1.3 实习作业教案和课堂实录

高三一轮 4.7 解三角形(第一课时)导学案

教师： 陈盛福

【教学目标】

1.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题；

2.本部分是高考中的重点考查内容，主要考查利用正、余弦定理解三角形、判断三角形的形状，

求三角形的面积及解三角形的具体应用问题。

【重点难点】

1.教学重点：熟练运用正、余弦定理解三角形；

2.教学难点：学会对知识进行整理达到系统化，提高分析问题和解决问题的能力；

【教学策略与方法】

自主学习、小组讨论法、师生互动法

【教学过程】

1．正弦定理、余弦定理

在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则

定理

正弦定理

abc＝＝＝2R sin Asin Bsin C(1)a＝2Rsin A，

b＝2Rsin B，

c＝2Rsin C；

变形

abc(2)sin A＝，sin B＝，sin C＝；

2R2R2R(3)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C；

(4)asin B＝bsin A，

bsin C＝csin B，

asin C＝csin A

b2＋c2－a2cos A＝；

2bcc2＋a2－b2cos B＝；

2aca2＋b2－c2cos C＝

2ab余弦定理

a2＝b2＋c2－2bccos A；

内容

b2＝c2＋a2－2cacos B；

c2＝a2＋b2－2abcos C

正弦定理

余弦定理

(1)已知三边,求三个角; (2)已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两角

解(1)已知两角和任一边,求其他决两边和一角; 的

(2)已知两边和其中一边的对问角,求另一边和其他两角

题

补充：已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角

正弦定理和余弦定理都可以

在△ABC中，已知a、b和A时，解的情况如下：

图形

关系式

解的个数

2.三角形中的常见结论

(1)在△ABC中,A+B+C=π. (2)在△ABC中,A>B⇔a>b⇔sin A>sin B.

（大角对大边）

(3)任意两边之和大于第三边,任意两边之差

小于第三边. 3.三角形常用面积公式

1(1)S＝a·h(h表示边a上的高)；

2aa111(2)S＝absin C＝acsin B＝bcsin A；

2221(3)S＝r(a＋b＋c)(r为三角形内切圆半径)．

2双基自测：

1.下列结论正确的打“√”,错误的打“×”. (1)在△ABC中,已知a,b和角B,能用正弦定理求角A;已知a,b和角C,能用

余弦定理求边c. (

) (2)在三角形中,已知两角和一边或已知两边和一角都能解三角形. (

) a＝bsin A 一解

bsin A

a≥b 一解

a>b

一解

A为锐角

A为钝角或直角

(3)在△ABC中,sin A>sin B的充分不必要条件是A>B. (

) (4)在△ABC中,a2+b2

) (5)在△ABC的角A,B,C,边长a,b,c中,已知任意三个可求其他三个. (

) 2.在△ABC中,化简bcos C+ccos B的结果为(

)

A.a

B.b

C.c

D.2b

13.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知a=

5,c=2,cos A=3,则b=(

) A.

2

B.

3

C.2 D.3 42C=,a=1,则b=

.

【结论】

1．三角形内角和定理：

在△ABC中，A＋B＋C＝π；

A＋BπC变形：＝－. 2222．三角形中的三角函数关系

(1)sin(A＋B)＝sin C；(2)cos(A＋B)＝－cos C；

(3)sin A＋BA＋BCC＝cos ；(4)cos ＝sin . 22225134.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cos A=5,cos

3．三角形中的射影定理

在△ABC中，a＝bcos C＋ccos B；

b＝acos C＋ccos A；

c＝bcos A＋acos B. 例1(2016山东师大附中模拟)在△ABC中,角A,B,C的对边分别是

a,b,c,已知cos 2A=-,c=

3,sin A=

6sin C.

13

(1)求a的值; (2)若角A为锐角,求b的值及△ABC的面积. 思考已知怎样的条件能用正弦定理解三角形?已知怎样的条件能用余弦定理解三角形?

变式训练：（双基自测第3题）

3.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知a=

5,c=2,cos A=3,则b=(

) A.

2

例2在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,且2asin A=(2b-c)sin B+(2c-b)sin C. (1)求角A的大小; (2)若sin B+sin C=

3

,试判断△ABC的形状. 思考判断三角形的形状时主要有哪些方法?

变式训练

在△ABC中,acos A=bcos B,则这个三角形的形状为

.

知识点：

1.正弦定理和余弦定理（变形：角化边

边化角公式）

2.常用的结论（三个结论）

3.三角形的面积公式（三组公式）

4.三角形中的三角函数关系式+射影定理

数学思想和方法：

1.数形结合的思想

2.化归的思想

3.方程的思想

课后练习

（2017全国卷理科17题）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面a2A

.

积为

3sin2B.

3

C.2 D.3

（1）求sin Bsin C; （2）若6cos Bcos C=1，a=3，求△ABC的周长.