2.基本不等式教学设计一等奖

第四节

基本不等式

a>0，b>0

a＝b

2ab

2

a＋b2

ab

小于它们的几何平均数

两个正数的算术平均数不

2p

q24

3．若x，y∈(0，＋∞)，且x＋4y＝1，则xy的最大值是_______．

1解析：∵x，y∈(0，＋∞)，则1＝x＋4y≥4xy，即xy≤16. 1答案：16

1．使用基本不等式求最值，“一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可．

2．“当且仅当a＝b时等号成立”的含义是“a＝b”是等号成立的充要条件，这一点至关重要，忽略它往往会导致解题错误．

3．连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件一致．

1．判断正误(在括号内打“√”或“×”) a＋b(1)当a≥0，b≥0时，2≥ab

(

) (2)两个不等式a2＋b2≥2ab与相同的

a＋b2≥ab成立的条件是

(

) xy(3)x＞0且y>0是y＋x≥2的充要条件

(

) 答案：(1)√

(2)×

(3)×

2．若f(x)＝x＋1(x>2)在x＝n处取得最小值，则n等于

x－2(

) 5A．2

B．3 7C．2

D．4 答案：B

已知x，y，z是互不相等的正数，且x＋y＋z＝1，求111证：x－1y－1z－1>8. 证明证明：因为x，y，z是互不相等的正数，且x＋y＋z＝1，

1－xy＋z2yz1所以x－1＝x＝x>x，①

1－yx＋z2xz1y－1＝y＝y>y，②

1－zx＋y2xy1－1＝zz＝z>z，③

又x，y，z为正数，由①×②×③，

111得x－1y－1z－1>8. 

11设a，b均为正实数，求证：a2＋b2＋ab≥22. 证明：由于a，b均为正实数，

11所以a2＋b2≥2 112a2·b2＝ab，

11当且仅当a2＝b2，即a＝b时等号成立，

2又因为ab＋ab≥2 2ab＝22，

ab·

2当且仅当ab＝ab时等号成立，

112所以a2＋b2＋ab≥ab＋ab≥22，

11a2＝b2，当且仅当2＝ab，ab

4即a＝b＝2时取等号．

11已知a>0，b>0，a＋b＝1，则a＋b的最小值为________．

[解析]

∵a>0，b>0，a＋b＝1，

11a＋ba＋bba∴a＋b＝a＋b＝2＋a＋b≥2＋2 baa·b＝4，即111＋的最小值为4，当且仅当a＝b＝ab2时等号成立. [答案]

4

[变式1]

母题的条件不变，则________．

111＋1＋ab的最小值为11baa＋ba＋b2＋解析：1＋a1＋b＝1＋·1＋b＝2＋ababa1＝5＋2a＋b≥5＋4＝9.当且仅当a＝b＝2时取等号．

答案：9 11[变式2]

母题的条件和结论互换即：已知a＞0，b＞0，a＋b＝4，则a＋b的最小值为________．

1111解析：由a＋b＝4，得4a＋4b＝1. 111ba1∴a＋b＝4a＋4b(a＋b)＝2＋4a＋4b≥2＋2 ba4a·4b＝1. 1当且仅当a＝b＝2时取等号．

答案：1

[变式3]

若母题条件变为“已知a>0，b>0，a＋2b＝3”，21则a＋b的最小值为________．

12解析：由a＋2b＝3得a＋b＝1，

33221211∴a＋b＝3a＋3ba＋b

4a4b4a4b8＝＋＋≥＋2 ·＝. 33b3a33b3a33当且仅当a＝2b＝时取等号．

28答案：

3b2[变式4]

若母题的条件变为“已知a为正实数且a＋＝1”，22则a1＋b2的最大值为________．

解析：因为a>0，所以a1＋b＝2 1b222a＋2＋22b2a2＋2

21≤22，又21b2b13a2＋2＋2＝a2＋2＋＝，

22所以a1＋b≤133222×2＝，

432当且仅当a＝，b＝时等号成立．

2232322答案：

即(a1＋b)max＝. 44

[破译玄机] 本题求最值利用了拼凑法，拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面的问题：(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形；(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标；(3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提．

[变式5]

若母题变为：设a，b，c均为正数，满足a－2bb2＋3c＝0，则ac的最小值是________．

a＋3c解析：∵a－2b＋3c＝0，∴b＝2，

22b2a＋9c＋6ac6ac＋6ac∴ac＝≥4ac＝3，

4ac当且仅当a＝3c时取“＝”．

答案：3

[变式6]

若母题变为：已知各项为正数的等比数列{an}满足a7＝a6＋2a5，若存在两项am，an，使得am·an＝22a1，14则m＋n的最小值为________．

解析：设公比为q(q＞0)，由a7＝a6＋2a5⇒a5q2＝a5q＋2a5⇒q2－q－2＝0(q＞0)⇒q＝2. 2am·an＝22a1⇒a12m－1·a12n－1＝8a1⇒2m－1·2n－1＝8⇒m14114＋n－2＝3⇒m＋n＝5，则m＋n＝m＋n(m＋n) 5n4m119＝5＋m＋n≥(5＋24)＝，

555109当且仅当n＝2m＝时等号成立．

答案：

35首届世界低碳经济大会在南昌召开，本届大会以“节能减排，绿色生态”为主题．某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可1近似地表示为y＝2x2－200x＋80 000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元．

(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？

(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家至少补贴多少元才能使该单位不亏损？

解析y1(2)不获利．设该单位每月获利为S元，则S＝100x－y＝解：(1)由题意可知，二氧化碳每吨的平均处理成本为x＝2x111＝－x2＋300x－80 000＝－80 000180 000100x－2x2－200x＋80 00022＋x－200≥2 2x·x－200＝200，

280 000(x－300)1－35 000，因为x∈[400,600]，

当且仅当2x＝x，即x＝400时等号成立，

所以S∈[－80 000，－40 000]．

故该单位月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本故该单位每月不获利，需要国家每月至少补贴40 000元最低，最低成本为200元．

才能不亏损．

解析

解：(1)由题意得，y＝100＋0.5x＋2＋4＋6＋…＋2x，

x100即y＝x＋x＋1.5(x∈N*)．

(2)由基本不等式得：

100y＝x＋x＋1.5≥2 100x·x＋1.5＝21.5，

100当且仅当x＝x，即x＝10时取等号．

故该企业10年后需要重新更换新的污水处理设备．