2.2.2 反证法优质公开课教案

《反证法》教学设计(第一课时) 张掖市实验中学 郭军红

一、教学设计思路：

（一）教材内容分析

本课是人教A版数学选修1-2第二章“推理与证明”第二节“直接证明与间接证明”第二课时内容--------反证法

本章包括推理与证明两部分，是在前面学过的基础上，对所学知识进行回归和总结，进一步体会合情推理、演绎推理以及二者之间的联系与差异；体会数学证明的特点，了解数学证明的基本方法。推理与证明贯穿于整个高中数学体系，是数学的基本思维过程。根据《课程标准》，在本章学习过程中，更加注重结合实例，引导学生认识各种证明方法的特点，体会证明的必要性。对证明的技巧性不宜作过高的要求。

本节----反证法，是在前面介绍了直间证明（综合分、分析法）的基础上学习的，让两种不同思维形成强烈的反差，有利于学生更深刻地体会两种思维的差别及各自的特点。命题间的等价转化是本节学习的一个难点，所以，在本节的学习中要注重让学生体会反证法的思考过程及特点，建立起使用反证法的感觉。

（二）学生基本情况分析

本节内容学生在初中已经初步接触，反证法的逻辑规则并不复杂，但是，由于最初学习的时候，知识不够系统，逆向思维的训练和发展不够充分，使得用反证法证明数学命题成为学生学***难点。

本节授课对象为高二文科杨帆班，人数为43人，学生数学思维一般，推理论证思维不足，知识不够系统，遗忘较多，所以，为了让学生更加轻松地理解反

证法的思维过程，所选例题比较简单，逻辑清晰易懂，最前面引入小故事和比较简单的一个问题，能更好地帮着学生理解反证法的思维特征。

（三）教学设计流程图

小故事“路边苦李”

学习目标 情境引入 探究新知

问题1

反证法的概念

自主演练1 合作探究（问题2） 反证法的步骤

自主演练2 归纳总结

二、教学方案设计

（一）．教学目标：

知识与技能

1.

结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法──反证法；

2.

了解反证法的思考过程、特点；

3.

会用反证法证明数学命题. 过程与方法 1.

举生活中命题的例子，培养学生将生活问题数学化的能力；

2.

培养学生的逆向思维能力和命题间的等价转化思想. 情感、态度与价值观：

通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣. （二）.教学重点和难点

重点：

1．了解反证法的思考过程和特点;

2．会用反证法证明数学命题. 难点：

1.理解反证法中的“假设”的内在含义及作用

2.对反证法的思考过程和特点的概括. （三）．教学方法 讲授法、练习法、合作探究法、归纳总结法

（四）．教学准备

课件、导学案、模型图、多媒体

（五）．教学过程: 1.情境引入：

（1）小故事

王戎小时候，爱和小朋友在路上玩耍.一天，他们发现路边的一棵树上结满了李子，小朋友一哄而上，去摘李子，独有王戎没动，等到小朋友们摘了李子一尝，原来是苦的！他们都问王戎：“你怎么知道李子是苦的呢？”王戎说：“假如李子不苦的话，早被路人摘光了，而这树上却结满了李子，所以李子一定是苦的.”

这就是著名的“道旁苦李”的故事.王戎的论述，运用的方法即是本节课所要学的方法——反证法. （2）问题1：（课本练习第一题）

证明：在 B一定是锐角.

ABC中，C是直角，则 设计意图 引入著名的“道旁苦李”故事，激发学生兴趣，缓解课前紧张气氛，将生活问题抽象为数学命题，以此为切入点，引导学生理解命题间的等价转化，培养学生的数学思维能力，王戎论述运用的方法即是反证法，自然导入新课.

问题1为课本练习第一题，比较简单，在老师的引导下，学生在不知不觉中运用反证法，为下一步概括反证法的概念和步骤做好铺垫. 2.探究新知：

（1）.反证法的定义： 一般地,假设命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立.这种证明方法叫做反证法. 反证法是一种常用的间接证明的方法. （2）.反证法证明的基本步骤： ①提出假设-----假设待证命题不成立，或是命题的反面成立

②推理论证-----以假设为条件，结合已知条件推理，得出与已知条件或是正确命题相矛盾的结论

③得出矛盾-----这与“----------”相矛盾

④结论成立-----所以假设不成立，所求证的命题成立

设计意图 通过前面情境引入和问题1，学生对反证法的概念和证明步骤有了雏形，但要概括出来，需要老师耐心的引导，留给学生足够的时间来归纳、提炼、总结，从而更好地培养学生的概括能力，因此必须强化该过程. 3.自主演练1：求证: 2,3,5不可能成等差数列（课本练习2）

,b，求证： a//（课本例8）

4.合作探究 已知 a//b，a设计意图 设计自主演练1（课本练习2）主要目的是让学生运用前面总结的反证法步骤，体会用反证法证明数学命题的美妙，易于学生接受.合作探究（课本例8），也是本节讲解的重点、难点，课前为学生准备了教学模型，先让学生

思考之后，再引导学生以垫板为平面，笔为直线，给出充足的时间进行小组讨论

，让他们的思维充分暴露，便于老师掌握，以此引领学生在教学中学得更有效. axb有且只有一个根（课本例7）5.自主演练2：已知 a0，证明 x的方程 B组题（选做题）

（1）. 已知直线

//l3l1,l2,l3在同一平面内,且 l2l1//l2,l1//l3，求证：2不是有理数 （3）.证明： ,x,y>0，且 .x+y>2试证： （4）.已知 中至少有一个小于2. 设计意图 自主演练2（课本例7）看起来简单，但在教学实践中发现学生不易掌握，因此将次序调整到靠后些，符合学生的认知规律， B组题要求有能力的学生做. 自主选择，层层递进，既起到巩固知识、训练技能、加深了对反证法的整体理解，又帮着学生体会反证法的美妙所在. 6.归纳总结：

（1）.反证法的定义

（2）.反证法的步骤 （3）.反证法的方法实质

：若p，则q圬若q，则?p （4）.应用反证法的情形

：正难则反

7.情感升华：

有人说：“数学是科学的皇后”，也有人说：“数学是思维的体操”，

王戎同学教给我们什么？

人的思维方式很重要，我们要在以后的学习和生活中，养成言之有理、论证有据的习惯.当我们离开学校，步入社会可能不会用反证法证明数学问题，但由它带给我们的思维方式将永远铭记，受益终生! 1+x1+yyx

设计意图 回顾本节课，归纳总结，有利于学生对所学内容的梳理，及时查漏补缺，加深理解，巩固学习成果，培养学生及时归纳和善于思考的良好品质，老师也可根据学生的反应，给以相应的知识补充或者解疑答惑，特别强调对反证法方法实质的理解，即原命题和逆否命题的等价性，让学生细细体会.情感升华起到画龙点睛之作用！