小结教案和课堂实录

第三章

《不等式》章末小结

一、知识结构

二、知识要点回顾

1．不等式的基本性质

不等式的性质是不等式这一章内容的理论基础，是不等式的证明和解不等式的主要依据．因此，要熟练掌握和运用不等式的八条性质．

2．一元二次不等式的求解方法

(1)图象法：由一元二次方程、一元二次不等式及二次函数的关系，共同确定出解集．

(2)代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解．

当m0，则可得x>n或x

若(x－m)(x－n)<0，则可得m

3．二元一次不等式(组)表示的平面区域

(1)二元一次不等式(组)的几何意义：二元一次不等式(组)表示的平面区域.

(2)二元一次不等式表示的平面区域的判定：对于任意的二元一次不等式Ax＋By＋C>0(或<0)，无论B为正值还是负值，我们都可以把y项的系数变形为正数，当B>0时，①Ax＋By＋C>0表示直线Ax＋By＋C＝0上方的区域；②Ax＋By＋C<0表示直线Ax＋By＋C＝0下方的区域．

4．求目标函数最优解的两种方法

1

(1)平移直线法．平移法是一种最基本的方法，其基本原理是两平行直线中的一条上任意一点到另一条直线的距离相等；

(2)代入检验法．通过平移法可以发现，取得最优解对应的点往往是可行域的顶点，其实这具有必然性．于是在选择题中关于线性规划的最值问题，可采用求解方程组代入检验的方法求解．

5．运用基本不等式求最值，把握三个条件

(1)“一正”——各项为正数；

(2)“二定”——“和”或“积”为定值；

(3)“三相等”——等号一定能取到．

三、典型例题解析

题型一

“三个二次”之间的关系

对于一元二次不等式的求解，要善于联想两个方面的问题：①相应的二次函数图象及与x轴的交点，②相应的一元二次方程的实根；反之，对于二次函数(二次方程)的问题的求解，也要善于联想相应的一元二次不等式的解与相应的一元二次方程的实根(相应的二次函数的图象及与x轴的交点)．

例1

设不等式x2－2ax＋a＋2≤0的解集为M，如果M⊆[1,4]，求实数a的取值范围．

解

M⊆[1,4]有两种情况：

其一是M＝∅，此时Δ<0；其二是M≠∅，此时Δ＝0或Δ>0，下面分三种情况计算a的取值范围．

设f(x)＝x2－2ax＋a＋2，

则有Δ＝(－2a)2－4(a＋2)＝4(a2－a－2)，

(1)当Δ<0时，－1

(2)当Δ＝0时，a＝－1或2；

当a＝－1时，M＝{－1}[1,4]；

当a＝2时，M＝{2}⊆[1,4]．

(3)当Δ>0时，a<－1或a>2. 设方程f(x)＝0的两根x1，x2，且x1

f1＞0，且f4＞0，那么M＝[x1，x2]，M⊆[1,4]⇔1≤x1≤x2≤4⇔1≤a≤4，且Δ＞0.1818－1，. 解得2

恒成立问题

2

－a＋3＞0，18－7a＞0，即1≤a≤4，a＜－1或a＞2.

对于不等式恒成立求参数范围问题常见类型及解法有以下几种

(1)变更主元法：

根据实际情况的需要确定合适的主元，一般知道取值范围的变量要看作主元．

(2)分离参数法：

若f(a)g(x)恒成立，则f(a)>g(x)max. (3)数形结合法：

利用不等式与函数的关系将恒成立问题通过函数图象直观化．

例2

设不等式2x－1>p(x2－1)对满足|p|≤2的一切实数p的取值都成立，求x的取值范围．

解

令f(p)＝2x－1－p(x2－1)＝(1－x2)p＋2x－1，p∈[－2,2]，可看成是一条线段，且使f(p)>0对|p|≤2的一切实数恒成立．

2f2＞0，2x－2x－1＜0，所以即2

f－2＞0.2x＋2x－3＞0

1－31＋3＜x＜，22⇔－1－7－1＋x＜或x＞22所以7－13＋1

题型三

简单的线性规划问题

关注“线性规划”问题的各种“变式”：诸如求面积、距离、参数取值的问题经常出现，①“可行域”由不等式和方程共同确定(为线段或射线)，②“约束条件”由二次方程的“区间根”x－a间接提供，③“约束条件”非线性，④目标函数非线性，如：(斜率)，x－a2＋y－b2y－b(距离)等．

求目标函数z＝ax＋by＋c的最大值或最小值时，只需把直线ax＋by＝0向上(或向下)平行移动，所对应的z随之增大(或减少)(b>0)，找出最优解即可．在线性约束条件下，求目标函数z＝ax＋by＋c的最小值或最大值的求解步骤为：

①作出可行域；

②作出直线l0：ax＋by＝0；

③确定l0的平移方向，依可行域判断取得最优解的点；

④解相关方程组，求出最优解，从而得出目标函数的最小值或最大值．

2x＋y－2≥0，例3

已知实数x，y满足x－2y＋4≥0，3x－y－3≤0.

求w＝x2＋y2的最大值和最小值．

3

解

画出不等式组

2x＋y－2≥0，x－2y＋4≥0，3x－y－3≤0

表示的平面区域，如图所示的△ABC包括边界及其内部．

∵w＝x2＋y2＝(x－0)2＋(y－0)2表示的是可行域内的动点M(x，y)到原点O(0,0)的距离的平方，

|0＋0－2|24∴当点M在边AC上滑动，且OM⊥AC时，w取得最小值，于是wmin＝d＝22＝；

2＋152当点M滑到与点B(2,3)重合时，w取得最大值，

即wmax＝(2－02＋3－02)2＝13，

4故wmin＝，wmax＝13. 5题型四

利用基本不等式求最值

利用基本不等式求最值要满足“一正、二定、三相等”缺一不可，可以通过拼凑、换元等手段进行变形．如不能取到最值，可以考虑用函数的单调性求解．

50x例4

设f(x)＝2. x＋1(1)求f(x)在[0，＋∞)上的最大值；

(2)求f(x)在[2，＋∞)上的最大值．

1解

(1)当x>0时，有x＋≥2，

x50x50∴f(x)＝2＝≤25. 1x＋1x＋x1当且仅当x＝，即x＝1时等号成立，

x∴f(x)在[0，＋∞)上的最大值是25. 1(2)∵函数y＝x＋在[2，＋∞)上是增函数且恒为正，

x50∴f(x)＝在[2，＋∞)上是减函数，且f(2)＝20. 1x＋x∴f(x)在[2，＋∞)上的最大值为20. 四、课堂小结

1.不等式的应用非常广泛，它贯穿于高中数学的始终．在集合、函数、数列、解析几何及实4

际问题中多有不等式的应用．本章的重点是简单的线性规划问题，基本不等式求最值和一元二次不等式的解法．

2．考查角度通常有如下几个方面：

(1)对各类不等式解法的考查，其解题关键是对于生疏的，非规范化的题目转化为熟悉的、规范化的问题去求解；

(2)对含参数的不等式的解法的考查，解含参数的不等式的基本途径是分类讨论，应注意寻找讨论点，以讨论点划分区间进行求解．

(3)与函数、三角函数、向量等知识相结合，以解题工具的面貌出现在解答题中，以求解参数的取值范围为主，并且将更加突出对不等式的灵活性、综合性及应用性的考查．

五、课后作业：

1

若关于x的不等式ax2－6x＋a2<0的解集是(1，m)，则m＝________. 答案

2 解析

因为ax2－6x＋a2<0的解集是(1，m)，

所以1，m是方程ax2－6x＋a2＝0的根，

6且m>1⇒1＋m＝a，1·m＝a答案

(－4,0] m>1，

m＝2，⇒

a＝2.

2

f(x)＝ax2＋ax－1在R上满足f(x)<0，则a的取值范围是________．

解析

(1)当a＝0时，f(x)<0恒成立，故a＝0符合题意；

a＜0a＜0(2)当a≠0时，由题意得：⇔⇔－4

3

某人承揽一项业务，需做文字标牌4个，绘画标牌5个．现有两种规格的原料，甲种规格每张3 m2，可做文字标牌1个，绘画标牌2个；乙种规格每张2 m2，可做文字标牌2个，绘画标牌1个，求两种规格的原料各用多少张？才能使得总用料面积最小．

解

设需要甲种原料x张，乙种原料y张，则可做文字标牌(x＋2y)个，绘画标牌(2x＋y)个，x＋2y≥4，由题意可得x≥0，y≥0，x，y∈N.2x＋y≥5，

5

所用原料的总面积为z＝3x＋2y，

作出可行域如图．

在一组平行直线3x＋2y＝z中，经过可行域内的点且到原点距离最近的直线．过直线2x＋y＝5和直线x＋2y＝4的交点(2,1)，

∴最优解为x＝2，y＝1. ∴使用甲种规格原料2张，乙种规格原料1张，可使总的用料面积最小．

124

设x，y都是正数，且＋＝3，求2x＋y的最小值．

xy12112＋＝1. 解：∵＋＝3，∴xy3xy112＋

∴2x＋y＝(2x＋y)×1＝(2x＋y)×3xyy4x114＋＋≥4＋2＝xy33448＝＋＝. 333y4x当且仅当＝，即y＝2x时，取“＝”．

xy1224又∵＋＝3，∴x＝，y＝. xy338∴2x＋y的最小值为. 3y4x·

xy6