2.2.2 反证法国家优质课一等奖

§2.2.2 反证法

【教学目标】

知识与能力：通过实例，培养学生用反证法证明简单问题的推理技能，进一步培养观察能力、分析能力、逻辑思维能力及解决问题的能力。

过程与方法：了解反证法证题的基本步骤，会用反证法证明简单的命题。

情感、态度、价值观：[来源:学§科§网Z§X§X§K]

（1）在观察、操作、推理等探索过程中，体验数学活动充满探索性和创造性；渗透事物之间都是相互对立、相互矛盾、相互转化的辩证唯物主义思想。在学习和生活中遇到困难的时候，要学会换个角度思考问题，也许会使问题出现转机。

（2）通过直观感知——观察——操作确认的认识方法理并掌握直线与平面平行的判定定理，掌握直线与平面平行的画法并能准确使用数学符号语言、文字语言表述判定定理。培养学生观察、探究、发现的能力和空间想象能力、逻辑思维能力。让学生在观察、探究、发现中学习，在自主合作、交流中学习，体验学习的乐趣，增强自信心，树立积极的学习态度，提高学习的自我效能感。

【教学重点与难点】

重点：1、理解反证法的概念，

2、体会反证法证明命题的思路方法及反证法证题的步骤，

3、用反证法证明简单的命题。

难点：理解“反证法”证明得出“矛盾的所在”即矛盾依据。

【学法指导】

通过自学和老师的范例讲解，体会反证法的含义及反证法证明命题的思路方法，自己总结反证法证题的基本步骤。法国数学家阿达玛曾说过：“反证法的证法在于表明，若肯定定理的假设而否定其结论，就会导致矛盾.”这是对反证法精辟的概括.反证法所依据的是逻辑思维规律中的“矛盾律”和“排中律”.在同一思维过程中，两个互相矛盾的判断不能同时都为真，至少有一个是假的，这就是逻辑思维中的“矛盾律”；两个互相矛盾的判断不能同时都假，简单地说“A或者非A”，这就是逻辑思维中的“排中律”.反证法在其证明过程中，得到矛盾的判断，根据“矛盾律”，这些矛盾的判断不能同时为真，必有一假，而已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命

题都是真的，所以“否定的结论”必为假.再根据“排中律”，结论与“否定的结论”这一对立的互相否定的判断不能同时为假，必有一真，于是我们得到原结论必为真，所以反证法是以逻辑思维的基本规律和理论为依据的.反证过程中的批判思想更有助于学生正确的认识客观世界.在教学过程中，我们要重视培养学生利用反证法对客观世界的认识提出自己的问题，这正是反证法教学所要教给学生的，应该具有的数学能力，也是培养学生数学素质与数学素养的很好教学机会. 【教学过程】

一、学前准备

1、复习回顾

上节课我们学习了用综合法，分析法直接证明问题的方法。但是有的问题是条件与结论的联系不明显或要分成多种情况进行讨论。我们再用直接证法就显的比较困难或麻烦，那么证明一个问题的成立是不是还有其他的方法呢？这节课我们就来学习用间接的方法证明一个问题是成立的方法——反证法。

2、情景创设：

A、B、C三个人，A说B撒谎，B说C撒谎，C说A、B都撒谎.则C必定是在撒谎，为什么？[来源:Z|xx|k.Com]

【设计意图】：通过对这个问题的解答，使学生自主探究反证法的概念及反证法证明的步骤，导入新课。此环节旨在提升学生的求知欲、探索欲，使学生保持良好、积极的情感体验。

二、自学、合作探究（一）

通过对这两个个问题的解答，有学生自主探究反证法的概念及反证法证明的步骤. （1）定义：

反证法：一般地，假设原命题不成立，（即在原命题的条件下，结论不成立），经过正确的推理,最后得出矛盾，因此说明假设错误,从而证明了原命题成立,这样的证明方法叫做反证法。

（2）步骤

反证法证题的基本步骤：[来源:学科网ZXXK]

1．假设原命题的结论不成立；（假设）

2．从这个假设出发，经过正确的推理，推出矛盾；（归缪）

3．因此说明假设错误，从而证明了原命题成立.（结论）

三、

例题讲解

例1、写出用“反证法”证明下列命题的第一步“假设”. 【设计意图】：能否正确地写出假设，是解决问题的基础和保障

(1)互补的两个角不能都大于90°. (2)△ABC中,最多有一个钝角

(3)a,b,c中至少有一个是正数

例2：已知三个正数a，b，c成等比数列，但不成等差数列，

求证：a,b,c不成等差数列. 【设计意图】：本例是否定性命题，要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰，于是考虑采用反证法证明本例

来源学+科+网

例3:用反证法证明关于x的方程x24ax4a30,x2(a1)xa20，3x22ax2a0，当a或a1时，至少有一个方程有实数根. 2【设计意图】：本例是“至少”“至多”等存在性问题。从正面证明，需要分成多种情形讨论，而从反面证明，只要研究一种或少数几种情形。故考虑采用反证法。

例4、求证：方程2x3中有且只有一个根.

【设计意图】：本题是证明唯一性问题。需要证明两个方面，一是存在性；二是唯一性。当证明的结论中含“有且只有”“只有一个”“唯一存在”等形式时，由于假设结论易导出矛盾，故采用反证法证明其唯一性往往比较简单。

四、巩固训练：

1.

求证：2,3,5不可能成等差数列．

【设计意图】：结论中含否定词语，故考虑采用反证法.)

2.ABC的三边a,b,c的倒数成等差数列，求证B.2

【设计意图】：本题利用余弦定理直接证明可以，利用反正也可，对比两种证明方法，

反正更简单。

3.学案知能达标演练：P33

五、自学、合作探究（二）

根据以上问题让学生归纳反证法证明的常见类型和应用反证法的关键。

【设计意图】：侧重学生的“思”“探”“究”的自主学习，由旧知识自主探究新知识

六、课堂小结

由学生总结本节课的收获

【设计意图】：通常，课堂小结均由老师和盘托出，学生接受现成的结论。本设计充分发挥学生思维参与的主动性和创造性，师生合作，让课堂小结成为点睛之笔。

七、小试牛刀

1．否定下列命题的结论：

（1）

在⊿ABC中如果AB=AC，那么∠B=∠C。 。

（2）

如果点P在⊙O外，则d>r（d为P到O的距离，r为半径） （3）

在⊿ABC中，至少有两个角是锐角。 （4）

在⊿ABC中，至多有只有一个直角。 2．选择题：

证明“在⊿ABC中至多有一个直角或钝角”，第一步应假设：（ ）

A．三角形中至少有一个直角或钝角[来源:Zxxk.Com]

B．三角形中至少有两个直角或钝角

C．三角形中没有直角或钝角

D 。三角形中三个角都是直角或钝角

3．用反证法证明“三角形中至少有一个内角不小于60°”•应先假设这个三角形中（ ）

A．有一个内角小于60° B．每一个内角都小于60°

C．有一个内角大于60° D．每一个内角都大于60°

八、作业

学案课后巩固作业

九、教学反思：

1、本课就新课程理念下定理教学课的课堂模式，做了一些探索。以问题解决为中心，通过提出问题，完善问题，解决问题，拓展问题，采用实验探究、自主学习的研究性学习方式，重点放在反证法的思想上，努力挖掘教学中蕴涵的思维价值，培养学生的逆向思维能力。改变了传统的解决问题模式

2、“用教材教，而不是教教材”，针对学生特点，将教材的例题和习题重组，尽量满足不同思维层次学生的需求。

3、来源于生活实际，又回到生活中，强调了数学应用意识。