1.3 二项式定理（通用）优秀教学实录

1．3.1 二项式定理

安居育才中学

张恒义

一、学习目标：

知识与技能：

1.理解二项式定理及二项展开式的特征,掌握二项展开式的通项. 2.正确运用二项展开式展开或化简某些二项式。 3.正确运用通项求某些特定项、二项式系数或项的系数. 过程与方法：

教学过程中，要让学生充分体验到归纳推理不仅可以猜想到一般性的结果，而且可以启发我们发现一般性问题的解决方法。

情感、态度与价值：

让学生探索、发现数学知识和掌握数学知识的内在规律的过程中，不断获得成功积累愉快的体验，不断增进学习数学的兴趣，同时还通过探索这一活动培养学生善于和他人合作的精神. 二、学习重点、难点

重点：二项式定理及通项公式的掌握及运用

难点：二项式定理的正用、逆用，用通项公式求特定项。

三、教学模式与教法、学法

教学模式：本课采用“探究——发现”教学模式．

教师的教法：利用多媒体辅助教学，突出活动的组织设计与方法的引导．

“抓三线”，即(一)知识技能线（二）过程与方法线（三）能力线. “抓两点”,即一抓学生情感和思维的兴奋点，二抓知识的切入点. 学法：突出探究、发现与交流．

四、教学过程

【探究问题】

22234问题1：我们学习了(a＋b)＝a＋2ab＋b，试用多项式的乘法推导(a＋b)，(a＋b)的展开式．

332234432234提示：(a＋b)＝a＋3ab＋3ab＋b，(a＋b)＝a＋4ab＋6ab＋4ab＋b. 问题2：上述两个等式的右侧有何特点？

34提示：(a＋b)的展开式有4项，每项的次数是3；(a＋b)的展开式有5项，每一项的次数为4. 4问题3：你能用组合的观点说明(a＋b)是如何展开的吗？

4提示：(a＋b)＝(a＋b)(a＋b)(a＋b)(a＋b)．由多项式的乘法法则知，从每个(a＋b)中选a或选b相乘即得展开式中的一项．

040若都选a，则得C4ab；

13若有一个选b，其余三个选a，则得C4ab；

222若有两个选b，其余两个选a，则得C4ab；

404若都选b，则得C4ab. n*问题4：能用类比方法写出(a＋b)(n∈N)的展开式吗？

n1n－1n提示：能，(a＋b)n＝C0b＋…＋Cnna＋Cnanb. 【理解新知】

二项式定理及其相关概念

n0n1n－1kn－kknn二项式定理

公式(a＋b)＝Cna＋Cnab＋…＋Cnab＋…＋Cnb，称为二项式定理

k二项式系数

Cn(k＝0,1，…，n) n－kk通项

Tk＋1＝Ckb

na二项式定理

n1kkn(1＋x)＝1＋Cnx＋…＋Cnx＋…＋x

的特例

【要点解读】

1．二项展开式的特点

(1)展开式共有n＋1项．

(2)各项的次数和都等于二项式的幂指数n. (3)字母a的幂指数按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到为0，字母b的幂指数按升幂排列，从第一项开始，次数由0逐项加1直到为n. 2．二项展开式的通项公式的特点

kn－kkn(1)通项Tk＋1＝Cnab是(a＋b)的展开式的第(k＋1)项，这里k＝0,1，…，n，该项的二项式系kk＋1数是Cn而不是Cn; (2) 字母a的次数是组合数下、上标的差，字母b的次数和组合数上标相同，a与b次数之和为n；

nkn－kknkn－kk (3)二项式(a＋b)的通项Cnab和(b＋a)的展开式的通项Cnba是有区别的，应用二项式定理时，其中的a和b是不能随便交换的；

【精讲例题】

二项式定理的正用、逆用

2x0n1n－12n－2kkn－knn (2)化简：Cn(x＋1)－Cn(x＋1)＋Cn(x＋1)－…＋(－1)Cn(x＋1)＋…＋(－1)Cn. 14011231341441322【解析】（1）

(x－)＝C4(x)－C4(x)·＋C4(x)·()－C4x()＋C4()2x2x2x2x2x3112＝x－2x＋－＋2. 22x16x0n1n－12n－22kn－kkn (2)原式＝Cn(x＋1)＋Cn(x＋1)(－1)＋Cn(x＋1)(－1)＋…＋Cn(x＋1)(－1)＋…＋Cnnnn(－1)＝＝x. 规律方法

n1．(a＋b)的二项展开式有n＋1项，是和的形式，各项的幂指数规律是：①各项的次数等于n；②字母a按降幂排列，从第一项起，次数由n逐项减1直到0；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由0逐项加1直到n. 2．逆用二项式定理可以化简多项式，体现的是整体思想．注意分析已知多项式的特点，向二项展开式的形式靠拢．

跟踪训练1．

34（1）求2x－2的展开式．

2x34323323343404132解：法一：2x－2＝C4(2x)＋C4(2x)·－2＋C4(2x)－2＋C4(2x)－2＋C4－22x2x2x2x2x5427814＝16x－48x＋2－5＋. xx16x83344x－3411542781344法二：2x－2＝. 2＝8(4x－3)＝8＝16x－48x＋2－5＋2x2x16x16xxx16x80n1n－1kkn－knn（2）．设n为自然数，化简Cn·2－Cn·2＋…＋(－1)·Cn·2＋…＋(－1)·Cn. 0n01n－11kkn－knn0n解：（2）原式＝Cn·2·1－Cn2·1＋…＋(－1)·Cn2＋…＋(－1)·Cn·2＝(2－1)＝1. 求二项展开式中的特定项

例2、(1)(1＋2x)的展开式中，x的系数等于(

) A．80

B．40 C．20 D．10 274(2)x(x－)的展开式中，x的系数是________．(用数字作答) 52例1 (1)求(x－1)的展开式．

4x（1）【解析】

∵(1＋2x)的展开式的通项为Tr＋1＝C5(2x)＝2C5·x，令r＝2，得T3＝2C5·x22＝40x，故x的系数为40，故选B. 27272r3r7－r（2）【解析】

原问题等价于求(x－)的展开式中x的系数，(x－)的通项Tr＋1＝C7x(－)5rrrrr222xxx＝(－2)C7xrr7－2r273224，令7－2r＝3，得r＝2，∴x的系数为(－2)C7＝84，即x(x－)的展开式中x的系x数为84. 规律方法 通项公式的应用

求二项展开式的特定项的常见题型：

k－1n－k＋1k－1①求第k项，Tk＝Cnab；②求含xk的项(或xpyq的项)；③求常数项；④求有理项．

跟踪训练2 1102(1)求二项式(x＋)的展开式中的常数项．

2x（2）(全国乙卷)(2x＋x)的展开式中，x的系数是________．(用数字填写答案) （1）【解析】

设第r＋1项为常数项，则

1rr1r210－rTr＋1＝Cr·()＝C10x ·()(r＝0,1，…，10)．

10(x)22x51845458令20－r＝0，得r＝8.∴T9＝C10·()＝.∴第9项为常数项，其值为. 22256256（2）解析：(2x＋x)展开式的通项为Tr＋1＝C5(2x)553r5－r(x)＝2r5－r·C5·x5－. 2rr令5－＝3，得r＝4.故x的系数为2·C5＝2C5＝10.答案：10 2五、课堂小结

一

、理解本节课的重要知识点：

1、二项式定理的展开式；

2、二项式系数；

3、通项公式；

二、重点学会解决两类题型：

（1）二项式定理的正用、逆用；

（2）通项公式求特定项：如常数项，指定项，有理项等。

【拓展延伸】

342(1＋2x)(1－x)展开式中x的系数为________．-6 2【思路】

分别将两个二项式展开，根据多项式的乘法法则确定x的系数的构成规律．

【课堂检测】

1061．在(x－3)的展开式中，含x的项的系数是(

) 6464A．－27C10

B．27C10 C．－9C10 D．9C10

646446解析：选D 含x的项是T5＝C10x(－3)＝9C10x. 54322.化简(x-1)+5(x-1)+10(x-1)+10(x-1)+5(x-1). 3253．求x＋2的展开式的第3项的系数和常数项．

3x454402332222解：T3＝C5(x)2＝C5·x，所以第3项的系数为C5·＝. 9993x2kk15－5k，令15－5k＝0得k＝3，所以常数项为T＝C3(x3)2·223k35－k2k通项Tk＋1＝C5(x)2＝·C5x453x3x380＝. 27六、板书设计

七、课后记

教材的探求过程将归纳推理与演绎推理有机结合起来，是培养学生数学探究能力的极好载体，教学过程中，要让学生充分体验到归纳推理不仅可以猜想到一般性的结果，而且可以启发我们发现一般性问题的解决方法。

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