小结优质课教案

《不等式小结与复习》教学设计

一、教材分析

不等关系与相等关系都是客观事物的基本数量关系，是数学研究的重要内容。建立不等观念、处理不等关系与处理等量问题是同样重要的。在本模块中，学生将通过具体情境，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值；掌握求解一元二次不等式的基本方法，并能解决一些实际问题；能用二元一次不等式组表示平面区域，并尝试解决一些简单的二元线性规划问题；认识基本不等式及其简单应用；体会不等式、方程及函数之间的联系。

二、教学目标

1．理解不等式的性质及其证明，掌握证明不等式的常用方法；

2．掌握常用基本不等式，并能用之证明不等式和求最值；

3．掌握含绝对值的不等式的性质；

4．会解一元二次不等式、分式不等式、含绝对值的不等式、简单的高次不等式学会运用数形结合、分类讨论、等价转换的思想方法分析和解决有关不等式的问题，形成良好的思维品质

三、教学重难点

【教学重点】握常用基本不等式，并能用之证明不等式和求最值

【教学难点】掌握含绝对值的不等式的性质

四、教学方式

多媒体教学

五、教学过程

（一）复习引入：

1．基本不等式、极值定理；

2．简述不等式证明的几种常用方法:比较、综合、分析、换元、反证、放缩、构造

（二）讲解范例：

3例1

求函数y2x2,(x0)的最大值，下列解法是否正确？为什么？

x解一：

y2x2311122x2332x2334，∴ymin334

xxxxx

33312223解二：y2x22x26x当2x即x时，

x2xx23

ymin26122331226324

2答：以上两种解法均有错误

解一错在取不到“=”，即不存在x使得2x2解二错在26x不是定值（常数）

12；

xx正确的解法是：

y2x233333932x2332x233336

x2x2x2x2x2223336当且仅当2x即x时ymin336

2x22x22x2例2 若4x1，求的最值

2x2x22x21(x1)211111解：[(x1)][(x1)]

2x22x12x12(x1)∵4x1

∴(x1)0

10

(x1)从而[(x1)111]2

[(x1)]1

(x1)2(x1)x22x2)min1

即(2x2y21，求x1y2的最大值

例3设xR且x221y2解：∵x0

∴x1y2x()

22221y2y21313322又x()(x)，∴x1y22()

222222242

即

(x1y2)max32

4例4 已知a,b,x,yR且ab1，求xy的最小值

xyabayxb解：xy(xy)1(xy)()ab

xyxy

ab2ayxb(ab)2

xy当且仅当ayxbx即xyya时(xy)min(ab)2

b例5 将一块边长为a的正方形铁皮，剪去四个角（四个全等的正方形），作成一个无盖的铁盒，要使其容积最大，剪去的小正方形的边长为多少？最大容积是多少？

a解：设剪去的小正方形的边长为x则其容积为Vx(a2x)2,(0x)

2114x(a2x)(a2x)32a3V4x(a2x)(a2x)[]

44327当且仅当4xa2x即xa时取“=”

6a2a3即当剪去的小正方形的边长为时，铁盒的容积为

627例6

已知0 < x < 1, 0 < a < 1，试比较|loga(1x)|和

|loga(1x)|的大小

解一：|loga(1x)|2

|loga(1x)|2loga(1x)loga(1x)loga(1x)loga(1x)

loga(1x2)loga∵0 < 1 

x2 < 1,

01x

1x1x1x1

∴loga(1x2)loga0

1x1x∴|loga(1x)|

|loga(1x)|

解二：loga(1x)11x

log1x(1x)log1x(1x)log1xlog1x2loga(1x)1x1x1log1x(1x2)

∵0 < 1 

x2 < 1,

1 + x > 1,

∴log1x(1x2)0

∴1log1x(1x2)1

∴|loga(1x)|

|loga(1x)|

解三：∵0< x <1，∴0 < 1 

x < 1, 1< 1 + x < 2, ∴loga(1x)0,loga(1x)0

∴左



右

= loga(1x)loga(1x)loga(1x2)

∵0< 1 

x2 <1, 且0< a <1 ∴loga(1x2)0

∴|loga(1x)|

|loga(1x)|

例7 已知x2 = a2 + b2，y2 = c2 + d2，且所有字母均为正，求证：xy≥ac + bd

证一：（分析法）∵a, b, c, d, x, y都是正数

∴要证：xy≥ac + bd

只需证：(xy)2≥(ac + bd)2

即

(a2 + b2)(c2 + d2)≥a2c2 + b2d2 + 2abcd

展开得：a2c2 + b2d2 + a2d2 + b2c2≥a2c2 + b2d2 + 2abcd

即

a2d2 + b2c2≥2abcd

由基本不等式，显然成立,∴xy≥ac + bd

证二：（综合法）xy =a2b2c2d2a2c2b2c2a2d2b2d2

≥a2c22abcdb2d2(acbd)2acbd

证三：（三角代换法）∵x2 = a2 + b2，∴不妨设a = xsin,

b = xcos

∵y2 = c2 + d2

∴不妨设

c = ysin,

d = ycos

∴ac + bd = xysinsin + xycoscos = xycos(



)≤xy

例8

已知x1, x2均为正数，求证：1x11x2222xx211

22证一：（分析法）由于不等式两边均为正数，平方后只须证：

1x11x221x14即

222221x22xx22x1x2

11422(1x1)(1x2)1x1x2

再平方

(1x1)(1x2)12x1x2x1x2

2222化简整理得

x1x22x1x2

（显然成立）

∴原式成立

证二：（反证法）假设2222

D 2

C 1x11x2222xx211

2

A

P

M

B 化简可得

x1x22x1x2

（不可能）∴原式成立

证三：（构造法）构造矩形ABCD，使AB = CD = 1, BP = x1, PC = x2

当APB = DPC时，AP + PD为最短取BC中点M，有AMB = DMC, BM = MC =x1x2,∴

AP + PD

≥

AM + MD

2即

1x11x21x11x222222xx2x1x2111

22xx211

2222∴（三）课堂练习：

1．求下列函数的最值：

41

y2x2,(xR)

(min=6) xa2a32yx(a2x),(0x)

(max) 22722．1x0时求y6693x2的最小值，y23x的最小值(9,34)

x2x1xlog3(3x)的最大值(5) 2设x[,27]，求ylog39273若0x1, 求yx4(1x2)的最大值(4若x,yR且2xy1，求423,x)

27311的最小值(322)

xy3．若ab0，求证：a1的最小值为3 b(ab)4．制作一个容积为16m3的圆柱形容器(有底有盖)，问圆柱底半径和

高各取多少时，用料最省？（不计加工时的损耗及接缝用料）(R2m,h4m)

六、课堂小结

四种方法：

1．不等式的性质及其证明；

2．基本不等式，并能用之证明不等式和求最值；

3．含绝对值的不等式的性质；

4．解一元二次不等式、分式不等式、含绝对值的不等式、简单的高次不等式。

三种数学思想：

①数形结合、②分类讨论、③等价转换