小结PPT及课堂实录内容

基本不等式教学设计案例

教材 人教版《普通高中课程标准实验教科书·数学（A版）》必修5

课题

基本不等式

授课类型

新授课

教学目标 1、知识与技能

了解基本不等式的推导过程，掌握基本不等式取等号的条件；

能够初步运用基本不等式及其取等条件解决一些简单的函数的最值问题，并能解决一些实际问题。

2、过程与方法

通过公式推导过程的教学，培养学生观察、猜想、归纳的思维能力，使学生体会数形结合的思想方法，并引导学生从不同角度解释基本不等式。

3、情感态度与价值观

通过基本不等式的推导，培养学生严密的逻辑推理能力，通过运用基本不等式，使学生领略数学的应用价值，激发学生的学习兴趣。

教学重、难点

重点：基本不等式的推导以及其取等的条件，运用基本不不等式解决一些简单的函数的最值问题，并能解决一些实际问题。

难点：用数形结合思想理解不等式，并从不同角度解释基本不等式。

课前准备

多媒体课件的制作

教学过程设计

一、课题导入

观察图片，找关系

师：同学们，现在开始上课，首先我想请大家欣赏一张图片。（稍有停顿）请问有谁见过这张图片吗？

生：……

师：图1是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色明暗使它看起来像一个风车，代表中国人民热情好客。（稍作停顿）观察图片，能从中找出一些相等或者不相等的关系吗？

生：图片中四个直角三角形的面积之和小于大正方形的面积。

师：非常好，那么是否存在其他的情况，比如说等于呢？

生：……

师：让我们带着问题一起进入今天的新课学习—基本不等式

（设计意图：让学生观察图形，从图形中抽象出不等关系，并提出问题，激发学生的习兴趣，引入学习课题。）

二、基本不等式推导过程及其理解

1、公式推导 师：将图1的“风车”抽象成如图2的正方形中有四个全等的直角三角形。

师：如果我们设直角三角形的边长分别为a，b，那么正方形的边长为a2b2，于是正方形的面积为a2b2，四个直角三角形的面积之和为a2b2根据前面的讨论，我们有a2b2>a2b2。那么这个关系是否恒成立的呢？

生：还可以取等。

师：那么在什么情况下取等呢？

生：……

师：观察图形，我们发现点H是在以AB为直径的半圆周上运动的，那么在点H运动的过程中是不是就像同学们所说的一样可以取等呢？接下来就让我们一起来看一下。

（展示动画过程）

师：如图所示，a=AH，b=BH，我们分别求出大正方形四以及个直角三角形的面积之和，为了方便比较大小，我们将二者作差。现在我们就让点H动起来。

师：同学们有什么发现吗？

生：当点H运动到正方形的中心时，可以取等。

师：也就是说当直角三角形变为等腰直角三角形时，也即a=b时，22等号是成立的。从而我们得出这样的关系ab2ab。

师：那么这个关系对于任意的实数也都成立吗？

生：成立。

师：你能证明你的结论吗？

生：……

师：我们一起来分析一下，要证明ab2ab，我们需要证明22a2b22ab0，根据完全平方公式，这个关系显然是成立的。

（设计意图：对图形进行进一步分析，并通过动画展示，使学生直观感受变化过程，将前面的不等关系完善，引导学生将这个关系推广到实数中去，在培养学生逻辑推理能力的同时向学生渗透数形结合的思想方法。）

2、对公式的理解

师：根据前面的讨论，我们得出如下结论：

一般地，对于任意实数a、b，我们有

a2b22ab

当且仅当a=b时，等号成立。

特别地，如果a>0，b>0，我们用a，b分别代替a、b，可得

ab2ab

通常我们把上式写作

abab

2ab叫做正数a、2师：我们常把ab叫做正数a、b的几何平均数，把b的算术平均数。于是我们可以这样理解我们的基本不等式：两个正数的几何平均数不小于它们的算术平均数。（稍有停顿）前面所学的知识，你还能怎样理解基本不等式？

生：……

ab师：我们发现ab恰好是正数a、b的等比中项，而恰好是正2数a、b的等差中项，从而我们还可以这样理解：两个正数的等比中项不小于它们的等差中项。

（设计意图：总结前面讨论所得的结论，并对结论进行拓展，引导学生发现几何平均数和算术平均数，注意从不同的角度解释基本不等式，加深对公式的记忆。）

三，基本不等式的运用

师：通过前面的学习，相信大家对基本不等式已经有了一定的了解，现在我们就一起来运用基本不等式解决一些简单的问题。

例1、x>0，当x取什么值时，x示PPT）

师：请同学们先自己思考一下第一题。

（停顿一分钟）

师：有没有同学得出答案？

生：最小值为2. 师：非常好，现在我们一起来分析一下这道题，x，则根据基本不等式就有x1是大于0的，x1的值最小？最小值是多少？（展x1112x2，取等条件为x，即x=1，xxx符合题意，所以最小值为2。请同学们看详细的解答过程（展示PPT）

解答过程：

解：x>0则1>0，根据基本不等式有

x112

x2xxx1 当且仅当x，即x=1时，等号成立。

x 所以当x=1时，最大值为2。

（设计意图：运用基本不等式解决简单函数的最值问题，加深学生对基本不等式取等条件的记忆，同时让学生体会基本不等式的运用价值）

例2、用篱笆围住一个面积为100m2的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短？最短篱笆是多少？（展示PPT）

师：请同学们先自己做一下。

（停顿一分钟）

师：有没有同学做出来？

生：最短篱笆为40m。

师：非常好，我们一起来分析一下，如果我们设矩形菜园的长为x，宽为y，那么根据题意就有xy=100，我们需要求的是2（x+y）。根xyxy10010，也就是据今天我们所学的基本不等式就有2xy20，从而2(xy)40，当xy10时取等。请同学们看详细

的解答过程（展示PPT）。

解答过程：

解：设矩形菜园的长为x，宽为y，则xy=100，篱笆的长为2（x+y），

xy 由基本不等式可得xy10010，即2(xy)40

2 当且仅当xy10时，等号成立。

因此，这个矩形的长、宽都为10m时，所用的篱笆最短，最短篱笆为40m。

例3、一段长为36m的篱笆围成宇哥矩形菜园，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大？最大面积为多少？（展示PPT）

师：请同学们先自己做一下。

（停顿一分钟）

师：请***同学起来回答一下你的答案。

生：最大面积是81m2。

师：非常好，请坐下。我们一起来分析一下。设矩形菜园的长为x，宽为y，那么根据题意就有2（x+y）=36，即（x+y）=18，我们需要xy189，

求的是xy的最大值，根据基本不等式就有xy22即xy81，当xy9时取等，请同学们看详细的解答过程（展示PPT）。

解答过程：

解：设矩形菜园的长为x，宽为y，则2（x+y）=36，矩形菜园的面积为xy，

xy189，即xy81 由基本不等式可得xy22当且仅当xy10时，等号成立。

因此，这个矩形的长、宽都为10m时，菜园的面积最大，最大面积为81m2。

师：做了第2、3题你有什么发现吗？

生：……

师：对于第2题，xy的值是一定的，而我们求得（x+y）有最小值，对于第3题，（x+y）的值是一定的，我们求得xy有最大值。再观察我们的基本不等式，可以发现，当两个正数的积一定时，和有最小值；和一定时，积有最大值。于是我们得出这样一个结论：任意两个正数，积一定，和有最小值；和一定，积有最大值。

（设计意图：运用基本不等式解决实际问题，加深学生对基本不等式的理解，实现积与和的转化，培养学生的发散思维；同时使学生体会到基本不等式在实际生活中运用价值。）

四：课堂小结

师：现在我们来总结一下本节课所学习的知识是：首先我们根据第24届国际数学家大会的会标得出一个不等关系，进而将其推广到任

意实数，得到不等式ab2ab，对a、b的特殊情形进行讨论得22ab到基本不等式ab2，然后从两个不同的角度理解基本不等式，最后通过例题进一步理解基本不等式得出结论：任意两个正数，积一定，和有最小值；和一定，积有最大值。（展示PPT）。

（设计意图：对本节课整个过程进行梳理，帮助学生理解记忆的同时，让学生体会数学思想方法）

五、课后练习

师：请同学们下课后复习今天所学的新知识，并完成习题的1、2、3题，本节课到此结束。

（设计意图：对本节课的内容进行巩固，在学生独自完成作业的过程中，培养学生独立解决问题的能力）

六、板书设计

主板书：

1、ab2ab 取等条件：a=b

22ab 2、ab 取等条件：a=b

2 3、任意两个正数，积一定，和有最小值；和一定，积有最大值。

副板书：

S正=a2b2 4S△=2ab

a2b22ab

例1、x11x2xx2 x1x，即x=1时取等

例2、xy=100 2(xy)40

例3、2（x+y）=36 xyxy21829 xy81即