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3.1不等关系与不等式

北重三中

张瑞兵

一、创设情境、引入新课

长短

大小

轻重

高矮

二、合作探究、寻求规律

1.用不等式(组)表示下列问题中的不等关系

(1)右图是限速40km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽

40

车的速度v不超过40km/h .

v≤40

（2）这是某酸奶的质量检查规定

脂肪含量f

蛋白质含量p

不少于2.5％

不少于2.3％

 f 

2.5%

用数学关系来反映就是：

 p 

2.3%

（3）设直线外一点A到直线 l 的距离为d，B为直线 l 上的任意一点，则

d___|AB|.

(4)某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本。据市场调查，若单价每提高

0.1元销售量就可能相应减少2000本。若把提

价后杂志的定价设为x元，怎样用不等式表示

销售的总收入仍不低于20万元呢？(1)销售量减少了多少?

x 2.50.2

0.1

x 2.50.2

8 (2)现在销售量是多少?

0.1

(8 x  2.50.2)x万元

(3)销售总收入为多少?

(8 x 2.5 0.2) x

 20

0.1

0.1

(5)某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管截成

500mm和600mm的两种规格。按照生产的要求，600mm的钢管的数量不能超过500mm钢管的3倍

请思考:怎样写出满足上述所有不等关系的不

等式呢？

分析：假设截得500mm的钢管x根，截得600mm

的钢管y根。

要同时满足上述不等关系，可以用下面的不

等式组来表示：

500x  600y  4000 3x  y



x  0

y

0

x,y∈N

实际问题：不等关系

抽象

刻画

概括

数学问题：不等式

2.比较两个实数的大小

如数轴上有两点对应的数分别为1，a,那么1与a的不等关系为_______.

如果a－b是正数，则a>b；如果a－b等于零，则a=b；如果a－b是负数，则a

实数(或式)比较大小的依据是

a

 b  a b 

0

a

 b  a b 

0

a  b  a b 

0

这既是比较大小(或证明大小)的基本方法,又是推导不等式的性质的基础.

20:21

10

例1.当 x 1

时，比较

x

与

x



x

1

的大小。

32练习：已知 a, b 为正实数，试比较

a



223b

与ab  ab

的大小。

3作差比较法的一般步骤是：

作差

变 判断 结论

因式分解、配方、通分等手段

3.不等式的性质：

思考1：若甲树比乙树高，则乙树比甲树矮，反之亦然.这里反映出的不等式性质如何用数学符号语言表述？

a＞b b＜a（对称性）

思考2：若甲树比乙树高，乙树比丙树高，那么甲树比丙树高，这里反映出的不等式性质如何用数学符号语言表述？

a＞b，b＞ca＞c；

c ＜b，b＜ac＜a（传递性）

课堂小结：

1. 用不等式（组）表示实际问题的不等关系，并用不等式（组）研究含有不等关系的问题。2.实数(或式)比较大小的依据是a

 b  a b 

0

a

 b  a b 

0

a  b  a b 

0

3.不等式的性质：

a＞b b＜a

a＞b，b＞c  a＞c；

布置作业：

（1）课本74页练习第1、2题，（2）75页习题A组第1、4题，B组第1题

1.判断函数f(x)=x1-1在（1，+）上的单调性。

2.生活中为什么糖水中加的糖越多越甜呢?

转化为数学问题：a 克糖水中含有

b

克糖(a>b>0)，若再加 m(m>0)克糖，则糖水更甜了，为什么?

这个数学问题怎么解决?分析:起初糖水的浓度为

b

bmb水浓度为

a



m ,只要证明

a

mb



即可,怎么证呢?ma

a

,加入 m 克糖后的糖

这是一个不等式的证明问题