差数列，大前提

当通项公式为an＝2n＋3时，若n≥2，

则an－an－1＝2n＋3－[2(n－1)＋3]＝2(常数)，小前提

通项公式为an＝2n＋3的数列{an}为等差数列．结论

跟踪训练1

(1)②

(2)一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象是一条直线

函数y＝2x＋5是一次函数

函数y＝2x＋5的图象是一条直线

例2

证明

因为同位角相等，两直线平行，大前提

∠BFD与∠A是同位角，且∠BFD＝∠A，小前提

所以FD∥AE.结论

因为两组对边分别平行的四边形是平行四边形，大前提

DE∥BA，且FD∥AE，小前提

所以四边形AFDE为平行四边形．结论

因为平行四边形的对边相等，大前提

ED和AF为平行四边形AFDE的对边，小前提

所以ED＝AF.结论

跟踪训练2

证明

因为三角形的中位线平行于底边，大前提

点E、F分别是AB、AD的中点，小前提

所以EF∥BD.结论

若平面外一条直线平行于平面内一条直线，

则直线与此平面平行，大前提

EF⊄平面BCD，BD⊂平面BCD，EF∥BD，小前提

所以EF∥平面BCD.结论

例3

解

若函数对任意实数恒有意义，则函数定义域为R，大前提

因为f(x)的定义域为R，小前提

所以x2＋ax＋a≠0恒成立．结论

所以Δ＝a2－4a<0，

所以0

xx＋a－2ex解

∵f′(x)＝2，

x＋ax＋a2由f′(x)＝0，得x＝0或x＝2－a. ∵00. ∴在(－∞，0)和(2－a，＋∞)上，f′(x)>0. ∴f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，(2－a，＋∞)．

当a＝2时，f′(x)≥0恒成立，

∴f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞)．

当2

∴在(－∞，2－a)和(0，＋∞)上，f′(x)>0，

∴f(x)的单调递增区间为(－∞，2－a)，(0，＋∞)．

综上所述，当0

当a＝2时，f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞)；

当2

跟踪训练3

证明

方法一

(定义法) 任取x1，x2∈(－1，＋∞)，且x1

x2－2x1－2f(x2)－f(x1)＝ax2＋－ax1－

x2＋1x1＋1x2－2x1－2＝ax2－ax1＋－

x2＋1x1＋1x1＋1x2－2－x1－2x2＋1＝ax1(ax2－x1－1)＋

x2＋1x1＋1＝ax1(ax2－x1－1)＋3x2－x1. x2＋1x1＋1因为x2－x1>0，且a>1，所以ax2－x1>1，

而－10，x2＋1>0，

所以f(x2)－f(x1)>0，

所以f(x)在(－1，＋∞)上为增函数．

方法二

(导数法) x＋1－3x3f(x)＝ax＋＝a＋1－. x＋1x＋13所以f′(x)＝axln a＋. x＋123因为x>－1，所以(x＋1)2>0，所以>0. x＋12又因为a>1，所以ln a>0，ax>0，

所以axln a>0，所以f′(x)>0. x－2故f(x)＝ax＋在(－1，＋∞)上是增函数．

x＋1当堂训练

1．A

2.A

3.D 4．二次函数的图象是一条抛物线

函数y＝x2＋x＋1是二次函数

函数y＝x2＋x＋1的图象是一条抛物线

5．证明

因为如果一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的判别式Δ＝b2－4ac>0，

那么方程有两个相异实根．大前提

方程x2－2mx＋m－1＝0的判别式

Δ＝(－2m)2－4(m－1)＝4m2－4m＋4 ＝(2m－1)2＋3>0，小前提

所以方程x2－2mx＋m－1＝0有两个相异实根．结论