一 比较法课时教学实录

证明不等式的基本方法比较法

一、教学目标 1、知识与技能

（1）了解不等式的证明方法——比较法的基本思想；

（2）会用比较法证明不等式，熟练并灵活地选择作差或作商法证明不等式. 2、过程与方法

（1）培养学生将实际问题转化为数学问题的能力；

（2）培养学生观察、比较、抽象、概括的能力. 3、情感、态度与价值观： 激发学生学习的兴趣，继续培养认真探究、勤于思索的习惯. 二、教学重点

理解比较法，掌握比较法的基本步骤，作差、作商比较法证明不等式 . 三、教学难点

根据题目特征选择合适的方法证明不等式. 四、教学方法

启发引导、合作探究 五、教学过程

1、复习引入

理论依据：①a＞b

⇔

a－b＞0 ；②a＝b

⇔ a－b=0；③a＜b

⇔

a－b＜0 . 2．定义：要证明a＞b，转化为证明a－b＞0

，这种方法称为作差比较法．

3．步骤：①作差

；②变形；③判断符号；④下结论．

作商比较法

aaa1．理论依据：当b＞0时，①a＞b⇔＞1；②a＜b⇔＜1；③a＝b⇔＝1. bbba2．定义：证明a＞b(b＞0)，只要转化为证明＞1，这种方法称为作商比较法．

b3．步骤：①作商；②变形；③判断商与1大小；④下结论．

2、合作探究

（1）分组探究

类型1、作差比较法证明不等式

例1、已知a，b都是正数，且a≠b，求证：a3＋b3>a2b+ab2 分析：可以把不等式两边相减，通过适当的恒等变形，转化为一个能够明确确定正负的代数式. 【证明】

(a3＋b3)－(a2b+ab2)＝(a3－a2b )－(ab2－b3)＝a2(a－b)－b2(a－b) ＝(a2－b2) (a－b) ＝(a＋b)(a－b)2．

因为a，b都是正数，所以

a＋b＞0，又因为a≠b，所以(a－b)2＞0，所以(a＋b)(a－b)2＞0，

即(a3＋b3)－(a2b+ab2)＞0，所以(a3＋b3)＞(a2b+ab2)

教师点拨：

1．作差比较法中，变形具有承上启下的作用，变形的目的在于判断差的符号，而不用考虑差值的多少．

2．“变形”是解题的关键，是最重一步.因式分解是常用的变形手段，为了便于判断“差式”的符号，常将“差式”做如下处理：

（1）变形为一个常数，或因式分解．（2）配方．（3）通分．（4）有理化因式．

3、巩固训练

类型2：比较法的实际应用

例2、如果用akg白糖制出bkg糖溶液，则糖的质量分数为a. 若在上述溶液中再添加mkg白糖，此时b糖的质量分数增加到am，将这个事实抽象为数学问题，并给出证明. bm分析：显然，a,b,m都是正数，且a

已知a，b，m都是正数，并且a

bmb证明：amam(ba)＝

bmbb(bm)因为a0；

又因为a, b,m都是正数，b(bm)0,m(ba)0

所以m(ba)ama>0，即>

bmbb(bm)教师点拨：

1．应用不等式解决实际问题时，关键是如何把等量关系、不等量关系转化为不等式的问题来解决，即建立数学模型是解应用题的关键．

2．在实际应用不等式问题时，常用比较法来判断数的大小关系．若是选择题或填空题，则可用特殊值加以判断．

4、拓展延伸

1．已知a＞b＞c，证明：a2b＋b2c＋c2a＞ab2＋bc2＋ca2. 【证明】

∵a2b＋b2c＋c2a－ab2－bc2－ca2＝(a2b－bc2)＋(b2c－ab2)＋(c2a－ca2)

＝b(a2－c2)＋b2(c－a)＋ac(c－a)＝(a－c)(ba＋bc－b2－ac)＝(a－c)(a－b)(b－c)．

∵a＞b＞c，∴a－c＞0，a－b＞0，b－c＞0，∴(a－c)(a－b)(b－c)＞0，

即a2b＋b2c＋c2a＞ab2＋bc2＋ca2. [再练一题] 2．通过水管放水，当流速相同时，如果水管截面(指横截面)的周长相等，试问：截面为圆的水管流量大还是截面为正方形的水管流量大？

l2【解】

设截面的周长为l，依题意知，截面是圆的水管的截面面积为π·2π，截面是正方形的水管的l2.

截面面积为4

l2l2l114－πl4－πll2＞l2

－＝∵π·－＝.由于l＞0,0＜π＜4，∴＞0，∴π·2π44π42π416π16π因此，通过水管放水，当流速相同时，如果水管的周长相等，

那么截面是圆的水管比截面是正方形的水管流量大．

例3、已知：a，b都是正数，求证：aabb≥abba，当且仅当a＝b时，等号成立. 分析：由于a，b是正数，所以不等式的两边都是正数.由于要证的不等式两边都是指数的形式，把它们相除并考察商式与1的大小关系比较方便. aabba－－－证明：将不等式两边相除，得ba

= aabbba = () ab abba不妨设a≥b>0，于是≥1，a－b≥0. ba－a所以

() ab≥()

0

＝1, 当且仅当a＝b时，等号成立. bb所以

aabb≥abba，当且仅当a＝b时，等号成立. 另解：差值比较法：注意到要证的不等式关于a,b对称，不妨设ab0.

222ab0ababab(aabbabbabbab)0，

从而原不等式得证. 教师点拨、引导学生总结：

1．当不等式的两端为指数式时，可作商证明不等式．

a2．运用a＞b⇔＞1证明不等式时，一定注意b＞0是前提条件．若符号不能确定，应注意分类讨论．

b[构建·体系] 比较法——作商法—实际应用—作差法5、师生合作总结

比较法是证明不等式的一种最基本、最重要的方法.用比较法证明不等式的步骤是：作差（或作商）、变形、判断符号.“变形”是解题的关键，是最重一步.因式分解、配方、凑成若干个平方和等是“变形”的常用方法.

六、板书设计

§2.1 比较法

学习目标

思考题

例1 例2 例3 巩固练习

七.作业布置

八.教学反思

通过本节课的教学实践，我再次体会到什么是由“关注知识”转向“关注学生”，在教学过程中，注意到了由“给出知识”转向“引起活动”，由“完成教学任务”转向“促进学生发展”，课堂上的真正主人应该是学生．一堂好课，师生一定会有共同的、积极的情感体验．本节课的教学中，知识点是学生通过探索“发现”的，学生充分经历了探索与发现的过程．教学中没有以练习为主，而是定位在知识形成过程的探索，加强数学形式下的思考和推理．